Արագ մոդուլյար աստիճանացույց

«Google Classroom»

Ինչպես կարող ենք A^B mod C-ն արագ հաշվել, եթե B-ն 2-ի աստիճան է

Բազմապատկման կանոնն օգտագործելով,

Օրինակ՝ A^2 mod C = (A * A) mod C = ((A mod C) * (A mod C)) mod C

Այսպես կարող ենք արագ հաշվել 7^256 mod 13-ը.

7^1 mod 13 = 7
7^2 mod 13 = (7^1 *7^1) mod 13 = (7^1 mod 13 * 7^1 mod 13) mod 13

Նախորդ արդյունքը կարող ենք այս հավասարման մեջ փոխարինել 7^1 mod 13-ով։

7^2 mod 13 = (7 *7) mod 13 = 49 mod 13 = 10
7^2 mod 13 = 10

7^4 mod 13 = (7^2 *7^2) mod 13 = (7^2 mod 13 * 7^2 mod 13) mod 13

Նախորդ արդյունքը կարող ենք այս հավասարման մեջ փոխարինել 7^2 mod 13-ով։

7^4 mod 13 = (10 * 10) mod 13 = 100 mod 13 = 9
7^4 mod 13 = 9

7^8 mod 13 = (7^4 * 7^4) mod 13 = (7^4 mod 13 * 7^4 mod 13) mod 13

Նախորդ արդյունքը կարող ենք այս հավասարման մեջ փոխարինել 7^4 mod 13-ով։

7^8 mod 13 = (9 * 9) mod 13 = 81 mod 13 = 3
7^8 mod 13 = 3

Այսպես կարող ենք շարունակենք՝ օգտագործելով նախորդ արժեքները մեր հավասարումների մեջ։

..,5 քայլ հետո կհասնենք՝

7^256 mod 13 = (7^128 * 7^128) mod 13 = (7^128 mod 13 * 7^128 mod 13) mod 13
7^256 mod 13 = (3 * 3) mod 13 = 9 mod 13 = 9
7^256 mod 13 = 9

Այսպես ունեցանք A^B mod C-ն արագ հաշվելու մեթոդ այն դեպքերի համար, երբ B-ն 2-ի աստիճան է։

Սակայն մեզ նաև պետք է մեթոդ այն բոլոր դեպքերի համար, երբ B-ն 2-ի աստիճան չէ։

Ինչպես կարող ենք A^B mod C-ն արագ հաշվել ցանկացած B-ի համար

Քայլ 1․ B-ն երկուականի վերածելով բաժանիր 2-ի աստիճանների

Սկսիր աջ կողմի թվանշանից․ վերցնենք k=0 և ամեն թվանշանի համար՝

Եթե թվանշանը 1 է, այն դառնում է 2^k-ի մաս, այլապես՝ ոչ,
k-ին գումարում ենք 1 և անցնում հաջորդ՝ ձախ կողմի թվանշանին:

Քայլ 2․ Հաշվիր երկուսի այն աստիճանների mod C-ն, որոնք ≤ B

5^1 mod 19 = 5

5^2 mod 19 = (5^1 * 5^1) mod 19 = (5^1 mod 19 * 5^1 mod 19) mod 19
5^2 mod 19 = (5 * 5) mod 19 = 25 mod 19
5^2 mod 19 = 6

5^4 mod 19 = (5^2 * 5^2) mod 19 = (5^2 mod 19 * 5^2 mod 19) mod 19
5^4 mod 19 = (6 * 6) mod 19 = 36 mod 19
5^4 mod 19 = 17

5^8 mod 19 = (5^4 * 5^4) mod 19 = (5^4 mod 19 * 5^4 mod 19) mod 19
5^8 mod 19 = (17 * 17) mod 19 = 289 mod 19
5^8 mod 19 = 4

5^16 mod 19 = (5^8 * 5^8) mod 19 = (5^8 mod 19 * 5^8 mod 19) mod 19
5^16 mod 19 = (4 * 4) mod 19 = 16 mod 19
5^16 mod 19 = 16

5^32 mod 19 = (5^16 * 5^16) mod 19 = (5^16 mod 19 * 5^16 mod 19) mod 19
5^32 mod 19 = (16 * 16) mod 19 = 256 mod 19
5^32 mod 19 = 9

5^64 mod 19 = (5^32 * 5^32) mod 19 = (5^32 mod 19 * 5^32 mod 19) mod 19
5^64 mod 19 = (9 * 9) mod 19 = 81 mod 19
5^64 mod 19 = 5

Քայլ 3․ Օգտագործիր մոդուլյար բազմապատկման հատկությունները, որ միացնես mod C-ի արժեքները

5^117 mod 19 = ( 5^1 * 5^4 * 5^16 * 5^32 * 5^64) mod 19
5^117 mod 19 = ( 5^1 mod 19 * 5^4 mod 19 * 5^16 mod 19 * 5^32 mod 19 * 5^64 mod 19) mod 19
5^117 mod 19 = ( 5 * 17 * 16 * 9 * 5 ) mod 19
5^117 mod 19 = 61200 mod 19 = 1
5^117 mod 19 = 1

Նշումներ

Գոյություն ունեն ավելի շատ տեխնիկաներ, բայց դրանք չեն վերաբերվում կոնկրետ այս հոդվածին։ Նկատի պետք է ունենանք, որ մենք կատարում ենք մոդուլյար գործողություն ծածկագրման մեջ, և անսովոր կլինի օգտագործել B > 1000 ցուցիչներ։

Ուզո՞ւմ ես միանալ խոսակցությանը։

Մուտք գործել

Դասակարգել ըստ

Առայժմ հրապարակումներ չկան։

Անգլերեն հասկանո՞ւմ ես: Սեղմիր այստեղ և ավելի շատ քննարկումներ կգտնես «Քան» ակադեմիայի անգլերեն կայքում: