If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Եթե գտնվում ես վեբ զտիչի հետևում, խնդրում ենք համոզվել, որ *.kastatic.org և *.kasandbox.org տիրույթները հանված են արգելափակումից։

Հիմնական նյութ

Հանրահաշիվ I

Դասընթաց․ (Հանրահաշիվ I)  > Բաժին 15

Դաս 5: Քառակուսային եռանդամը վերլուծել արտադրիչների․ ներածություն
Մաթեմատիկա
Հանրահաշիվ I
Արտադրիչների վերլուծում
Քառակուսային եռանդամը վերլուծել արտադրիչների․ ներածություն
© 2023 Khan AcademyՕգտագործման պայմաններԳաղտնիության քաղաքականությունՔուքի (Cookie) ծանուցում

Ավագ անդամի 1 գործակից ունեցող քառակուսային եռանդամի վերլուծումն արտադրիչների

«Google Classroom»
Սովորիր, թե ինչպես կարող ենք քառակուսային եռանդամը վերլուծել արտադրիչների՝ ներկայացնելով այն երկու գծային երկանդամների արտադրյալի տեսքով։ Օրինակ՝  x²+5x+6=(x+2)(x+3)։

Ինչ պետք է իմանալ, մինչև այս դասն սկսելը

Բազմանդամն արտադրիչների վերլուծելիս ստանում ենք երկու կամ ավելի բազմանդամների արտադրյալ։ Այն բազմանդամների բազմապատկման հակառակ գործընթացն է։ Սրա մասին ավելին իմանալու համար տես մեր նախորդ հոդվածըն ընդհանուր արտադրիչների մասին։

Ինչ կսովորես այս դասին

Այս դասին դու կսովորես x, squared, plus, b, x, plus, c տեսքի բազմանդամը վերլուծել արտադրիչների։

Ամփոփում․ Երկանդամների բազմապատկումը

Ունենք left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis արտահայտությունը։
Մենք կարող ենք գտնել արտադրյալը մի քանի անգամ կիրառելով բաշխական օրենքը։
(x+2)(x+4)=(x+2)(x)+(x+2)(4)=x2+2x+4x+8=x2+6x+8\begin{aligned} \tealD{(x+2)}(x+4)&=\tealD{(x+2)}(x)+\tealD{(x+2)}(4)\\\\ &=x^2+2x+4x+8\\\\ &=x^2+6x+8 \end{aligned}
Մենք գիտենք, որ left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis, equals, x, squared, plus, 6, x, plus, 8։
Այստեղից հետևում է, որ x, plus, 2 և x, plus, 4 երկանդամները x, squared, plus, 6, x, plus, 8 եռանդամի արտադրիչներ են, բայց ինչպե՞ս գտնել արտադրիչները, եթե խնդիրը չի սկսվում դրանցով։

Եռանդամների արտադրիչների վերլուծում

Կարող ենք վերևում ցույց տրված երկանդամների բազմապատկումը շրջել, որպեսզի եռանդամը վերլուծենք արտադրիչների (եռանդամը 3 անդամ ունեցող բազմանդամն է)։
Այլ կերպ ասած՝ եթե սկսենք x, squared, plus, 6, x, plus, 8 բազմանդամից, կարող ենք այն վերլուծել արտադրիչների և գրել որպես երկու երկանդամների արտադրյալ՝ left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis։
Արի մի քանի օրինակ դիտարկենք։

Օրինակ 1․ Վերլուծենք արտադրիչների. x, squared, plus, 5, x, plus, 6

x, squared, plus, start color #e07d10, 5, end color #e07d10, x, plus, start color #aa87ff, 6, end color #aa87ff եռանդամը արտադրիչների վերլուծելու համար պետք է գտնել երկու թիվ, որոնց արտադրյալը start color #aa87ff, 6, end color #aa87ff է (ազատ անդամը), իսկ գումարը՝ start color #e07d10, 5, end color #e07d10 (x-ի գործակիցը)։
Այդ երկու թվերը start color #11accd, 2, end color #11accd-ն ու start color #1fab54, 3, end color #1fab54-ն են, քանի որ start color #11accd, 2, end color #11accd, dot, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, equals, 6 և start color #11accd, 2, end color #11accd, plus, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, equals, 5։
Հետո այս թվերն առանձին-առանձին գումարելով x-ին՝ ստանում ենք երկու երկանդամ՝ left parenthesis, x, plus, start color #11accd, 2, end color #11accd, right parenthesis և left parenthesis, x, plus, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, right parenthesis։
Այսպիսով՝ եռանդամն արտադրիչների վերլուծեցինք այսպես․
x, squared, plus, 5, x, plus, 6, equals, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis
Ստուգելու համար կարող ենք երկու երկանդամները բազմապատկել․
(x+2)(x+3)=(x+2)(x)+(x+2)(3)=x2+2x+3x+6=x2+5x+6\begin{aligned}(x+2)(x+3)&=(x+2)(x)+(x+2)(3)\\ \\ &=x^2+2x+3x+6\\ \\ &=x^2+5x+6 \end{aligned}
left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis-ի և left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis-ի արտադրյալը հավասար է x, squared, plus, 5, x, plus, 6։ Արտադրիչների ճիշտ ենք վերլուծել։

Ստուգիր, թե որքանով ես հասկացել

1) Վերլուծիր արտադրիչների. x, squared, plus, 7, x, plus, 10։
Ընտրիր ճիշտ պատասխանը։

2) Վերլուծիր արտադրիչների. x, squared, plus, 9, x, plus, 20։

Արի մի քանի այլ օրինակ նայենք և տեսնենք, թե ինչ նոր բաներ կսովորենք։

Օրինակ 2․ Արտադրիչների վերլուծենք x, squared, minus, 5, x, plus, 6 բազմանդամը։

x, squared, start color #e07d10, minus, 5, end color #e07d10, x, plus, start color #aa87ff, 6, end color #aa87ff քառակուսային եռանդամը արտադրիչների վերլուծելու համար պետք է գտնել երկու թվեր, որոնց արտադրյալը start color #aa87ff, 6, end color #aa87ff է, իսկ գումարը՝ start color #e07d10, minus, 5, end color #e07d10։
Այդ երկու թվերը start color #11accd, minus, 2, end color #11accd-ն ու start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54-ն են, քանի որ left parenthesis, start color #11accd, minus, 2, end color #11accd, right parenthesis, dot, left parenthesis, start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54, right parenthesis, equals, 6 և left parenthesis, start color #11accd, minus, 2, end color #11accd, right parenthesis, plus, left parenthesis, start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54, right parenthesis, equals, minus, 5։
Հետո այս թվերն առանձին-առանձին գումարելով x-ին՝ ստանում ենք երկու երկանդամ՝ left parenthesis, x, plus, left parenthesis, start color #11accd, minus, 2, end color #11accd, right parenthesis, right parenthesis և left parenthesis, x, plus, left parenthesis, start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54, right parenthesis, right parenthesis։
Ահա այսպես վերլուծում ենք արտադրիչների․
x2−5x+6=(x+(−2))(x+(−3))=(x−2)(x−3)\begin{aligned}x^2-5x+6&=(x+(\blueD{-2}))(x+(\greenD{-3}))\\ \\ &=(x\blueD{-2})(x\greenD{-3}) \end{aligned}
Արտադրիչների վերլուծելուց հետո: Ուշադրություն դարձրու, որ x, squared, minus, 5, x, plus, 6-ի արտադրիչների թվերը երկուսն էլ բացասական են՝ left parenthesis, minus, 2 և minus, 3, right parenthesis, որովհետև նրանց արտադրյալը դրական է՝ left parenthesis, 6, right parenthesis, իսկ գումարը բացասական է՝ left parenthesis, minus, 5, right parenthesis։
Առհասարակ, երբ x, squared, plus, b, x, plus, c տեսքով արտահայտության c-ն դրական է, իսկ b-ն՝ բացասական, երկու արտադրիչն էլ բացասական են։

Օրինակ 3: Արտադրիչների վերլուծենք left parenthesis, x, squared, minus, x, minus, 6, right parenthesis-ը

left parenthesis, x, squared, minus, x, minus, 6, right parenthesis-ը կարող ենք գրել որպես x, squared, minus, 1, x, minus, 6։
x, squared, start color #e07d10, minus, 1, end color #e07d10, x, start color #aa87ff, minus, 6, end color #aa87ff-ը արտադրիչների վերլուծելու համար պետք է գտնել երկու թիվ, որոնց արտադրյալը start color #aa87ff, minus, 6, end color #aa87ff է, իսկ գումարը՝ start color #e07d10, minus, 1, end color #e07d10։
Այդ երկու թվերը start color #11accd, 2, end color #11accd-ն ու start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54-ն են, քանի որ left parenthesis, start color #11accd, 2, end color #11accd, right parenthesis, dot, left parenthesis, start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54, right parenthesis, equals, minus, 6 և start color #11accd, 2, end color #11accd, plus, left parenthesis, start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54, right parenthesis, equals, minus, 1։
Հետո այս թվերն առանձին-առանձին գումարելով x-ին՝ ստանում ենք երկու երկանդամ՝ left parenthesis, x, plus, start color #11accd, 2, end color #11accd, right parenthesis և left parenthesis, x, plus, left parenthesis, start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54, right parenthesis, right parenthesis։
Ահա այսպես վերլուծում ենք արտադրիչների․
x2−x−6=(x+2)(x+(−3))=(x+2)(x−3)\begin{aligned}x^2-x-6&=(x+\blueD2)(x+(\greenD{-3}))\\ \\ &=(x+\blueD2)(x\greenD{-3}) \end{aligned}
Արտադրիչների վերլուծելուց հետո: Ուշադրություն դարձրու, որ x, squared, minus, x, minus, 6-ի արտադրիչներից մեկը դրական է՝ left parenthesis, 2, right parenthesis, իսկ մյուսը բացասական է՝ left parenthesis, minus, 3, right parenthesis, որովհետև նրանց արտադրյալը բացասական թիվ է՝ left parenthesis, minus, 6, right parenthesis։
Առհասարակ, երբ x, squared, plus, b, x, plus, c տեսքով արտահայտության մեջ c-ն բացասական է, արտադրիչներից մեկը պետք է լինի դրական, իսկ մյուսը՝ բացասական։

Ամփոփում

x, squared, plus, start color #e07d10, b, end color #e07d10, x, plus, start color #aa87ff, c, end color #aa87ff տեսքի արտահայտության արտադրիչները գտնելիս միշտ պետք է հիշենք, որ դրանց արտադրյալը հավասար է start color #aa87ff, c, end color #aa87ff, իսկ գումարը՝ start color #e07d10, b, end color #e07d10։
Պատկերացնենք, թե այդ թվերը m-ն ու n-ն են, այսինքն՝ c, equals, m, n և b, equals, m, plus, n, հետևաբար x, squared, plus, b, x, plus, c, equals, left parenthesis, x, plus, m, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, n, right parenthesis։

Ստուգիր, թե որքանով ես հասկացել

3) Վերլուծիր արտադրիչների. x, squared, minus, 8, x, minus, 9։

4) Վերլուծիր արտադրիչների. x, squared, plus, 7, x, minus, 30։

5) Վերլուծիր արտադրիչների. x, squared, plus, 7, x, minus, 30։

Ինչպես է սա աշխատում

Այս մեթոդը հասկանալու համար պետք է վերադառնանք առաջին օրինակին, որտեղ x, squared, plus, 5, x, plus, 6-ից ստացել էինք left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis։
Եթե հետ դառնանք և բազմապատկենք երկու երկանդամներ, կարող ենք տեսնել start color #11accd, 2, end color #11accd-ի ու start color #1fab54, 3, end color #1fab54-ի ազդեցությունը x, squared, plus, 5, x, plus, 6 եռանդամի վրա։
(x+2)(x+3)=(x+2)(x)+(x+2)(3)=x2+2x+3x+2⋅3=x2+(2+3)x+2⋅3\begin{aligned}(x+\blueD 2)(x+\greenD3)&={(x+\blueD2)}(x)+(x+\blueD 2)(\greenD{3})\\ \\ &=x^2+\blueD2x+\greenD3x+\blueD2\cdot \greenD3\\ \\ &=x^2+(\blueD 2+\greenD 3)x+\blueD2\cdot \greenD3 \end{aligned}
Կարող ենք տեսնել, որ x-ի գործակիցը start color #11accd, 2, end color #11accd-ի ու start color #1fab54, 3, end color #1fab54-ի գումարն է, իսկ ազատ անդամը start color #11accd, 2, end color #11accd-ի ու start color #1fab54, 3, end color #1fab54-ի արտադրյալն է։

Գումար-արտադրյալ մոդելը

Արի կրկնենք, թե ինչ արեցինք left parenthesis, x, plus, start color #11accd, 2, end color #11accd, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, right parenthesis-ի հետ left parenthesis, x, plus, start color #11accd, m, end color #11accd, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, start color #1fab54, n, end color #1fab54, right parenthesis օրինաչափությամբ․
(x+m)(x+n)=(x+m)(x)+(x+m)(n)=x2+mx+nx+m⋅n=x2+(m+n)x+m⋅n\begin{aligned}(x+\blueD m)(x+\greenD n)&={(x+\blueD m)}(x)+(x+\blueD m)(\greenD{n})\\ \\ &=x^2+\blueD mx+\greenD nx+\blueD m\cdot \greenD n\\ \\ &=x^2+(\blueD m+\greenD n)x+\blueD m\cdot \greenD n \end{aligned}
Այս գործընթացն ամփոփելով ստանում ենք հետևյալ հավասարումը․
left parenthesis, x, plus, start color #11accd, m, end color #11accd, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, start color #1fab54, n, end color #1fab54, right parenthesis, equals, x, squared, plus, left parenthesis, start color #11accd, m, end color #11accd, plus, start color #1fab54, n, end color #1fab54, right parenthesis, x, plus, start color #11accd, m, end color #11accd, dot, start color #1fab54, n, end color #1fab54
Սա կոչվում է գումար-արտադրյալ մոդել։
Երբ մենք x, squared, plus, start color #e07d10, b, end color #e07d10, x, plus, start color #aa87ff, c, end color #aa87ff եռանդամը ներկայացնում ենք որպես x, squared, plus, left parenthesis, start color #11accd, m, end color #11accd, plus, start color #1fab54, n, end color #1fab54, right parenthesis, x, plus, start color #11accd, m, end color #11accd, dot, start color #1fab54, n, end color #1fab54 (գտնելով start color #11accd, m, end color #11accd և start color #1fab54, n, end color #1fab54 թվերն այնպես, որ start color #e07d10, b, end color #e07d10, equals, start color #11accd, m, end color #11accd, plus, start color #1fab54, n, end color #1fab54 և start color #aa87ff, c, end color #aa87ff, equals, start color #11accd, m, end color #11accd, dot, start color #1fab54, n, end color #1fab54), եռանդամը կարող ենք վերլուծել արտադրիչների այս տեսքով՝ left parenthesis, x, plus, start color #11accd, m, end color #11accd, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, start color #1fab54, n, end color #1fab54, right parenthesis։

Անդրադարձ

6) Կարո՞ղ ենք արտադրիչների վերլուծելու մեթոդը կիրառել 2, x, squared, plus, 3, x, plus, 1 բազմանդամի համար։
Ընտրիր ճիշտ պատասխանը։

Երբ կարող ենք այս մեթոդը կիրառել արտադրիչների վերլուծելու համար

Առհասարակ գումար-արտադրյալ մեթոդը կարող ենք կիրառել միայն այն ժամանակ, երբ եռանդամը կարող ենք գրել left parenthesis, x, plus, m, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, n, right parenthesis տեսքով ինչ-որ m և n ամբողջ թվերի համար։
Սա նշանակում է, որ եռանդամի ավագ անդամը պետք է լինի x, squared (այլ ոչ թե, օրինակ՝ 2, x, squared), որպեսզի մտածենք այս մեթոդը կիրառելու մասին։ Դա այդպես է, որովհետև left parenthesis, x, plus, m, right parenthesis-ի և left parenthesis, x, plus, n, right parenthesis-ի արտադրյալը միշտ բազմանդամ է, որի ավագ անդամը x, squared է։
Սակայն ոչ բոլոր եռանդամները, որոնց ավագ անդամը x, squared է, կարող ենք վերլուծել արտադրիչների։ Օրինակ՝ x, squared, plus, 2, x, plus, 2 բազմանդամը չենք կարող վերլուծել արտադրիչներիի, որովհետև չկան այնպիսի երկու ամբողջ թվեր, որոնց գումարը 2 է, իսկ արտադրյալը՝ 2։
Հաջորդ դասերին մենք կսովորենք բազմանդամներն արտադրիչների վերլուծելու ավելի շատ եղանակներ։

Խնդիր-մարտահրավերներ

7*) x, squared, plus, 5, x, y, plus, 6, y, squared քառակուսային եռանդամը վերլուծիր արտադրիչների։

8*) x, start superscript, 4, end superscript, minus, 5, x, squared, plus, 6 քառակուսային բազմանդամը վերլուծիր արտադրիչների։

Ուզո՞ւմ ես միանալ խոսակցությանը։

Մուտք գործել
Առայժմ հրապարակումներ չկան։
Անգլերեն հասկանո՞ւմ ես: Սեղմիր այստեղ և ավելի շատ քննարկումներ կգտնես «Քան» ակադեմիայի անգլերեն կայքում: