Հիմնական նյութ

Դասընթաց․ (9-րդ դասարան. հանրահաշիվ) > Բաժին 8

Դաս 2: Թվաբանական պրոգրեսիաների կառուցումը

Թվաբանական պրոգրեսիաների ռեկուրենտ (անդրադարձ) և n-րդ անդամի բանաձևերի փոխակերպումը

Սովորիր փոխակերպել թվաբանական պրոգրեսիաների ռեկուրենտ և n-րդ անդամի բանաձևերը:

Նախքան այս դասին անցնելը համոզվիր, որ գիտես, թե ինչպես գտնել թվաբանական պրոգրեսիաների ռեկուրենտ բանաձևերը և n-րդ անդամի բանաձևերը։

Ռեկուրենտ (անդրադարձ) բանաձևից n-րդ անդամի բանաձևի ստացումը

Թվաբանական պրոգրեսիան ունի հետևյալ ռեկուրենտ բանաձևը․

${\begin{cases} a_{1} = 3 \\ a_{n} = a_{n - 1} + 2 \end{cases}$ ‍

Հիշիր, որ այս բանաձևը մեզ տալիս է հետևյալ կարևոր տեղեկությունները․

Առաջին անդամն է $3$ ‍:
Յուրաքանչյուր անդամ գտնելու համար նախորդ անդամին գումարիր $2$ ‍։ Այլ կերպ ասած՝ տարբերությունն է՝ $2$ ‍։

Արի գտնենք հաջորդականության n-րդ անդամի բանաձևը։

Հիշիր, որ

A

առաջին անդամով և

B

տարբերությամբ հաջորդականությունը կարող ենք ներկայացնել հետևյալ տեսքի n-րդ անդամի բանաձևով.

A + B (n - 1)

Ուրեմն հաջորդականության n-րդ անդամի բանաձևն է

a_{n} = 3 + 2 (n - 1)

Ստուգիր, թե որքանով ես հասկացել

1) Գրիր հաջորդականության n-րդ անդամի բանաձևը։

{\begin{cases} b_{1} = - 22 \\ b_{n} = b_{n - 1} + 7 \end{cases}

b_{n} =

Թվաբանական պրոգրեսիաների n-րդ անդամի բանաձևի ստանդարտ տեսքն է

A + B (n - 1)

, որտեղ

A

-ն առաջին անդամն է, իսկ

B

-ն՝ տարբերությունը։

Համաձայն ռեկուրենտ բանաձևի՝

առաջին անդամն է $- 22$ ‍, իսկ
ընդհանուր տարբերությունը՝ $7$ ‍։

Այսպիսով՝ $b_{n} = - 22 + 7 (n - 1)$ ‍։

2) Գրիր հաջորդականության n-րդ անդամի բանաձևը։

{\begin{cases} c_{1} = 8 \\ c_{n} = c_{n - 1} - 13 \end{cases}

c_{n} =

Թվաբանական պրոգրեսիաների n-րդ անդամի բանաձևի ստանդարտ տեսքն է

A + B (n - 1)

, որտեղ

A

-ն առաջին անդամն է, իսկ

B

-ն՝ տարբերությունը։

Համաձայն ռեկուրենտ բանաձևի՝

առաջին անդամն է $8$ ‍, իսկ
տարբերությունը՝ $- 13$ ‍։

Այսպիսով՝ $c_{n} = 8 - 13 (n - 1)$ ‍։

n-րդ անդամի բանաձևից ռեկուրենտ բանաձևի ստացումը

Օրինակ 1։ Բանաձևը տրված է ստանդարտ տեսքով

Տրված է թվաբանական պրոգրեսիայի n-րդ անդամի բանաձևը․

$d_{n} = 5 + 16 (n - 1)$ ‍

Այս բանաձևը տրված է

A + B (n - 1)

ստանդարտ տեսքով, որտեղ

A

-ն առաջին անդամն է, իսկ

B

-ն՝ տարբերությունը։

հաջորդականության առաջին անդամն է $5$ ‍, իսկ
տարբերությունը՝ $16$ ‍։

Արի գտնենք հաջորդականության ռեկուրենտ բանաձևը։ Հիշիր, որ այս բանաձևը մեզ տալիս է հետևյալ կարևոր տեղեկությունները․

Առաջին անդամը $($ ‍ինչը հավասար է $5)$ ‍
Կանոնը, որով կարող ենք գտնել ցանկացած անդամ՝ ըստ նախորդ անդամի $($ ‍այն է՝ «Գումարիր $16$ ‍ $)$ ‍:

Հետևաբար, հաջորդականության ռեկուրենտ բանաձևն է՝

{\begin{cases} d_{1} = 5 \\ d_{n} = d_{n - 1} + 16 \end{cases}

Օրինակ 2: Բանաձևը տրված է պարզեցված տեսքով

Տրված է թվաբանական պրոգրեսիայի n-րդ անդամի բանաձևը․

$e_{n} = 10 + 2 n$ ‍

Ուշադրություն դարձրու, որ n-րդ անդամի բանաձևը տրված չէ

A + B (n - 1)

ստանդարտ տեսքով։

Այս պատճառով մենք չենք կարող պարզապես բանաձևի միջոցով գտնել առաջին անդամը և տարբերությունը։ Փոխարենը կարող ենք գտնել առաջին երկու անդամները․

$e_{1} = 10 + 2 \cdot 1 = 12$ ‍
$e_{2} = 10 + 2 \cdot 2 = 14$ ‍

Այժմ կարող ենք տեսնել, որ առաջին անդամն է

12

, իսկ տարբերությունը՝

2

Հետևաբար, հաջորդականության ռեկուրենտ բանաձևն է՝

{\begin{cases} e_{1} = 12 \\ e_{n} = e_{n - 1} + 2 \end{cases}

Ստուգիր, թե որքանով ես հասկացել

3) Թվաբանական պրոգրեսիայի n-րդ անդամի բանաձևն է

f (n) = 5 + 12 (n - 1)

Լրացրու հաջորդականության ռեկուրենտ բանաձևում բաց թողնված արժեքները։

{\begin{cases} f (1) = A \\ f (n) = f (n - 1) + B \end{cases}


$A =$ ‍ Քո պատասխանը պետք է լինի ամբողջ թիվ, օրինակ՝ $6$ ‍ պարզեցված կանոնավոր կոտորակ, օրինակ՝ $3 / 5$ ‍ պարզեցված անկանոն կոտորակ, օրինակ՝ $7 / 4$ ‍ խառը թիվ, օրինակ՝ $1 3 / 4$ ‍ վերջավոր տասնորդական կոտորակ, օրինակ $0, 75$ ‍ Պիի բազմապատիկ, օրինակ՝ $12 պի$ ‍ կամ $2 / 3 պի$ ‍	$B =$ ‍ Քո պատասխանը պետք է լինի ամբողջ թիվ, օրինակ՝ $6$ ‍ պարզեցված կանոնավոր կոտորակ, օրինակ՝ $3 / 5$ ‍ պարզեցված անկանոն կոտորակ, օրինակ՝ $7 / 4$ ‍ խառը թիվ, օրինակ՝ $1 3 / 4$ ‍ վերջավոր տասնորդական կոտորակ, օրինակ $0, 75$ ‍ Պիի բազմապատիկ, օրինակ՝ $12 պի$ ‍ կամ $2 / 3 պի$ ‍

Տրված ռեկուրենտ բանաձևում

A

-ն առաջին անդամն է, իսկ

B

-ն՝ տարբերությունը։

Այս բանաձևը տրված է

A + B (n - 1)

ստանդարտ տեսքով, որտեղ

A

-ն առաջին անդամն է, իսկ

B

-ն՝ տարբերությունը։

Քանի որ n-րդ անդամի բանաձևն է

5 + 12 (n - 1)

, գիտենք, որ առաջին անդամն է

5

, իսկ տարբերությունը՝

12

Եզրակացություն՝ $A = 5$ ‍ և $B = 12$ ‍։

4) Թվաբանական պրոգրեսիայի n-րդ անդամի բանաձևն է

g (n) = - 11 - 8 (n - 1)

Լրացրու հաջորդականության ռեկուրենտ բանաձևում բաց թողնված արժեքները։

{\begin{cases} g (1) = A \\ g (n) = g (n - 1) + B \end{cases}


$A =$ ‍ Քո պատասխանը պետք է լինի ամբողջ թիվ, օրինակ՝ $6$ ‍ պարզեցված կանոնավոր կոտորակ, օրինակ՝ $3 / 5$ ‍ պարզեցված անկանոն կոտորակ, օրինակ՝ $7 / 4$ ‍ խառը թիվ, օրինակ՝ $1 3 / 4$ ‍ վերջավոր տասնորդական կոտորակ, օրինակ $0, 75$ ‍ Պիի բազմապատիկ, օրինակ՝ $12 պի$ ‍ կամ $2 / 3 պի$ ‍	$B =$ ‍ Քո պատասխանը պետք է լինի ամբողջ թիվ, օրինակ՝ $6$ ‍ պարզեցված կանոնավոր կոտորակ, օրինակ՝ $3 / 5$ ‍ պարզեցված անկանոն կոտորակ, օրինակ՝ $7 / 4$ ‍ խառը թիվ, օրինակ՝ $1 3 / 4$ ‍ վերջավոր տասնորդական կոտորակ, օրինակ $0, 75$ ‍ Պիի բազմապատիկ, օրինակ՝ $12 պի$ ‍ կամ $2 / 3 պի$ ‍

Տրված ռեկուրենտ բանաձևում

A

-ն առաջին անդամն է, իսկ

B

-ն՝ տարբերությունը։

Այս բանաձևը տրված է

A + B (n - 1)

ստանդարտ տեսքով, որտեղ

A

-ն առաջին անդամն է, իսկ

B

-ն՝ տարբերությունը։

Քանի որ n-րդ անդամի բանաձևն է

- 11 - 8 (n - 1)

, գիտենք, որ առաջին անդամն է

- 11

, իսկ տարբերությունը՝

- 8

Եզրակացություն՝ $A = - 11$ ‍ և $B = - 8$ ‍։

5) Թվաբանական պրոգրեսիայի n-րդ անդամի բանաձևն է

h (n) = 1 + 4 n

Լրացրու հաջորդականության ռեկուրենտ բանաձևում բաց թողնված արժեքները։

{\begin{cases} h (1) = A \\ h (n) = h (n - 1) + B \end{cases}


$A =$ ‍ Քո պատասխանը պետք է լինի ամբողջ թիվ, օրինակ՝ $6$ ‍ պարզեցված կանոնավոր կոտորակ, օրինակ՝ $3 / 5$ ‍ պարզեցված անկանոն կոտորակ, օրինակ՝ $7 / 4$ ‍ խառը թիվ, օրինակ՝ $1 3 / 4$ ‍ վերջավոր տասնորդական կոտորակ, օրինակ $0, 75$ ‍ Պիի բազմապատիկ, օրինակ՝ $12 պի$ ‍ կամ $2 / 3 պի$ ‍	$B =$ ‍ Քո պատասխանը պետք է լինի ամբողջ թիվ, օրինակ՝ $6$ ‍ պարզեցված կանոնավոր կոտորակ, օրինակ՝ $3 / 5$ ‍ պարզեցված անկանոն կոտորակ, օրինակ՝ $7 / 4$ ‍ խառը թիվ, օրինակ՝ $1 3 / 4$ ‍ վերջավոր տասնորդական կոտորակ, օրինակ $0, 75$ ‍ Պիի բազմապատիկ, օրինակ՝ $12 պի$ ‍ կամ $2 / 3 պի$ ‍

Տրված ռեկուրենտ բանաձևում

A

-ն առաջին անդամն է, իսկ

B

-ն՝ տարբերությունը։

Ուշադրություն դարձրու, որ n-րդ անդամի բանաձևը տրված չէ

A + B (n - 1)

ստանդարտ տեսքով։

Արի գտնենք առաջին երկու անդամները․

$h (1) = 1 + 4 \cdot 1 = 5$ ‍
$h (2) = 1 + 4 \cdot 2 = 9$ ‍

Այժմ կարող ենք տեսնել, որ առաջին անդամն է

5

, իսկ տարբերությունը՝

4

Հետևաբար, $A = 5$ ‍ և $B = 4$ ‍։

6) Թվաբանական պրոգրեսիայի n-րդ անդամի բանաձևն է՝

i_{n} = 23 - 6 n

Լրացրու հաջորդականության ռեկուրենտ բանաձևում բաց թողնված արժեքները։

{\begin{cases} i_{1} = A \\ i_{n} = i_{n - 1} + B \end{cases}


$A =$ ‍ Քո պատասխանը պետք է լինի ամբողջ թիվ, օրինակ՝ $6$ ‍ պարզեցված կանոնավոր կոտորակ, օրինակ՝ $3 / 5$ ‍ պարզեցված անկանոն կոտորակ, օրինակ՝ $7 / 4$ ‍ խառը թիվ, օրինակ՝ $1 3 / 4$ ‍ վերջավոր տասնորդական կոտորակ, օրինակ $0, 75$ ‍ Պիի բազմապատիկ, օրինակ՝ $12 պի$ ‍ կամ $2 / 3 պի$ ‍	$B =$ ‍ Քո պատասխանը պետք է լինի ամբողջ թիվ, օրինակ՝ $6$ ‍ պարզեցված կանոնավոր կոտորակ, օրինակ՝ $3 / 5$ ‍ պարզեցված անկանոն կոտորակ, օրինակ՝ $7 / 4$ ‍ խառը թիվ, օրինակ՝ $1 3 / 4$ ‍ վերջավոր տասնորդական կոտորակ, օրինակ $0, 75$ ‍ Պիի բազմապատիկ, օրինակ՝ $12 պի$ ‍ կամ $2 / 3 պի$ ‍

Տրված ռեկուրենտ բանաձևում

A

-ն առաջին անդամն է, իսկ

B

-ն՝ տարբերությունը։

Ուշադրություն դարձրու, որ n-րդ անդամի բանաձևը տրված չէ

A + B (n - 1)

ստանդարտ տեսքով։

Արի գտնենք առաջին երկու անդամները․

$i_{1} = 23 - 6 \cdot 1 = 17$ ‍
$i_{2} = 23 - 6 \cdot 2 = 11$ ‍

Այժմ կարող ենք տեսնել, որ առաջին անդամն է

17

, իսկ տարբերությունը՝

- 6

Հետևաբար, $A = 17$ ‍ և $B = - 6$ ‍։

Բարդ խնդիր

7*) Ընտրիր այն բոլոր բանաձևերը, որոնք ներկայացնում են $101; 114; 127; …$ ‍ թվաբանական պրոգրեսիան։

Հաջորդականության առաջին անդամն է

101

, իսկ տարբերությունը՝

13

Հետևաբար, հաջորդականության ռեկուրենտ բանաձևն է՝

${\begin{cases} j_{1} = 101 \\ j_{n} = j_{n - 1} + 13 \end{cases}$ ‍

Մյուս ռեկուրենտ բանաձևերում առաջին անդամը սխալ է տրված։

Սա հաջորդականության n-րդ անդամի բանաձևի ստանդարտ տեսքն է․

$j_{n} = 101 + 13 (n - 1)$ ‍

Կարող ենք պարզեցնել այն՝ մեկ այլ ճշմարիտ բանաձև ստանալու նպատակով։

$\begin{aligned} j_{n} & = 101 + 13 (n - 1) \\ = 101 + 13 n - 13 \\ = 88 + 13 n \end{aligned}$ ‍

Մյուս n-րդ անդամի բանաձևերը համարժեք չեն վերը նշված բանաձևին և հետևաբար ճիշտ չեն։

Եզրակացություն՝ ճիշտ բանաձևերն են․

${\begin{cases} j_{1} = 101 \\ j_{n} = j_{n - 1} + 13 \end{cases}$ ‍
$j_{n} = 101 + 13 (n - 1)$ ‍
$j_{n} = 88 + 13 n$ ‍

Ուզո՞ւմ ես միանալ խոսակցությանը։

Մուտք գործել

Դասակարգել ըստ

Առայժմ հրապարակումներ չկան։

Անգլերեն հասկանո՞ւմ ես: Սեղմիր այստեղ և ավելի շատ քննարկումներ կգտնես «Քան» ակադեմիայի անգլերեն կայքում: