Հիմնական նյութ

8-րդ դասարան. երկրաչափություն

Դասընթաց․ (8-րդ դասարան. երկրաչափություն) > Բաժին 2

Դաս 4: Ներգծյալ անկյուններ

Թեորեմ ներգծյալ անկյան մասին․ապացույց

«Google Classroom»

Ապացուցում ենք, որ ներգծյալ անկյունը հավասար է նույն աղեղով պարփակված կենտրոնային անկյան կեսին։

Սկսենք

Մինչև ապացույցի մասին խոսելը՝ համոզվենք, որ տիրապետում ենք շրջանագծի որոշ հիմնական տերմինների:

Ահա մի փոքրիկ համապատասխանեցման աղյուսակ, որպեսզի ինքդ մտածես, թե որ հասկացությունն ինչ է:

Օգտվելով գծագրից՝ կատարիր համապատասխանություններ:

1

[Բացատրիր պատասխանները]

Լավ աշխատանք էր: Մենք օգտագործելու ենք այդ տերմինները հոդվածի շարունակության ողջ ընթացքում:

Ինչ ենք պատրաստվում ապացուցել

Մենք պատրաստվում ենք ապացուցել մի ուշագրավ հատկություն այն դեպքի համար, երբ ներգծյալ

(ψ)

անկյունը և կենտրոնական

(θ)

անկյունը հենված են միևնույն աղեղի վրա: Կենտրոնական անկյան աստիճանային չափը հավասար է ներգծյալ անկյան աստիճանային չափի կրկնապատիկին:

θ = 2 ψ

Ապացույցի գաղափարը

Որպեսզի ապացուցենք, որ

θ = 2 ψ

վերևում նկարագրված կամայական

θ

-ի և

ψ

-ի համար, պետք է քննարկենք երեք առանձին դեպքեր:

Ա դեպք	Բ դեպք	Գ դեպք

Այս դեպքերը միասին ընդգրկում են բոլոր այն դեպքերը, երբ կենտրոնական և ներգծյալ անկյունները հենված են միևնույն աղեղի վրա:

Ա դեպք. $ψ$ ‍ ներգծյալ անկյան կողմերից մեկն անցնում է շրջանագծի կենտրոնով

Քայլ 1. Նկատենք հավասարասրուն եռանկյունը:

B C

B D

հատվածները շառավիղներ են, ուստի ունեն նույն երկարությունը: Սա նշանակում է, որ

△ C B D

-ն հավասարասրուն է, ինչն էլ նշանակում է, որ հիմքին առընթեր անկյունները հավասար են:

∠ C = ∠ D = ψ

Քայլ 2. Նկատենք փռված անկյունը:

∠ A B C

-ն փռված անկյուն է, ուստի՝

\begin{aligned} θ + ∠ D B C & = 180^{\circ} \\ ∠ D B C & = 180^{\circ} - θ \end{aligned}

Քայլ 3. Կազմենք հավասարում և $ψ$ ‍-ից կախված՝ լուծենք այն:

△ C B D

-ի ներքին անկյուններն են

ψ

ψ

(180^{\circ} - θ)

, ինչպես նաև գիտենք, որ կամայական եռանկյան ներքին անկյունների գումարը

180^{\circ}

է:

\begin{aligned} ψ + ψ + (180^{\circ} - θ) & = 180^{\circ} \\ 2 ψ + 180^{\circ} - θ & = 180^{\circ} \\ 2 ψ - θ & = 0 \\ 2 ψ & = θ \end{aligned}

Շատ լավ, մենք ավարտեցինք ապացույցը Ա դեպքի համար, մնաց երկու դեպք:

Բ դեպք. $ψ$ ‍ ներգծյալ անկյան կողմերն ընկած են շրջանագծի կենտրոնի տարբեր կողմերում

Քայլ 1. Խորամանկություն անենք և տանենք տրամագիծը:

Օգտագործելով տրամագիծը՝

ψ

անկյունը բաժանենք

ψ_{1}

ψ_{2}

անկյունների, իսկ

θ

-ն՝

θ_{1}

-ի և

θ_{2}

-ի, ինչպես պատկերված է.

Քայլ 2. Օգտագործենք Ա դեպքում ստացած արդյունքը և գրենք երկու հավասարություն:

Մեր նոր գծագրում տրամագիծը բաժանում է ներգծյալ անկյունը երկու ներգծյալ անկյունների, որոնցից յուրաքանչյուրի ճառագայթներից մեկն անցնում է շրջանագծի կենտրոնով: Դա նույն իրավիճակն է, ինչ Ա դեպքում, ուստի գիտենք, որ՝

(1) θ_{1} = 2 ψ_{1}

(2) θ_{2} = 2 ψ_{2}

քանի որ Ա դեպքում սա ապացուցել էինք:

Քայլ 3. Գումարենք հավասարությունները:

\begin{aligned} θ_{1} + θ_{2} & = 2 ψ_{1} + 2 ψ_{2} & Գումարենք (1)-ը և (2)-ը \\ (θ_{1} + θ_{2}) & = 2 (ψ_{1} + ψ_{2}) & Միացնենք նման անդամները \\ θ & = 2 ψ & θ = θ_{1} + θ_{2} և ψ = ψ_{1} + ψ_{2} \end{aligned}

Բ դեպքն ավարտված է: Մնաց ընդամենը մեկ դեպք:

Գ դեպք. Ներգծյալ անկյան կողմերն ընկած են տրամագծի միևնույն կողմում

Քայլ 1. Պատկերենք տրամագիծը:

Արի դիտարկենք երկու նոր անկյուններ՝

θ_{2}

ψ_{2}

՝ օգտագործելով տրամագիծը, ինչպես ցույց է տրված.

Քայլ 2. Օգտագործենք Ա դեպքում ստացած արդյունքը և գրենք երկու հավասարություն:

Նույն ձևով, ինչպես Բ դեպքում, լրացրինք գծագիրը, որպեսզի կարողանանք օգտագործել Ա դեպքում ստացված հատկությունը: Այս գծագրում գիտենք, որ՝

(1) θ_{2} = 2 ψ_{2}

(2) (θ_{2} + θ) = 2 (ψ_{2} + ψ)

Քայլ 4. Տեղադրենք և պարզեցնենք:

\begin{aligned} (θ_{2} + θ) & = 2 (ψ_{2} + ψ) & (2) \\ (2 ψ_{2} + θ) & = 2 (ψ_{2} + ψ) & θ_{2} = 2 ψ_{2} \\ 2 ψ_{2} + θ & = 2 ψ_{2} + 2 ψ \\ θ & = 2 ψ \end{aligned}

Ահա և վերջ: Ապացուցեցինք, որ

θ = 2 ψ

բոլոր դեպքերում:

Ամփոփում

Մենք ցանկացանք ապացուցել, որ կենտրոնական անկյունը երկու անգամ մեծ է միևույն աղեղի վրա հենված ներգծյալ անկյունից:

Ապացույցի սկզբում առանձնացրինք երեք դեպք, որոնց միասին ընդգրկում են բոլոր հնարավոր դեպքերը, որոնցում ունենք միևնույն աղեղի վրա հենված կենտրոնական և ներգծյալ անկյուններ:

Ա դեպք	Բ դեպք	Գ դեպք

Ա դեպքում նկատեցինք հավասարասրուն եռանկյուն և փռված անկյուն: Օգտվելով դրանցից՝ ստացանք

ψ

-ն և

θ

-ն պարունակող հավասարություն: Որոշ հանրահաշվական ձևափոխությունների միջոցով ապացուցեցինք, որ

θ = 2 ψ

Բ և Գ դեպքերում գծագրում ավելացրինք տրամագիծ.

Բ դեպք	Գ դեպք

Դա մեզ հնարավորություն տվեց օգտվելու Ա դեպքում ստացած արդյունքից: Ե՛վ Բ դեպքում, և՛ Գ դեպքում գրեցինք հավասարություններ՝ հիմնվելով Ա դեպքի վրա: Այնուհետև, ունենալով այդ հավասարությունները, կատարեցինք փոքրիկ հանրահաշվական ձևափոխություններ և ստացանք, որ

θ = 2 ψ

Ուզո՞ւմ ես միանալ խոսակցությանը։

Մուտք գործել

Դասակարգել ըստ

Angelina123
Տեղադրվել է 3 տարի առաջ։ Ուղղակի հղում դեպի Angelina123-ի գրառումը՝ “Ես չհասկացա այսօրվա դասը ...”
Ես չհասկացա այսօրվա դասը խնդրում եմ բացատրել
Կոճակը տեղափոխում է գրանցման էջԿոճակը տեղափոխում է գրանցման էջ
(1 ձայն)
Պատասխան

Անգլերեն հասկանո՞ւմ ես: Սեղմիր այստեղ և ավելի շատ քննարկումներ կգտնես «Քան» ակադեմիայի անգլերեն կայքում:

8-րդ դասարան. երկրաչափություն

Դասընթաց․ (8-րդ դասարան. երկրաչափություն) > Բաժին 2

Սկսենք

Ինչ ենք պատրաստվում ապացուցել

Ապացույցի գաղափարը

Ա դեպք. ψ‍ ներգծյալ անկյան կողմերից մեկն անցնում է շրջանագծի կենտրոնով

Քայլ 1. Նկատենք հավասարասրուն եռանկյունը:

Քայլ 2. Նկատենք փռված անկյունը:

Քայլ 3. Կազմենք հավասարում և ψ‍ -ից կախված՝ լուծենք այն:

Բ դեպք. ψ‍ ներգծյալ անկյան կողմերն ընկած են շրջանագծի կենտրոնի տարբեր կողմերում

Քայլ 1. Խորամանկություն անենք և տանենք տրամագիծը:

Քայլ 2. Օգտագործենք Ա դեպքում ստացած արդյունքը և գրենք երկու հավասարություն:

Քայլ 3. Գումարենք հավասարությունները:

Գ դեպք. Ներգծյալ անկյան կողմերն ընկած են տրամագծի միևնույն կողմում

Քայլ 1. Պատկերենք տրամագիծը:

Քայլ 2. Օգտագործենք Ա դեպքում ստացած արդյունքը և գրենք երկու հավասարություն:

Քայլ 4. Տեղադրենք և պարզեցնենք:

Ամփոփում

Ուզո՞ւմ ես միանալ խոսակցությանը։

Ա դեպք. $ψ$ ‍ ներգծյալ անկյան կողմերից մեկն անցնում է շրջանագծի կենտրոնով

Քայլ 3. Կազմենք հավասարում և $ψ$ ‍-ից կախված՝ լուծենք այն:

Բ դեպք. $ψ$ ‍ ներգծյալ անկյան կողմերն ընկած են շրջանագծի կենտրոնի տարբեր կողմերում