Անկյունային գործակից․ ներածություն

Գրաֆիկներ գծելիս հավանաբար նկատել եք, որ տարբեր գրաֆիկներ ունեն տարբեր թեքություն կամ, այլ կերպ ասած, տարբեր գրաֆիկներ աճում կամ նվազում են տարբեր արագությամբ։ Օրինակ՝ այստեղ պատկերված կապույտ և կարմիր գրաֆիկներից պարզ երևում է, որ կապույտ գրաֆիկն աճում է շատ ավելի արագ, քան կարմիր գրաֆիկը: Մաթեմատիկայում շատ օգտակար է իմանալ, թե ինչպիսի թեքություն ունի այս կամ այն գրաֆիկը, որի համար մենք գրաֆիկի թեքությունն արտահայտում ենք թվով: Այսինքն՝ ամեն գրաֆիկ ունի մի թիվ, որը ցույց է տալիս նրա թեքությունը: Այդ թիվը ցույց է տալիս, թե ինչ-որ չափով հորիզոնական ուղղությամբ շարժվելիս ինչքանով է գրաֆիկը աճում ուղղահայաց ուղղությամբ: Այլ կերպ ասած՝ այդ թիվը համեմատում է գրաֆիկի ուղղահայաց աճը հորիզոնական աճի հետ: Եկեք դա այստեղ գրենք: Գրաֆիկի ուղղահայաց, ուղղահայաց աճը, ահա, այս ուղղահայաց աճը հարաբերենք գրաֆիկի հորիզոնական, հորիզոնական աճին: Ահա: Գրաֆիկի ուղղահայաց աճը հարաբերում ենք հորիզոնական աճին և ստանում գրաֆիկի թեքությունը: Ահա, ուղղահայաց աճը հարաբերած հորիզոնական աճին տալիս է գրաֆիկի թեքությունը: Եկեք փորձենք տեսնել, թե ինչպիսի թեքություն ունի մեր գրաֆիկներից որևէ մեկը, օրինակ՝ կարմիրը: Վերցնենք մի որևէ կետ, օրինակ՝ բացասական երեքը, և հորիզոնական ուղղությամբ շարժվենք մեկ միավոր, ահա, բացասական երեքից մինչև բացասական երկուս: Ստացվեց, որ մեր հորիզոնական աճը հավասար է մեկի: Հիմա փորձենք տեսնել, թե ինչքան է մեր ուղղահայաց աճը: Այս կետից բարձրանանք մինչև գրաֆիկը: Ահա։ Տեսնում ենք, որ բացասական մեկից շարժվեցինք մինչև զրո։ Այսինքն՝ մեր ուղղահայաց աճը նույնպես մեկ է: Եկեք դա այստեղ գրենք: Աճել է մեկով: Աճել է մեկով: Ահա։ Ստացվում է, որ մեր կարմիր գրաֆիկի թեքությունը, ահա, եկեք այստեղ գրենք, կարմիր գրաֆիկի թեքությունը, ահա, հավասար է նրա ուղղահայաց աճը, այսինքն՝ մեկը բաժանած նրա հորիզոնական աճին, որը նույնպես մեկ է: Ահա։ Ստացվում է, որ մեր կարմիր գրաֆիկի թեքությունը հավասար է մեկի: Եկեք ևս մի անգամ փորձենք չափել մեր կարմիր գրաֆիկի թեքությունը, սակայն այս անգամ վերցնենք այլ կետեր: Օրինակ՝ վերցնենք բացասական չորս կետը և հորիզոնական ուղղությամբ շարժվենք երեք միավոր: Ահա։ Բացասական չորսից բացասական մեկ կլինի մեր հորիզոնական աճը երեք միավոր: Եվ չափենք ուղղահայաց աճը, որը այս դեպքում կլինի բացասական երկուսից մինչև դրական մեկ, որը մեկ, երկու, երեք միավոր է նորից: Ահա, եկեք գրենք դա. դրական երեք փոփոխություն և այստեղ նույնպես դրական երեք փոփոխություն: Հիմա եկեք ևս մեկ անգամ փորձենք հաշվել կարմիր գրաֆիկի թեքությունը: Ստացվում է, որ նրա թեքությունը հավասար է ուղղահայաց աճը, այսինքն՝ երեքը բաժանած դրա հորիզոնական աճին, որը նույնպես երեք է: Ստացվում է, որ թեքությունը նորից հավասար է մեկի: Այսինքն` անկախ նրանից, թե որ կետից մենք կսկսենք մեր հաշվարկը և թե որքան կշարժվենք հորիզոնական ուղղությամբ, միևնույնն է, գրաֆիկի թեքությունը յուրաքանչյուր պարագայում մնում է նույնը: Ինչպես կարող էիք նկատել, ուղղահայաց աճը y-ի առանքի վրա իմ գրաֆիկի փոփոխությունն է, իսկ հորիզոնական աճը` x-ի առանցքի վրա իմ գրաֆիկի փոփոխությունը: Այսպիսով, մաթեմատիկորեն ավելի գրագետ, թեքությունը կարելի է ներկայացնել հետևյալ կերպ: Թեքությունը հավասար է ∆y բաժանած ∆x-ի: Սա հունական դելտա տառն է, որը մաթեմատիկայում նշանակում է ինչ-որ բանի փոփոխություն: Ահա, եկեք դա գրենք այստեղ: Դելտա։ Այսինքն՝ այս արտահայտությունը նույն բանն է, ինչ որ y-ի, գրենք, y-ի փոփոխությունը բաժանած x-ի, x-ի փոփոխությանը: Ահա։ ∆y բաժանած ∆x-ի հավասար է y-ի փոփոխությունը բաժանած x-ի փոփոխությանը: Հիմա եկեք չափենք կապույտ գրաֆիկի թեքությունը և համեմատենք այն կարմիր գրաֆիկի թեքության հետ: Թեքությունը չափում ենք նույն կերպ: Վերցնենք մի ինչ-որ կետ և շարժվենք հորիզոնական ուղղությամբ մեկ միավոր, Ահա, զրոյից մեկ: Չափենք ուղղահայաց փոփոխությունը: Ահա: Ստացվում է, որ ուղղահայաց փոփոխությունը հավասար է երկու միավորի, քանի որ այստեղ ընկած է երեքից մեկ միավորների միջև: Եկեք գրենք: ∆y-ը, ահա, ∆y-ը, գրենք կապույտով, հավասար է երկուսի: Ահա: Եվ այստեղ ∆x-ը, ∆x-ը հավասար է, հավասար է մեկի, քանի որ այն ընկած էր զրոյից մեկ միավորների միջև: Ստացվում է, որ եթե մենք ուզում ենք չափել կապույտ գրաֆիկի թեքությունը, ահա, գրենք, թեքությունը հավասար է դրա ∆y-ը, ահա, ∆y-ը, որը այս դեպքում երկուս է, երկուս է, բաժանած ∆x-ի, որը այս դեպքում մեկ է, որն էլ իր հերթին հավասար է երկուսի: Ստացվում է, որ մեր կապույտ գրաֆիկի թեքությունը երկուս է Եվ սա բացատրում է, թե ինչու է կապույտ գրաֆիկն աճում շատ ավելի արագ, քան կարմիր գրաֆիկը, քանի որ դրա թեքությունը երկու անգամ ավելի մեծ է: Եկեք ևս մի անգամ չափենք կապույտ գրաֆիկի թեքությունը, բայց այս անգամ շարժվենք հորիզոնական ուղղությամբ հետ, այսինքն՝ ոչ թե գրաֆիկի աճի ուղղությամբ, այլ դրա նվազման ուղղությամբ: Եկեք վերցնենք ինչ-որ մի կետ, օրինակ՝ զրո ամբողջ հինգ կետը, և բացասական ուղղությամբ շարժվենք կես միավոր, ահա, մեկ ամբողջ հինգից դեպի մեկը: Նշենք այստեղ սլաքով, որ մենք շարժվել ենք բացասական ուղղությամբ: Այսինքն՝ մեր ∆x-ը կլինի բացասական, քանի որ այն նվազել է: Եվ այն կլինի բացասական զրո ամբողջ հինգ: Հիմա եկեք չափենք մեր ∆y-ը, այսինքն՝ ուղղահայաց փոփոխությունը: Ահա: Սլաքով նշենք ուղղությունը: Տեսնում ենք, որ սա նույնպես ունի բացասական ուղղություն, քանի որ դրական չորսից y-ը դարձել է դրական երեք: Այսինքն՝ մեր ∆y-ը հավասար կլինի բացասական մեկի: Ստացվում է, որ մեր թեքությունը, գրենք, թեքությունը հավասար է ∆y-ը, այսինքն՝ բացասական մեկը բաժանած ∆x-ի, այսինքն՝ բացասական զրո ամբողջ հինգի, բացասական զրո ամբողջ հինգի: Սա հավասար է երկուսի: Եվ մենք տեսնում ենք, որ անկախ նրանից, թե որ ուղղությամբ ենք մենք շարժվում գրաֆիկի վրա կամ ինչպես ենք կատարում մեր չափումը, միևնույնն է, գրաֆիկի թեքությունը մնում է նույնը: Այսինքն՝ գրաֆիկի թեքությունը ընդհանրապես կախված չէ նրանից, թե ինչ կերպ ենք մենք չափում: Հիմա եկեք փորձենք համեմատել այս երկու գրաֆիկների թեքությունները: Տեսնում ենք, որ կապույտ գրաֆիկը երկու անգամ ավելի թեք է, քան կարմիր գրաֆիկը: Բայց ի՞նչ է սա նշանակում: Սա նշանակում է, որ կապույտ գրաֆիկն աճում է երկու անգամ արագ: Այսինքն՝ նույն չափով x-ի փոփոխության դեպքում կապույտ գրաֆիկը երկու անգամ ավելի արագ է փոխում իր y-ը: Եթե մենք սա փորձենք կիրառել բնության մեջ, ապա կստացվի, օրինակ, որ կապույտ գրաֆիկի թեքություն ունեցող սարը շատ ավելի դժվար կլինի բարձրանալ, քան կարմիր գրաֆիկի թեքություն ունեցող սարը, քանի որ կապույտ գրաֆիկի թեքություն ունեցող սարը կլինի շատ ավելի թեք և կպահանջվի շատ ավելի մեծ ուժ այն բարձրանալու համար: