Պայմանական հավանականություն և անկախություն

Հավանականության մեջ, մենք ասում ենք, որ երկու պատահույթներ անկախ են, եթե գիտենք, որ մի պատահույթի տեղի ունենալը չի փոխում մյուս պատահույթի հավանականությունը:

Օրինակ՝ նետելուց հետո արդար մետաղադրամի «թիվ» ընկնելու հավանականությունը կազմում է $1/2$1, slash, 2: Իսկ եթե իմանայինք, որ օրը երեքշաբթի է: Սա փոխու՞մ է «թիվ» ստանալու հավանականությունը։ Իհարկե ոչ. «թիվ» ընկնելու հավանականությունը, եթե տրված է, որ երեքշաբթի է, դեռ $1/2$1, slash, 2 է։ Այսպիսով, մետաղադրամի նետման արդյունքը և երեքշաբթի օրը անկախ պատահույթներ են. իմանալը, որ երեքշաբթի է, չփոխեց «թիվ» ընկնելու հավանականությունը:

Ոչ բոլոր իրավիճակներն են այսքան ակնհայտ: Ի՞նչ կասեք սեռի և ձախլիկ կամ աջլիկ լինելու մասին: Կարող է թվալ, թե մարդու սեռը և ձախլիկ լինելը անկախ պատահույթներ են: Այնուամենայնիվ, երբ ուսումնասիրում ենք հավանականությունները, տեսնում ենք, որ բոլոր մարդկանց մոտ $10\%$10, percent-ը ձախլիկ է, իսկ արական սեռի մոտ $12\%$12, percent-ն է ձախլիկ: Այսպիսով, այս պատահույթները անկախ չեն, քանի որ պատահական մարդու մասին իմանալը, որ նա արական սեռին է պատկանում, մեծացնում է ձախլիկ լինելու հավանականությունը:

Գլխավորն այն է, որ մենք անկախությունը ստուգում ենք հավանականությունների միջոցով:

Երկու պատահույթներ, A և B, անկախ են,եթե $P(\text{A } | \text{ B})=P(\text{A})$P, left parenthesis, start text, A, space, end text, vertical bar, start text, space, B, end text, right parenthesis, equals, P, left parenthesis, start text, A, end text, right parenthesis և $P(\text{B } | \text{ A})=P(\text{B})$P, left parenthesis, start text, B, space, end text, vertical bar, start text, space, A, end text, right parenthesis, equals, P, left parenthesis, start text, B, end text, right parenthesis։

Հետազոտողները հարցումներ են անցկացրել երկու տարբեր համալսարանների շրջանավարտների հետ իրենց տարեկան եկամուտների մասին: Հետևյալ երկկողմ աղյուսակը ցույց է տալիս $300$300 շրջանավարտների տվյալները, ովքեր պատասխանել են հարցմանը:

Ենթադրենք այս տվյալներից ընտրում ենք պատահական շրջանավարտ։

Եկեք ստուգենք՝ կիրառելով պայմանական հավանականությունը։

Ահա նույն տվյալները նախորդ օրինակից.

Ենթադրենք այս տվյալներից ընտրում ենք պատահական շրջանավարտ։

Եկեք ստուգենք՝ կիրառելով պայմանական հավանականությունը։

Երբ մենք ստուգում ենք անկախությունը իրական աշխարհի տվյալների բազմություններում, հազվադեպ է լինում կատարելապես հավասար հավանականություններ: Գրեթե բոլոր իրական իրադարձությունները, որոնք չեն ներառում շահումով խաղեր, որոշ չափով կախյալ են:

Գործնականում մենք հաճախ ենթադրում ենք, որ իրադարձություններն անկախ են և ստուգում ենք այդ ենթադրությունը ընտրանքային տվյալների վրա: Եթե հավանականությունները զգալիորեն տարբերվում են, ապա մենք եզրակացնում ենք, որ իրադարձությունները անկախ չեն: Մենք ավելին կիմանանք այս գործընթացի մասին եզրահանգումային վիճակագրությունից:

Ի վերջո, զգույշ եղեք, որպեսզի եզրակացություններ չանեք պատճառի և հետևանքի վերաբերյալ, եթե տվյալները չեն ստացվել լավ մշակված փորձից: Որպես մարտահրավեր, կարո՞ղ եք մտածել որոշ արտաքին փոփոխականների մասին, բացի համալսարաններից, որոնք կարող են լինել օրինակ 2-ի երկու համալսարանների շրջանավարտների միջև եկամուտների անհավասարության պատճառը: