Տասնվեցական համակարգի թվեր

Երկուական համակարգը թվերը ներկայացնելու հիանալի միջոց են համակարգիչների համար: Այնուամենայնիվ, դրանք այնքան էլ հիանալի չեն մարդկանց համար. դրանք այնքան երկար են, և որոշ ժամանակ է պահանջվում բոլոր այդ $1$‍-երը և $0$‍-ները հաշվելու համար: Երբ համակարգչային ինժեներները գործ ունեն թվերի հետ, նրանք հաճախ օգտագործում են կա՛մ տասական համակարգը, կա՛մ տասնվեցական համակարգ: Այո, մեկ այլ թվային համակարգ:

Բարեբախտաբար, թվային համակարգերն ավելի նման են, քան տարբեր, և այժմ, երբ դու հմտացել ես տասական և երկուական համակարգերում, հուսանք, որ տասնվեցական համակարգը հետաքրքիր կլինի:

Տասական համակարգում յուրաքանչյուր նիշը ներկայացնում է $10$‍-ի աստիճան՝ միավորների տեղը, տասնյակների տեղը և այլն։ Մենք $10$‍-ը անվանում ենք տասական համակարգի հիմք։

Տասնվեցական համակարգում յուրաքանչյուր նիշը ներկայացնում է $16$‍-ի աստիճան։

Ահա թե ինչպես կարելի է հաշվել մինչև 10-ը տասնվեցական համակարգում՝ $1$‍, $2$‍, $3$‍, $4$‍, $5$‍, $6$‍, $7$‍, $8$‍, $9$‍, $\text{A}$‍:

Դա շատ ծանոթ է թվում մինչև վերջին «թիվը» $\text{A}$‍: Տե՛ս, տասնվեցական համակարգում յուրաքանչյուր թվանշան պետք է ներկայացնի $0$‍-$15$‍ արժեքները, բայց $10$‍-$15$‍ տասնորդական թվերը չունեն մեկ նիշ: Տասնվեցական համակարգը օգտագործում է $\text{A}$‍-$\text{F}$‍ տառերը $10$‍-$15$‍ թվերը ներկայացնելու համար:

Ահա, եկ հաշվենք 10-ից մինչև 15՝ $\text{A}$‍, $\text{B}$‍, $\text{C}$‍, $\text{D}$‍, $\text{E}$‍, $\text{F}$‍։ Տարօրինակ, բայց իրական!

Իրականում տարիներ ընթացքում 10-ից 15 արժեքների ներկայացման շատ տարբեր առաջարկներ են եղել, սակայն $\text{A}$‍-ից $\text{F}$‍-ն այն լուծումն է, որն ընդունվել է:

Եկեք հիմա ավելի մեծ թվեր հաշվենք։ Ահա $24$‍ տասական թիվը , որը ներկայացված է տասնվեցական համակարգում որպես $18$‍:

Այս թիվը պահանջում է երկու նիշ, որտեղ աջ նիշը ներկայացնում է միավորների տեղը (${16}^0$‍), իսկ ձախ թվանշանը ներկայացնում է տասնվեցերի տեղը (${16}^1$‍): Նույն կերպ, ինչպես գումարում ենք տասական և երկուական համակարգի թվեր, կարող ենք գումարել $(1\times 16)+(8\times 1)$‍ և տեսնել, որ $18$‍ տասնվեցականը հավասար է $24$‍ տասականին:

Եկեք փորձենք մի թիվ, որի մեջ կա տառ: Ահա $27$‍ տասական թիվը, որը ներկայացված է տասնվեցական համակարգում որպես $1\text{B}$‍:

Սա հասկանալու համար նախ պետք է հիշենք, որ $\text{B}$‍-ն ներկայացնում է $11$‍ արժեքը: Ես դա անում եմ՝ հաշվելով տառերը մատներիս վրա, բայց դու կարող ես հաշվել ինչպես ցանկանում ես, միայն հիշիր, որ սկսելու ես $\text{A}$‍-ից, որը ներկայացնում է $10$‍:

Այնուհետև մենք կարող ենք այն գումարել նախկինի պես և տեսնել, որ $(1\times 16)+(11\times 1)$‍-ը հավասար է $27$‍ տասական համակարգի թվին:

Այս պահին ձեզ կարող է հետաքրքրել, թե համակարգչային ինժեներներին ինչն է այդքան դուր գալիս տասնվեցական համակարգում: Ինչու՞ օգտագործել համակարգ, որտեղ թվերը ներկայացնելու համար պետք է տառեր օգտագործենք: Պատմության մեջ մի փոքր շեղումը մեզ ցույց կտա, թե ինչու...

Նախկինում համակարգիչները օգտագործում էին 4-բիթանոց ճարտարագիտություն, ինչը նշանակում էր, որ նրանք միշտ մշակում էին բիթերը 4-անոց խմբերով: Ահա թե ինչու գրում ենք բիթերը 4-անոց խմբերում, ինչպես օրինակ տասնորդական $7$‍-ը ներկայացնելու համար գրում ենք $0111$‍՝ չնայած, որ կարող ենք պարզապես գրել $111$‍:

Քանի՞ արժեք կարող է ներկայացնել 4 բիթը: Ամենափոքր արժեքը $0$‍ է (բոլոր $0$‍-ներ, $0000$‍), իսկ ամենամեծ արժեքը $15$‍ է (բոլոր $1$‍-եր, $1111$‍), ուստի 4 բիթը կարող է ներկայացնել 16 եզակի արժեք:

Երկուական համակարգի 4 բիթից բաղկացած յուրաքանչյուր խումբ տասնվեցական համակարգում մեկ նիշ է: Դա իսկապես հեշտացնում է երկուական համակարգի թվերը տասնվեցական համակարգում ներկայացնելիս, և այն համակարգիչների օգտագործումը նաև արդյունավետ է դարձնում։:

Եկեք ապացուցենք, թե որքանով են գոյակցում երկուական և տասնվեցական համակարգերը՝ երկուական համակարգից տասնվեցական համակարգի անցնելիս:

Սկսենք «կարճ» երկուական թվով.

Դա 4 բիթ է, ինչը նշանակում է, որ այն քարտեզագրվում է մեկ տասնվեցական թվի վրա: Յուրաքանչյուր դիրքում $0$‍ է՝ բացառությամբ երկրորդ դիրքից, ուստի այն հավասար է տասնորդական $2$‍ թվին: Տասական և տասնվեցական համակարգերը երկուսն էլ ներկայացնում են $0$‍-$9$‍ թվերը նույն կերպ, հետևաբար $0010$‍-ը ուղղակի $2$‍ է տասնվեցական համակարգում:

Փորձենք երկուական համակարգի ավելի «երկար» թիվ.

Մոտեցումներից մեկը կլինի պարզել, թե տասնորդական որ թիվն է ներկայացված $1$‍-երի և $0$‍-ների այդ երկար տողով, այնուհետև այն վերածել տասնվեցականի: Այդ մոտեցումը կաշխատի, բայց կարծես թե շատ աշխատանք է պահանջվելու։

Ամենահեշտ մոտեցումը․ բաժանել 4 բիթից բաղկացաց խմբերի և մեկ-մեկ փոխարկել:

Սկսած ամենաձախ խմբից $1001$‍-ից, որը հավասար է $(1\times 8)+(1\times 1)$‍, տասնորդական $9$‍ թիվին: Այն $10$‍-ից փոքր է, ուստի $1001$‍-ը կլինի ուղղակի $9$‍ է տասնվեցականում:

Հաջորդ խումբը $1010$‍-ն է, կամ $(1\times 8)+(1\times 2)$‍, այսինքն $10$‍ տասականում։ Այն համարժեք է տասնվեցական $\text{A}$‍ տառին:

Հաջորդ խումբը $0110$‍-ն է, կամ $(1\times 4)+(1\times 2)$‍, տասական համակարգում արժեքը՝ $6$‍։ Այն տասնվեցականում $6$‍ է։

Վերջին խումբը $1100$‍ է, կամ $(1\times 8)+(1\times 4)$‍, տասականում՝ $12$‍։ Այն տասնվեցական համակարգում $\text{C}$‍-ն է:

Մեր վերջնական արդյունքը տասնվեցական $9\text{A}6\text{C}$‍-ն է: Մենք փոխարկեցինք՝ երբևէ չհասկանալով, թե ինչ տասնորդական թիվ է ներկայացված: Այժմ ցույց կտամ, որ և՛ $1001101001101100$‍-ը, և՛ $9\text{A}6\text{C}$‍-ը հավասար են տասնորդական $39532$‍ թվին: Դա շատ մեծ թիվ է, ես ուրախ եմ, որ մենք այն փոխարկեցինք առանձին-առանձին:

Եկ տասնվեցական համակարգում որոշակի ինտուիցիա ձևավորենք:

Նախ․ նիշերի տրված քանակի դեպքում ո՞րն է ամենամեծ թիվը: Տասական համակարգում բոլորը $9$‍-ներ են, օրինակ $9999$‍: Երկուական համակարգում դրանք $1$‍-եր են, օրինակ $1111$‍:

Տասնվեցական համակարգում դա այն դեպքն է, երբ յուրաքանչյուր թվանշան $\text{F}$‍ է: Երբ մենք տեսնում ենք նման թիվ, մենք գիտենք, որ այն ներկայացնում է ամենամեծ հնարավոր արժեքը այդ նիշերի համար: Ցանկացած ավելիմեծ թիվ ներկայացնելու համար ավելի շատ նիշերի կարիք կունենանք:

Լավ, իսկ ի՞նչ արժեք է ներկայացնում նման մեծ թիվը: Մենք կարող ենք օգտագործել նույն կանոնը, որը օգտագործել ենք երկուական համակարգի համար. ամենամեծ թիվը, որը կարելի է ներկայացնել $n$‍ նիշերով, հավասար է ${16}^n-1$‍: Այժմ, երբ մենք գործ ունենք 16-ի հետ, ոչ թե 2-ի, կարող ենք հաշվել:

Ահա առաջին չորս ամենամեծ արժեքների աղյուսակը.

Համակարգիչների աշխատանքին վերաբերվող այս բաժնում մենք հիմնականում գործ կունենանք երկուական համակարգի թվերի հետ: Կարևոր է նաև հասկանալ տասնվեցական համակարգը, քանի որ դրանք կհայտնվեն հետագա բաժիններում և ընդհանրապես՝ ծրագրավորողի կյանքում:

Որպես օրինակ իմ կյանքից՝ վեբ մշակողները օգտագործում են տասնվեցական թվեր՝ գույները ներկայացնելու համար: Մենք գույները նկարագրում ենք որպես երեք բաղադրիչների համադրություն՝ կարմիր, կանաչ և կապույտ: Այդ բաղադրիչներից յուրաքանչյուրը կարող է տատանվել $0$‍-ից մինչև $255$‍: Կապույտ գույնը կարող է գրվել որպես rgb(0, 0, 255)ավելի քան կամ ավելի հակիրճ տասնվեցական տարբերակով՝ #0000FF: Օգտագործելով այդ նշումը՝ մենք կարող ենք նկարագրել ${16}^6$‍ եզակի գույներ՝ ավելի քան 16 միլիոն գույներ։

Այժմ, երբ դու գիտես տասնվեցական համակարգի թվերի մասին, հաճախ կտեսնես, որ դրանք գրված են առջևում 0x-ով, օրինակ՝ 0x4F, կամ պարզապես կարող եք տեսնել 0-9 -ի տարբեր համադրումներ A-F-ի հետ:

🙋🏽🙋🏻‍♀️🙋🏿‍♂️Ունե՞ք հարցեր այս թեմայի վերաբերյալ: Սիրով կպատասխանենք, պարզապես հարցրեք ստորև ներկայացված հարցերի համար նախատեսված մասում: