If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Եթե գտնվում ես վեբ զտիչի հետևում, խնդրում ենք համոզվել, որ *.kastatic.org և *.kasandbox.org տիրույթները հանված են արգելափակումից։

Հիմնական նյութ

Թեորեմ ներգծյալ անկյան մասին․ապացույց

Ապացուցում ենք, որ ներգծյալ անկյունը հավասար է նույն աղեղով պարփակված կենտրոնային անկյան կեսին։

Սկսենք

Մինչև ապացույցի մասին խոսելը՝ համոզվենք, որ տիրապետում ենք շրջանագծի որոշ հիմնական տերմինների:
Ահա մի փոքրիկ համապատասխանեցման աղյուսակ, որպեսզի ինքդ մտածես, թե որ հասկացությունն ինչ է:
Օգտվելով գծագրից՝ կատարիր համապատասխանություններ:
1

Լավ աշխատանք էր: Մենք օգտագործելու ենք այդ տերմինները հոդվածի շարունակության ողջ ընթացքում:

Ինչ ենք պատրաստվում ապացուցել

Մենք պատրաստվում ենք ապացուցել մի ուշագրավ հատկություն այն դեպքի համար, երբ ներգծյալ (ψ) անկյունը և կենտրոնական (θ) անկյունը հենված են միևնույն աղեղի վրա: Կենտրոնական անկյան աստիճանային չափը հավասար է ներգծյալ անկյան աստիճանային չափի կրկնապատիկին:
θ=2ψ

Ապացույցի գաղափարը

Որպեսզի ապացուցենք, որ θ=2ψ վերևում նկարագրված կամայական θ-ի և ψ-ի համար, պետք է քննարկենք երեք առանձին դեպքեր:
Ա դեպքԲ դեպքԳ դեպք
Այս դեպքերը միասին ընդգրկում են բոլոր այն դեպքերը, երբ կենտրոնական և ներգծյալ անկյունները հենված են միևնույն աղեղի վրա:

Ա դեպք. ψ ներգծյալ անկյան կողմերից մեկն անցնում է շրջանագծի կենտրոնով

Քայլ 1. Նկատենք հավասարասրուն եռանկյունը:

BC և BD հատվածները շառավիղներ են, ուստի ունեն նույն երկարությունը: Սա նշանակում է, որ CBD-ն հավասարասրուն է, ինչն էլ նշանակում է, որ հիմքին առընթեր անկյունները հավասար են:
C=D=ψ

Քայլ 2. Նկատենք փռված անկյունը:

ABC-ն փռված անկյուն է, ուստի՝
θ+DBC=180DBC=180θ

Քայլ 3. Կազմենք հավասարում և ψ-ից կախված՝ լուծենք այն:

CBD-ի ներքին անկյուններն են ψ, ψ և (180θ), ինչպես նաև գիտենք, որ կամայական եռանկյան ներքին անկյունների գումարը 180 է:
ψ+ψ+(180θ)=1802ψ+180θ=1802ψθ=02ψ=θ
Շատ լավ, մենք ավարտեցինք ապացույցը Ա դեպքի համար, մնաց երկու դեպք:

Բ դեպք. ψ ներգծյալ անկյան կողմերն ընկած են շրջանագծի կենտրոնի տարբեր կողմերում

Քայլ 1. Խորամանկություն անենք և տանենք տրամագիծը:

Օգտագործելով տրամագիծը՝ ψ անկյունը բաժանենք ψ1 և ψ2 անկյունների, իսկ θ-ն՝ θ1-ի և θ2-ի, ինչպես պատկերված է.

Քայլ 2. Օգտագործենք Ա դեպքում ստացած արդյունքը և գրենք երկու հավասարություն:

Մեր նոր գծագրում տրամագիծը բաժանում է ներգծյալ անկյունը երկու ներգծյալ անկյունների, որոնցից յուրաքանչյուրի ճառագայթներից մեկն անցնում է շրջանագծի կենտրոնով: Դա նույն իրավիճակն է, ինչ Ա դեպքում, ուստի գիտենք, որ՝
(1)θ1=2ψ1
և
(2)θ2=2ψ2,
քանի որ Ա դեպքում սա ապացուցել էինք:

Քայլ 3. Գումարենք հավասարությունները:

θ1+θ2=2ψ1+2ψ2Գումարենք (1)-ը և (2)-ը(θ1+θ2)=2(ψ1+ψ2)Միացնենք նման անդամներըθ=2ψθ=θ1+θ2 և ψ=ψ1+ψ2
Բ դեպքն ավարտված է: Մնաց ընդամենը մեկ դեպք:

Գ դեպք. Ներգծյալ անկյան կողմերն ընկած են տրամագծի միևնույն կողմում

Քայլ 1. Պատկերենք տրամագիծը:

Արի դիտարկենք երկու նոր անկյուններ՝ θ2 և ψ2՝ օգտագործելով տրամագիծը, ինչպես ցույց է տրված.

Քայլ 2. Օգտագործենք Ա դեպքում ստացած արդյունքը և գրենք երկու հավասարություն:

Նույն ձևով, ինչպես Բ դեպքում, լրացրինք գծագիրը, որպեսզի կարողանանք օգտագործել Ա դեպքում ստացված հատկությունը: Այս գծագրում գիտենք, որ՝
(1)θ2=2ψ2
(2)(θ2+θ)=2(ψ2+ψ)

Քայլ 4. Տեղադրենք և պարզեցնենք:

(θ2+θ)=2(ψ2+ψ)(2)(2ψ2+θ)=2(ψ2+ψ)θ2=2ψ22ψ2+θ=2ψ2+2ψθ=2ψ
Ահա և վերջ: Ապացուցեցինք, որ θ=2ψ բոլոր դեպքերում:

Ամփոփում

Մենք ցանկացանք ապացուցել, որ կենտրոնական անկյունը երկու անգամ մեծ է միևույն աղեղի վրա հենված ներգծյալ անկյունից:
Ապացույցի սկզբում առանձնացրինք երեք դեպք, որոնց միասին ընդգրկում են բոլոր հնարավոր դեպքերը, որոնցում ունենք միևնույն աղեղի վրա հենված կենտրոնական և ներգծյալ անկյուններ:
Ա դեպքԲ դեպքԳ դեպք
Ա դեպքում նկատեցինք հավասարասրուն եռանկյուն և փռված անկյուն: Օգտվելով դրանցից՝ ստացանք ψ-ն և θ-ն պարունակող հավասարություն: Որոշ հանրահաշվական ձևափոխությունների միջոցով ապացուցեցինք, որ θ=2ψ:
Բ և Գ դեպքերում գծագրում ավելացրինք տրամագիծ.
Բ դեպքԳ դեպք
Դա մեզ հնարավորություն տվեց օգտվելու Ա դեպքում ստացած արդյունքից: Ե՛վ Բ դեպքում, և՛ Գ դեպքում գրեցինք հավասարություններ՝ հիմնվելով Ա դեպքի վրա: Այնուհետև, ունենալով այդ հավասարությունները, կատարեցինք փոքրիկ հանրահաշվական ձևափոխություններ և ստացանք, որ θ=2ψ:

Ուզո՞ւմ ես միանալ խոսակցությանը։

Անգլերեն հասկանո՞ւմ ես: Սեղմիր այստեղ և ավելի շատ քննարկումներ կգտնես «Քան» ակադեմիայի անգլերեն կայքում: