Հիմնական նյութ

Դասընթաց․ (9-րդ դասարան. հանրահաշիվ) > Բաժին 8

Դաս 1: Թվաբանական պրոգրեսիաներ․ ներածություն

Թվաբանական պրոգրեսիայի բանաձևեր. ներածություն

Ծանոթացիր թվաբանական պրոգրեսիայի n-րդ անդամի բանաձևի և ռեկուրենտ (անդրադարձ) բանաձևի հետ:

Նախքան այս թեմային անցնելը վստահ եղիր, որ գիտես թվաբանական պրոգրեսիաների հիմունքները և ունես որոշակի փորձառություն՝ հաշվելու ֆունկցիաների արժեքները և գտնելու ֆունկցիայի որոշման տիրույթը։

Ինչ է բանաձևը

Մենք սովոր ենք թվաբանական պրոգրեսիաները նկարագրել այսպես՝

3, 5, 7, …

Սակայն կան նաև այլ ձևեր։ Այս դասի ընթացքում կսովորենք թվաբանական պրոգրեսիաները ներկայացնելու ևս երկու ձև՝ ռեկուրենտ (անդրադարձ) բանաձև և n-րդ անդամի բանաձև։ Բանաձևերն օգնում են մեզ գտնել հաջորդականության ցանկացած անդամ։

Ընդհանուր առմամբ, բանաձևերում օգտագործվում է

n

-ը, որը ցույց է տալիս տվյալ անդամի համարը, ինչպես նաև

a_{n}

-ը (կամ որ նույնն է՝

a (n)

-ը), որը ցույց է տալիս հաջորդականության

n^{}

-րդ անդամը։ Օրինակ՝ տրված են թվաբանական պրոգրեսիայի առաջին մի քանի անդամները․ 3; 5; 7; ...

$n$ ‍	$a_{n}$ ‍
(Անդամի համարը)	( $n^{}$ ‍-րդ անդամը)
$1$ ‍	$3$ ‍
$2$ ‍	$5$ ‍
$3$ ‍	$7$ ‍

Վերևում արդեն նշել ենք, որ բանաձևերը մեզ օգնում են գտնել հաջորդականության ցանկացած անդամ։ Այժմ նշվածը կարող ենք վերաձևակերպել հետևյալ կերպ․ բանաձևերը հուշում են՝ ինչպես գտնել $a_{n}$ ‍-ը ցանկացած հնարավոր $n$ ‍-ի համար։

Ստուգիր, թե որքանով ես հասկացել

1) Գտիր $a_{4}$ ‍-ը 3; 5; 7; ... հաջորդականության մեջ։

a_{4} =

a (4)

-ը 3; 5; 7; ... հաջորդականության չորրորդ անդամն է։

	$+ 2 ↷$ ‍		$+ 2 ↷$ ‍		$+ 2 ↷$ ‍
$3$ ‍		$5$ ‍		$7$ ‍		$9$ ‍
$a (1)$ ‍		$a (2)$ ‍		$a (3)$ ‍		$a (4)$ ‍

Հետևաբար, $a (4) = 9$ ‍։

2) Ցանկացած $n$ ‍-ի դեպքում ի՞նչ է նշանակում $a_{n - 1}$ ‍ գրառումը։

Արի դիտարկենք

n

-ի մի քանի արժեքներ․

$n$ ‍	$a (n - 1)$ ‍	$a (n - 1)$ ‍-ի մեկնաբանություն
$2$ ‍	$a (2 - 1) = a (1)$ ‍	Առաջին անդամը, որը նախորդում է $a (2)$ ‍-ին
$3$ ‍	$a (3 - 1) = a (2)$ ‍	Երկրորդ անդամը, որը նախորդում է $a (3)$ ‍-ին
$4$ ‍	$a (4 - 1) = a (3)$ ‍	Երրորդ անդամը, որը նախորդում է $a (4)$ ‍-ին

Ընդհանուր առմամբ, $a (n - 1)$ ‍-ը $a (n)$ ‍-ին նախորդող անդամն է։

Թվաբանական պրոգրեսիայի անդրադարձ (ռեկուրենտ) բանաձևը

Ռեկուրենտ բանաձևերը մեզ տալիս են երկու տեղեկություն․

Հաջորդականության առաջին անդամը
Այն կանոնը, որով կարելի է գտնել հաջորդականության ցանկացած անդամը՝ նրա նախորդ անդամի միջոցով։

Տրված է

3; 5; 7; …

հաջորդականության ռեկուրենտ բանաձևը՝ յուրաքանչյուր մասի մեկնաբանությամբ։

{\begin{cases} a_{1} = 3 & \leftarrow Առաջին անդամն է երեք \\ a_{n} = a_{n - 1} + 2 & \leftarrow Նախորդ անդամին գումարիր երկու \end{cases}

Հինգերորդ անդամը գտնելու համար պետք է մեկ առ մեկ գտնենք հաջորդականության անդամները․

$a_{n}$ ‍	$= a_{n - 1} + 2$ ‍
$a_{1}$ ‍			$= 3$ ‍
$a_{2}$ ‍	$= a_{1} + 2$ ‍	$= 3 + 2$ ‍	$= 5$ ‍
$a_{3}$ ‍	$= a_{2} + 2$ ‍	$= 5 + 2$ ‍	$= 7$ ‍
$a_{4}$ ‍	$= a_{3} + 2$ ‍	$= 7 + 2$ ‍	$= 9$ ‍
$a_{5}$ ‍	$= a_{4} + 2$ ‍	$= 9 + 2$ ‍	$= 11$ ‍

Հիանալի է։ Այս բանաձևի միջոցով ստանում ենք նույն հաջորդականությունը, ինչպես որ նկարագրված էր՝ 3; 5; 7; ...

Ստուգիր, թե որքանով ես հասկացել

Այժմ քո հերթն է գտնել հաջորդականության անդամները անդրադարձ (ռեկուրենտ) բանաձևերի օգնությամբ։

Այնպես, ինչպես օգտագործում էինք

a (n)

-ը՝ ներկայացնելու 3; 5; 7;... հաջորդականության

n - րդ

անդամը, կարող ենք կիրառել այլ տառեր այլ հաջորդականությունները ներկայացնելու համար։ Օրինակ՝

b (n)

c (n)

կամ

d (n)

1) Գտիր $b_{4}$ ‍-ը տրված հաջորդականության մեջ․

{\begin{cases} b_{1} = - 5 \\ b_{n} = b_{n - 1} + 9 \end{cases}

b_{4} =

Բանաձևի իմաստը կարող ենք ներկայացնել այսպես՝

Առաջին անդամը մինուս հինգ է, իսկ մնացած բոլոր անդամները կարող ենք գտնել՝ նախորդ անդամին գումարելով ինը։

Որպեսզի գտնենք

b (4)

-ը, պետք է մեկ առ մեկ գտնենք հաջորդականության բոլոր անդամները․

$b (n)$ ‍	$= b (n - 1) + 9$ ‍
$b (1)$ ‍			$= - 5$ ‍
$b (2)$ ‍	$= b (1) + 9$ ‍	$= - 5 + 9$ ‍	$= 4$ ‍
$b (3)$ ‍	$= b (2) + 9$ ‍	$= 4 + 9$ ‍	$= 13$ ‍
$b (4)$ ‍	$= b (3) + 9$ ‍	$= 13 + 9$ ‍	$= 22$ ‍

Հետևաբար, $b (4) = 22$ ‍։

4) Գտիր $c_{3}$ ‍-ը տրված հաջորդականության մեջ․

{\begin{cases} c_{1} = 20 \\ c_{n} = c_{n - 1} - 17 \end{cases}

c_{3} =

Բանաձևի իմաստը կարող ենք ներկայացնել այսպես՝

Առաջին անդամը 20 է, իսկ մնացած բոլոր անդամները կարող ենք գտնել՝ նախորդ անդամին գումարելով մինուս 17։

Որպեսզի գտնենք

c (3)

-ը, պետք է մեկ առ մեկ գտնենք հաջորդականության անդամները.

$c (n)$ ‍	$= c (n - 1) - 17$ ‍
$c (1)$ ‍			$= 20$ ‍
$c (2)$ ‍	$= c (1) - 17$ ‍	$= 20 - 17$ ‍	$= 3$ ‍
$c (3)$ ‍	$= c (2) - 17$ ‍	$= 3 - 17$ ‍	$= - 14$ ‍

Հետևաբար, $c (3) = - 14$ ‍։

5) Գտիր $d_{5}$ ‍-ը տրված հաջորդականության մեջ․

{\begin{cases} d_{1} = 2 \\ d_{n} = d (n - 1) + 0, 4 \end{cases}

d_{5} =

Բանաձևի իմաստը կարող ենք ներկայացնել այսպես՝

Առաջին անդամը երկուս է, իսկ մնացած բոլոր անդամները կարող ենք գտնել՝ նախորդ անդամին գումարելով 0,4։

Որպեսզի գտնենք

d (5)

-ը, պետք է մեկ առ մեկ գտնենք հաջորդականության բոլոր անդամները.

$d (n)$ ‍	$= d (n - 1) + 0, 4$ ‍
$d (1)$ ‍			$= 2$ ‍
$d (2)$ ‍	$= d (1) + 0, 4$ ‍	$= 2 + 0, 4$ ‍	$= 2, 4$ ‍
$d (3)$ ‍	$= d (2) + 0, 4$ ‍	$= 2, 4 + 0, 4$ ‍	$= 2, 8$ ‍
$d (4)$ ‍	$= d (3) + 0, 4$ ‍	$= 2, 8 + 0, 4$ ‍	$= 3, 2$ ‍
$d (5)$ ‍	$= d (4) + 0, 4$ ‍	$= 3, 2 + 0, 4$ ‍	$= 3, 6$ ‍

Հետևաբար, $d (5) = 3, 6$ ‍։

Թվաբանական պրոգրեսիաjի n-րդ անդամի բանաձևը

Ահա 3; 5; 7; ... հաջորդականության n-րդ անդամի բանաձևը.

a_{n} = 3 + 2 (n - 1)

Այս բանաձևը թույլ է տալիս պարզապես տեղադրել մեզ հետաքրքրող անդամի համարը և ստանալ վերջինիս արժեքը։

Օրինակ՝ հինգերորդ անդամը գտնելու համար պետք է n-րդ անդամի բանաձևի մեջ տեղադրել

n = 5

արժեքը։

\begin{aligned} a_{5} & = 3 + 2 (5 - 1) \\ = 3 + 2 \cdot 4 \\ = 3 + 8 \\ = 11 \end{aligned}

Ինչպես և նախկինում, ստանում ենք նույն արդյունքը։

Ստուգիր, թե որքանով ես հասկացել

1) Գտիր $b_{10}$ ‍-ը տրված հաջորդականության մեջ․ $b_{n} = - 5 + 9 (n - 1)$ ‍։

b_{10} =

7) Գտիր $c_{8}$ ‍-ը $c_{n} = 20 - 17 (n - 1)$ ‍ բանաձևով տրված հաջորդականության մեջ։

c_{8} =

8) Գտիր $d_{21}$ ‍-ը տրված հաջորդականության մեջ․ $d_{n} = 2 + 0, 4 (n - 1)$ ‍։

d_{21} =

Հաջորդականությունները ֆունկցիաներ են

Ուշադրություն դարձրու, որ այս դասում օգտագործված բանաձևերը գործում են ֆունկցիաների նման։ Տեղադրում ենք անդամի համարը՝

n

-ը և բանաձևի միջոցով ստանում ենք

a_{n}

(կամ որ նույնն է՝

a (n)

) անդամի արժեքը։

Հաջորդականությունները սահմանվում են որպես ֆունկցիաներ։ Այնուամենայնիվ,

n

-ը չի կարող լինել ցանկացած իրական թիվ։ Չկա այնպիսի հասկացություն, ինչպես հաջորդականության մինուս հինգերորդ անդամ կամ էլ 0,4-րդ անդամ։

Սա նշանակում է, որ հաջորդականությունների որոշման տիրույթը, որը արգումենտի բոլոր թույլատրելի արժեքների բազմությունն է, հանդիսանում է դրական ամբողջ (բնական) թվերի բազմությունը։

Մի քանի խոսք նշագրման մասին

Մենք գրեցինք

a_{4}

, որպեսզի ներկայացնենք չորրորդ անդամը, սակայն հաճախ այն գրում ենք այսպես՝

a (4)

Երկու գրառումներն էլ կիրառելի են։

a (4)

գրառումն ընդգծում է, որ հաջորդականությունները ևս ֆունկցիաներ են։

Հարց մտորելու համար

9) Ո՞ր բանաձևն ավելի օգտակար կլինի, որպեսզի գտնենք թվաբանական պրոգրեսիայի 100-րդ անդամը։

Ռեկուրենտ բանաձևի օգնությամբ 100-րդ անդամը գտնելու համար պետք է մեկ առ մեկ գտնենք հաջորդականության բոլոր անդամները, մինչև հասնենք 100-ին։ Դրա համար բավական երկար ժամանակ կպահանջվի:

n-րդ անդամի բանաձևի օգնությամբ 100-րդ անդամը գտնելու համար պետք է բանաձևի մեջ տեղադրենք

n = 100

և հաշվենք ստացված արտահայտության արժեքը։ Կապ չունի՝ երկրորդ անդամի արժեքն ենք հաշվում, թե 1000-րդի, նույն ժամանակն ենք ծախսում։

Այսպիսով՝ n-րդ անդամի բանաձևն ավելի օգտակար է թվաբանական պրոգրեսիայի 100-րդ անդամը գտնելու համար։

Բարդ խնդիր

10) Թվաբանական պրոգրեսիայի n-րդ անդամի բանաձևն է

f (n) = 3 - 4 (n - 1)

Հաջորդականության ո՞ր անդամն է հավասար -65-ի։

Անդամի համարը՝

Անդամի համարը բանաձևում նշանակված է

n

-ով, իսկ նրա արժեքը՝

f (n)

-ով։

Այս դեպքում գիտենք

f (n)

-ի արժեքը և ցանկանում ենք գտնել

n

-ը։ Վերջինս ենթադրում է լուծել հավասարումը։

$\begin{aligned} f (n) & = 3 - 4 (n - 1) \\ - 65 & = 3 - 4 (n - 1) & Տեղադրիր f (n) = - 65 \\ 4 (n - 1) & = 68 \\ n - 1 & = 17 \\ n & = 18 \end{aligned}$ ‍

Այսպիսով՝ -65 արժեք ունեցող անդամի համարն է 18։

Ուզո՞ւմ ես միանալ խոսակցությանը։

Մուտք գործել

Դասակարգել ըստ

Առայժմ հրապարակումներ չկան։

Անգլերեն հասկանո՞ւմ ես: Սեղմիր այստեղ և ավելի շատ քննարկումներ կգտնես «Քան» ակադեմիայի անգլերեն կայքում: