Հիմնական նյութ

11-րդ դասարան. երկրաչափություն

Դասընթաց․ (11-րդ դասարան. երկրաչափություն ) > Բաժին 3

Դաս 3: Պտույտներ

Պատկերների պտտումը կոորդինատների սկզբնակետի շուրջ 90°-ին բազմապատիկ անկյուններով

Սովորիր գծել տրված պատկերի կերպարը կոորդինատների սկզբնակետի շուրջը 90°-ին բազմապատիկ անկյուններով պտտելիս:

Ներածություն

Այս հոդվածում կպարապենք պատկերների պտույտները։ Մաթեմատիկական լեզվով ասած՝ կսովորենք գծել տվյալ պատկերի կերպարը որոշակի պտույտի դեպքում։

Հոդվածում կքննարկենք

90^{\circ}

-ին բազմապատիկ անկյուններով պտտման դեպքերը թե դրական (ժամսլաքին հակառակ), թե բացասական (ժամսլաքի ուղղությամբ) անկյուններով։

Մաս 1: Կետերի պտույտ $90^{\circ}$ ‍-ով, $180^{\circ}$ ‍-ով և $- 90^{\circ}$ ‍-ով

Արի ուսումնասիրենք նմուշ-խնդիրը։

Հարկավոր է գտնել

A (3; 4)

կետի

A^{'}

կերպարը կոորդինատների սկզբնակետի շուրջը

90^{\circ}

-ով պտտելու արդյունքում։

Արի նախ պատկերացնենք խնդիրը։ Դրական պտույտը կատարվում է ժամսլաքին հակառակ ուղղությամբ, հետևաբար պտույտը կունենա հետևյալ տեսքը․

Հիանալի է, մենք մոտավոր գտանք

A^{'}

-ը։ Այժմ պետք է գտնենք հստակ կոորդինատները։ Գոյություն ունի երկու եղանակ։

Առաջին եղանակ: Տեսողական մոտեցում

Կարող ենք պատերացնել ուղղանկյուն, որի մի գագաթը կոորդինատների սկզբնակետն է, իսկ հանդիպակաց գագաթը՝

A

կետը։

90^{\circ}

-ով պտույտը նման է ուղղանկյունը իր կողմի վրա թեքելուն։

Այժմ տեսնում ենք, որ $A (3; 4)$ ‍ կետի կերպարը պտույտի դեպքում $A^{'} (- 4; 3)$ ‍ կետն է։

Ուշադրություն դարձրու, որ ավելի հեշտ է պտտել կոորդինատային առանցքների վրա գտնվող կետերը, որոնք կօգնեն մեզ գտնել

A

-ի կերպարը։

Կետ	$(3; 0)$ ‍	$(0; 4)$ ‍	$(3; 4)$ ‍
Կերպար	$(0; 3)$ ‍	$(- 4; 0)$ ‍	$(- 4; 3)$ ‍

Երկրորդ եղանակ: Հանրահաշվական մոտեցում

Արի դիտարկենք

A

A^{'}

կետերը․

Կետ	$x$ ‍ կոորդինատ	$y$ ‍ կոորդինատ
$A$ ‍	$3$ ‍	$4$ ‍
$A^{'}$ ‍	$- 4$ ‍	$3$ ‍

Ուշադրություն դարձրու, որ

A

կետի

x

կոորդինատը դարձավ

A^{'}

կետի

y

կոորդիանտը, և հակառակը՝

A

կետի

y

կոորդինատը դարձավ

A^{'}

կետի

x

կոորդինատը։

Նշվածը մաթեմատիկորեն կարող ենք ներկայացնել հետևյալ ձևով․

$R_{(0; 0), 90^{\circ}} (x; y) = (- y; x)$ ‍

Պարզվում է, որ նշվածը վերաբերում է ցանկացած կետի, ոչ թե միայն

A

-ին։ Ահա մի քանի օրինակ ևս․

Ավելին՝ պարզվում է, որ

180^{\circ}

-ով և

- 90^{\circ}

-ով պտույտները նույնպես ենթարկվում են նման օրինաչափությունների․

$R_{(0; 0), 180^{\circ}} (x; y) = (- x; - y)$ ‍

$R_{(0, 0); - 90^{\circ}} (x; y) = (y; - x)$ ‍

Ցանկացած կետ պտտելու ժամանակ կարող ենք օգտվել այս օրինաչափություններից՝ կետի կոորդինատները տեղադրելով համապատասխան հավասարման մեջ։

Քո հերթն է

Խնդիր 1

Պատկերիր $B (- 7; - 3)$ ‍ կետի կերպարը $R_{(0; 0); - 90^{\circ}}$ ‍ պտույտի դեպքում։

[Ինձ օգնություն է պետք: Խնդրում եմ, ցույց տուր լուծումը:]

Խնդիր 2

Պատկերիր $C (5; - 6)$ ‍ կետի կերպարը $R_{(0; 0); 180^{\circ}}$ ‍ պտույտի արդյունքում։

[Ինձ օգնություն է պետք: Խնդրում եմ, ցույց տուր լուծումը:]

Գրաֆիկական եղանակ և հանրահաշվական եղանակ

Յուրաքանչյուր ոք ազատ է այդ եղանակների ընտրության հարցում։

Հանրահաշվական եղանակը աշխատատար և ժամանակատար չէ, սակայն դու պետք է հիշես օրինաչափությունները։ Գրաֆիկական եղանակն ավելի հեշտ է, սակայն այն ավելի երկար ժամանակ է պահանջում։

Մաս 2: Պտույտ $90^{\circ}$ ‍-ի բազմապատիկ թվով

Արի ուսումնասիրենք նմուշ-խնդիրը։

Հարկավոր է գտնել

D (- 5; 4)

կետի

D^{'}

կերպարը կոորդինատների սկզբնակետի շուրջը

270^{\circ}

-ով պտտելու արդյունքում։

Լուծում

Քանի որ

270^{\circ}

-ով պտույտը նույնն է, ինչ երեք անգամ

90^{\circ}

-ով պտույտը, խնդիրը կարող ենք լուծել գրաֆիկորեն՝ պատկերը երեք անգամ հայորդաբար պտտելով

90^{\circ}

-ով։

Բայց սպասիր։

270^{\circ}

-ի փոխարեն կարող ենք պտտել պարզապես

- 90^{\circ}

-ով։ Այս պտույտները համարժեք են։ Ստուգիր․

Այդ իսկ պատճառով կարող ենք օգտվել

R_{(0; 0); - 90^{\circ}} (x; y) = (y; - x)

օրինաչափությունից․

$R_{(0; 0); 270^{\circ}} (- 5; 4) = (4; 5)$ ‍

Արի ուսումնասիրենք ևս մեկ նմուշ-խնդիր

Հարկավոր է գտնել

(- 9; - 7)

կետի կերպարը կոորդինատների սկզբնակետի շուրջը

810^{\circ}

-ով պտտելու արդյունքում։

Լուծում

810^{\circ}

-ով պտույտը նույնն է, ինչ երկու պտույտ

360^{\circ}

-ով և մեկ պտույտ

90^{\circ}

-ով (քանի որ

810 = 2 \cdot 360 + 90

)։

360^{\circ}

-ով պտույտի դեպքում յուրաքանչյուր կետ արտապատկերովում է ինքն իրեն։ Այլ կերպ ասած՝ ոչինչ չի փոխվում։

[Խնդրում եմ, ավելի մանրամասն բացատրես։]

Այսինքն՝

810^{\circ}

-ով պտույտը նույնն է, ինչ

90^{\circ}

-ով պտույտը։ Հետևաբար, կարող ենք օգտվել

R_{(0; 0); 90^{\circ}} (x; y) = (- y; x)

օրինաչափությունից։

$R_{(0; 0); 810^{\circ}} (- 9; - 7) = (7; - 9)$ ‍

Քո հերթն է

Խնդիր 1

Պատկերիր $E (8; 6)$ ‍ կետի կերպարը $R_{(0; 0); - 270^{\circ}}$ ‍ պտույտի արդյունքում։

[Ինձ օգնություն է պետք: Խնդրում եմ, ցույց տուր լուծումը:]

Խնդիր 2

Ո՞ր պտույտն է համարժեք $R_{(0; 0); - 990^{\circ}}$ ‍ պտույտին։

[Ինձ օգնություն է պետք: Խնդրում եմ, ցույց տուր լուծումը:]

Մաս 3: Բազմանկյունների պտտում

Արի ուսումնասիրենք նմուշ-խնդիրը։

Դիտարկիր ստորև բերված

D E F G

քառանկյունը։ Արի գծենք վերջինիս

D^{'} E^{'} F^{'} G^{'}

կերպարը

R_{(0; 0); 270^{\circ}}

պտույտի արդյունքում։

Լուծում

Համանման ձևով, ինչպես զուգահեռ տեղափոխությունների դեպքում, բազմանկյունները պտտելիս պետք է պտտենք վերջինիս բոլոր գագաթները, այնուհետև միացնենք այդ գագաթների կերպարները՝ բազմանկյան կերպարը ստանալու համար։

[Ի՞նչ տեսք կունենա -90°-ով պտույտը։]

Քո հերթն է

Պատկերիր ստորև բերված $△ H I J$ ‍ եռանկյան կերպարը $R_{(0; 0); 90^{\circ}}$ ‍ պտույտի արդյունքում։

[Ինձ օգնություն է պետք: Խնդրում եմ, ցույց տուր լուծումը:]

Ուզո՞ւմ ես միանալ խոսակցությանը։

Մուտք գործել

Դասակարգել ըստ

Առայժմ հրապարակումներ չկան։

Անգլերեն հասկանո՞ւմ ես: Սեղմիր այստեղ և ավելի շատ քննարկումներ կգտնես «Քան» ակադեմիայի անգլերեն կայքում:

11-րդ դասարան. երկրաչափություն

Դասընթաց․ (11-րդ դասարան. երկրաչափություն ) > Բաժին 3

Ներածություն

Մաս 1: Կետերի պտույտ 90∘‍ -ով, 180∘‍ -ով և −90∘‍ -ով

Արի ուսումնասիրենք նմուշ-խնդիրը։

Առաջին եղանակ: Տեսողական մոտեցում

Երկրորդ եղանակ: Հանրահաշվական մոտեցում

Քո հերթն է

Խնդիր 1

Խնդիր 2

Գրաֆիկական եղանակ և հանրահաշվական եղանակ

Մաս 2: Պտույտ 90∘‍ -ի բազմապատիկ թվով

Արի ուսումնասիրենք նմուշ-խնդիրը։

Լուծում

Արի ուսումնասիրենք ևս մեկ նմուշ-խնդիր

Լուծում

Քո հերթն է

Խնդիր 1

Խնդիր 2

Մաս 3: Բազմանկյունների պտտում

Արի ուսումնասիրենք նմուշ-խնդիրը։

Լուծում

Քո հերթն է

Ուզո՞ւմ ես միանալ խոսակցությանը։

Մաս 1: Կետերի պտույտ $90^{\circ}$ ‍-ով, $180^{\circ}$ ‍-ով և $- 90^{\circ}$ ‍-ով

Մաս 2: Պտույտ $90^{\circ}$ ‍-ի բազմապատիկ թվով