Մոդուլյար գումարում և հանում

Տրված է՝ A=14, B=17, C=5

Արի ստուգենք․ (A + B) mod C = (A mod C + B mod C) mod C
ՀՁԿ = Հավասարման ձախ կողմ
ՀԱԿ = Հավասարման աջ կողմ

ՀՁԿ = (A + B) mod C
ՀՁԿ = (14 + 17) mod 5
ՀՁԿ = 31 mod 5
ՀՁԿ = 1

ՀԱԿ = (A mod C + B mod C) mod C
ՀԱԿ = (14 mod 5 + 17 mod 5) mod 5
ՀԱԿ = (4 + 2) mod 5
ՀԱԿ = 1

Տես ստորև ցույց տրված պատկերը։ Եթե փորձում ենք հաշվել 12+9 mod 7-ի արժեքրը, կարող ենք 12+9 քայլ ժամսլաքի ուղղությամբ անցնել մոդուլյար շրջանի շուրջ (ինչպես ցույց է տրված նկարի ներքևի ձախ շրջանի վրա)։

Կարող ենք քայլերի քանակը քչացնել՝ հասկանալով, որ ամեն 7-րդ քայլին մոդուլյար շրջանում վերադառնում ենք սկզբնական դիրքի վրա։ Այս ամբողջական պտույտները ոչ մի կերպ չեն ազդում մեր վերջնական դիրքի վրա։ Այդպիսով մենք անտեսում ենք այդ ամբողջական պտույտները՝ հաշվելով ամեն թվի mod 7-ը (ինչպես ցույց է տրված նկարի վերևի երկու շրջանների վրա)։ Սրանից մենք կստանանք ժամսլաքի ուղղությամբ քայլերի քանակը, որոնք մոդուլյար շրջանի վրա ազդել են վերջնական դիրքի վրա։

Հիմա մեզ միայն մնացել է շրջանի վրայով ժամսլաքի ուղղությամբ քայլել (ինչպես ցույց է տրված նկարի ներքևի աջ շրջանի վրա)։ Այս մեթոդը գործում է յուրաքանչյուր երկու ամբողջ թվի և յուրաքանչյուր մոդուլյար շրջանի դեպքում։

Մենք կապացուցենք, որ (A + B) mod C = (A mod C + B mod C) mod C
Ցույց կտանք, որ ՀՁԿ=ՀԱԿ

Մնացորդով բաժանման թեորեմից կարող ենք A-ն և B-ն գրել որպես․

A = C * Q1 + R1, որտեղ 0 ≤ R1 < C և Q1-ը ինչ-որ ամբողջ թիվ է։ A mod C = R1
B = C * Q2 + R2, որտեղ 0 ≤ R2 < C և Q2-ը ինչ-որ ամբողջ թիվ է։ B mod C = R2
(A + B) = C * (Q1 + Q2) + R1+R2

ՀՁԿ = (A + B) mod C
ՀՁԿ = (C * (Q1 + Q2) + R1+ R2) mod C
Կարող ենք արտաքսել C-ի բազմապատիկները mod C գործողությունը կատարելիս
ՀՁԿ = (R1 + R2) mod C

ՀԱԿ = (A mod C + B mod C) mod C
ՀԱԿ = (R1 + R2) mod C

Մոդուլյար հանումն ունի սրան շատ նման ապացույց