Հիմնական նյութ

Դասընթաց․ (Հանրահաշիվ I) > Բաժին 15

Դաս 6: Քառակուսային եռանդամը վերլուծել արտադրիչների խմբավորման եղանակով

Վերլուծել արտադրիչների խմբավորման եղանակով

Սովորիր խմբավորման մեթոդի գործածության մասին: Օրինակ՝ կարող ենք օգտագործել խմբավորման եղանակը և 2x²+8x+3x+12 արտահայտությունը գրել որպես (2x+3)(x+4):

Ինչ պետք է իմանալ, մինչև այս դասն սկսելը

Բազմանդամը վերլուծել արտադրիչների նշանակում է ներկայացնել այն երկու կամ ավելի բազմանդամների արտադրյալի տեսքով: Սա բազմանդամների բազմապատկման հակառակ գործընթացն է:

Մենք արդեն հանդիպել ենք արտադրիչների վերլուծելու մի շարք օրինակների։ Բայց այս հոդվածն ուսումնասիրելու համար դու պետք է առհասարակ ծանոթ լինես բաշխական օրենքով ընդհանուր բաժանարարներ ստանալու եղանակին։ Օրինակ՝

6 x^{2} + 4 x = 2 x (3 x + 2)

Ինչ կսովորես այս դասին

Այս հոդվածում դու կսովորես արտադրիչների վերլուծելու մեթոդ, որը կոչվում է խմբավորում։

Օրինակ 1․ Վերլուծիր արտադրիչների. $2 x^{2} + 8 x + 3 x + 12$ ‍

Ուշադրություն դարձրու, որ

2 x^{2} + 8 x + 3 x + 12

արտահայտության անդամները ընդհանուր բաժանարար չունեն։ Բայց եթե առաջին երկու անդամները և վերջին երկու անդամներն առանձին-առանձին խմբավորենք, կտեսնենք, որ յուրաքանչյուր խումբն ունի իր առանձին ԱԸԲ-ն՝ ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը․

Առաջին խմբի ԱԸԲ-ն

2 x

-ն է, իսկ երկրորդ խմբինը՝

3

-ը։ Եթե դրանք դուրս բերենք փակագծերից, կստանանք այս արտահայտությունը․

$2 x (x + 4) + 3 (x + 4)$ ‍

2 x

-ը

2 x^{2} + 8 x

-ից դուրս բերելու համար բոլոր անդամները պետք է բաժանենք

2 x

-ի․

Առաջին անդամը սա է՝ $\frac{2 x^{2}}{2 x} = x$ ‍
Երկրորդ անդամը սա է՝ $\frac{8 x}{2 x} = 4$ ‍

Ուրեմն

2 x^{2} + 8 x = 2 x (x + 4)

3

-ը

3 x + 12

-ից դուրս բերելու համար բոլոր անդամները պետք է բաժանենք

3

-ի․

Առաջին անդամը սա է՝ $\frac{3 x}{3} = x$ ‍
Երկրորդ անդամը սա է՝ $\frac{12}{3} = 4$ ‍

Հետևաբար,

3 x + 12 = 3 (x + 4)

Հետևաբար, ստանում ենք, որ

2 x^{2} + 8 x + 3 x + 12 = 2 x (x + 4) + 3 (x + 4)

։ Բազմապատկելով կարող ենք ստուգել և համոզվել, որ ընդհանուր բաժանարարները ճիշտ են դուրս բերվել։

Ուշադրություն դարձրու, որ այսպես ստացանք ևս մեկ ընդհանուր բաժանարար՝

x + 4

։ Բաշխական օրենքով կարող ենք վերլուծել արտադրիչների։

Քանի որ բազմանդամն այժմ ներկայացված է որպես երկու երկանդամների արտադրյալ, այն արտադրիչների վերլուծված տեսքի է։ Կարող ենք ստուգել հավասարությունը՝ բազմապատկելով և համեմատելով ամենասկզբում տրված բազմանդամի հետ։

Օրինակ 2․ Վերլուծիր արտադրիչների. $3 x^{2} + 6 x + 4 x + 8$ ‍

Արի վերևում արվածն ամփոփենք՝ մեկ այլ բազմանդամ արտադրիչների վերլուծելով։

\begin{aligned} 3 x^{2} + 6 x + 4 x + 8 \\ = (3 x^{2} + 6 x) + (4 x + 8) & Խմբավորենք անդամները \\ = 3 x (x + 2) + 4 (x + 2) & Դուրս հանենք ԱԸԲ-ները \\ = 3 x (x + 2) + 4 (x + 2) & Ընդհանուր բաժանարար \\ = (x + 2) (3 x + 4) & Առանձնացնենք x + 2 -ը \end{aligned}

Արտադրիչների վերլուծված տեսքն է՝

(x + 2) (3 x + 4)

Ստուգիր, թե որքանով ես հասկացել

1) Վերլուծիր արտադրիչների. $9 x^{2} + 6 x + 12 x + 8$ ‍։

\begin{aligned} 9 x^{2} + 6 x + 12 x + 8 \\ = (9 x^{2} + 6 x) + (12 x + 8) & Խմբավորենք անդամները \\ = 3 x (3 x + 2) + 4 (3 x + 2) & Դուրս բերենք ԱԸԲ-ները \\ = 3 x (3 x + 2) + 4 (3 x + 2) & Ընդհանուր բաժանարար \\ = (3 x + 2) (3 x + 4) & Առանձնացնենք 3 x + 2 -ը \end{aligned}

Արտադրիչների վերլուծված տեսքն է՝

(3 x + 2) (3 x + 4)

2) Վերլուծիր արտադրիչների. $5 x^{2} + 10 x + 2 x + 4$ ‍։

\begin{aligned} 5 x^{2} + 10 x + 2 x + 4 \\ = (5 x^{2} + 10 x) + (2 x + 4) & Խմբավորենք անդամները \\ = 5 x (x + 2) + 2 (x + 2) & Դուրս բերենք ԱԸԲ-ները \\ = 5 x (x + 2) + 2 (x + 2) & Ընդհանուր բաժանարար \\ = (x + 2) (5 x + 2) & Առանձնացնենք x + 2 - ը \end{aligned}

Արտադրիչների վերլուծված տեսքն է՝

(x + 2) (5 x + 2)

3) Վերլուծիր արտադրիչների. $8 x^{2} + 6 x + 4 x + 3$ ‍։

\begin{aligned} 8 x^{2} + 6 x + 4 x + 3 \\ = (8 x^{2} + 6 x) + (4 x + 3) & Խմբավորենք անդամները \\ = 2 x (4 x + 3) + 1 (4 x + 3) & Դուրս բերենք ԱԸԲ-ները \\ 4 x -ի ու 3 -ի ԱԸԲ-ն 1 է։ \\ = 2 x (4 x + 3) + 1 (4 x + 3) & Ընդհանուր բաժանարար \\ = (4 x + 3) (2 x + 1) & Առանձնացնենք 4 x + 3 - ը \end{aligned}

Արտադրիչների վերլուծված տեսքն է՝

(4 x + 3) (2 x + 1)

Օրինակ 3․ Վերլուծենք արտադրիչների. $3 x^{2} - 6 x - 4 x + 8$ ‍

Խմբավորման մեթոդը կիրառելով բազմանդամն արտադրիչների վերլուծելիս պետք է ուշադիր լինել հատկապես այն դեպքերում, երբ գործակիցները բացասական թվեր են։

Օրինակ՝ այս քայլերով կարող ենք

3 x^{2} - 6 x - 4 x + 8

-ը վերլուծել արտադրիչների։

\begin{aligned} 3 x^{2} - 6 x - 4 x + 8 \\ (1) & = (3 x^{2} - 6 x) + (- 4 x + 8) & Խմբավորենք անդամները \\ (2) & = 3 x (x - 2) + (- 4) (x - 2) & Դուրս հանենք ԱԸԲ-ները \\ (3) & = 3 x (x - 2) - 4 (x - 2) & Պարզեցնենք \\ (4) & = 3 x (x - 2) - 4 (x - 2) & Ընդհանուր բաժանարար \\ (5) & = (x - 2) (3 x - 4) & Առանձնացնենք x - 2 -ը \end{aligned}

Բազմանդամի արտադրիչների վերլուծված տեսքը

(x - 2) (3 x - 4)

-ն է։ Ստուգելու համար կարող ենք երկանդամները բազմապատկել։

Այս քայլերից մի քանիսը առաջին օրինակում քո տեսածից փոքր-ինչ տարբեր են, և հավանաբար քեզ մոտ հարցեր կծագեն։

Որտեղի՞ց առաջացավ «+» նշանը։

Քայլ

(1)

-ում «+» նշանը հայտնվեց

(3 x^{2} - 6 x)

(- 4 x + 8)

խմբավորումների միջև։ Քանի որ

(- 4 x)

-ը բացասական է, անդամի նշանը պետք է ներառվի խմբավորման մեջ։

Երկրորդ խմբի բացասական նշանը փակագծերից դուրս թողնելու դեպքում կարող ես խճճվել։ Օրինակ՝ շատ հաճախ հանդիպող վրիպակ է, երբ

3 x^{2} - 6 x - 4 x + 8

-ը խմբավորում են որպես

(3 x^{2} - 6 x) - (4 x + 8)

։ Այս խմբավորումը պարզեցնելիս այն դառնում է

3 x^{2} - 6 x - 4 x - 8

, ինչը տարբերվում է տրված արտահայտությունից։

Ինչո՞ւ ենք փակագծերից դուրս բերում $- 4$ ‍-ը, ոչ թե $4$ ‍-ը։

Քայլ

(2)

-ում մենք դուրս ենք հանել

- 4

, որ ստանանք

(x - 2)

անդամը։ Եթե դրա փոխարեն դուրս բերեինք դրական

4

-ը, չէինք ստանա նույն՝ ընդհանուր երկանդամը․

$\begin{aligned} (3 x^{2} - 6 x) + (- 4 x + 8) & = 3 x (x - 2) + 4 (- x + 2) \end{aligned}$ ‍

Երբ խմբի առաջին անդամը բացասական է, մենք պետք է դուրս բերենք բացասական ընդհանուր արտադրիչ։

Ստուգիր, թե որքանով ես հասկացել

4) $2 x^{2} - 3 x - 4 x + 6$ ‍ վերլուծիր արտադրիչների։

\begin{aligned} 2 x^{2} - 3 x - 4 x + 6 \\ = (2 x^{2} - 3 x) + (- 4 x + 6) & Խմբավորենք անդամները \\ = x (2 x - 3) + (- 2) (2 x - 3) & Դուրս բերենք ԱԸԲ-ները \\ 2 -րդ խմբի ընդհանուր բաժանարարը - 2 -ն է, \\ քանի որ առաջին անդամը բացասական թիվ է։ \\ = x (2 x - 3) - 2 (2 x - 3) & Պարզեցնենք \\ = x (2 x - 3) - 2 (2 x - 3) & Ընդհանուր բաժանարար \\ = (2 x - 3) (x - 2) & Առանձնացնենք 2 x - 3 - ը \end{aligned}

Արտադրիչների վերլուծված տեսքն է՝

(2 x - 3) (x - 2)

5) $3 x^{2} + 3 x - 10 x - 10$ ‍ վերլուծիր արտադրիչների։

\begin{aligned} 3 x^{2} + 3 x - 10 x - 10 \\ = (3 x^{2} + 3 x) + (- 10 x - 10) & Խմբավորենք անդամները \\ = 3 x (x + 1) + (- 10) (x + 1) & Դուրս բերենք ԱԸԲ-ները \\ = 3 x (x + 1) - 10 (x + 1) & Պարզեցնենք \\ = 3 x (x + 1) - 10 (x + 1) & Ընդհանուր բաժանարար \\ = (x + 1) (3 x - 10) & Առանձնացնենք (x + 1) -ը \end{aligned}

x + 1

Արտադրիչների վերլուծված տեսքն է՝

(x + 1) (3 x - 10)

6) $3 x^{2} + 6 x - x - 2$ ‍ վերլուծիր արտադրիչների։

\begin{aligned} 3 x^{2} + 6 x - x - 2 \\ = (3 x^{2} + 6 x) + (- x - 2) & Խմբավորենք անդամները \\ = 3 x (x + 2) + (- 1) (x + 2) & Դուրս բերենք ԱԸԲ-ները \\ = 3 x (x + 2) - 1 (x + 2) & Պարզեցնենք \\ = 3 x (x + 2) - 1 (x + 2) & Ընդհանուր բաժանարար \\ = (x + 2) (3 x - 1) & Առանձնացնենք (x + 2) - ը \end{aligned}

Արտադրիչների վերլուծված տեսքն է՝

(x + 2) (3 x - 1)

Բարդ խնդիր

7*) $2 x^{3} + 10 x^{2} + 3 x + 15$ ‍ վերլուծիր արտադրիչների։

\begin{aligned} 2 x^{3} + 10 x^{2} + 3 x + 15 \\ = (2 x^{3} + 10 x^{2}) + (3 x + 15) & Խմբավորենք անդամները \\ = 2 x^{2} (x + 5) + 3 (x + 5) & Դուրս բերենք ԱԸԲ-ները \\ = 2 x^{2} (x + 5) + 3 (x + 5) & Ընդհանուր բաժանարար \\ = (x + 5) (2 x^{2} + 3) & Առանձնացնենք (x + 5) -ը \end{aligned}

Արտադրիչների վերլուծված տեսքն է՝

(x + 5) (2 x^{2} + 3)

Երբ կարող ենք կիրառել խմբավորման մեթոդը։

Խմբավորման մեթոդը կարող ենք կիրառել այն բազմանդամների համար, որոնք խմբերի միջև ունեն ընդհանուր բաժանարար։

Օրինակ՝ խմբավորման մեթոդով

3 x^{2} + 9 x + 2 x + 6

-ը կարող ենք վերլուծել արտադրիչների, քանի որ այն կարող ենք գրել հետևյալ կերպ․

$\begin{aligned} (3 x^{2} + 9 x) + (2 x + 6) & = 3 x (x + 3) + 2 (x + 3) \end{aligned}$ ‍

Մենք չենք կարող, սակայն, խմբավորման մեթոդով

2 x^{2} + 3 x + 4 x + 12

-ը վերլուծել արտադրիչների, որովհետև երկու խմբից ԱԸԲ հանելուց հետո ընդհանուր բաժանարար չենք ստանում։

$\begin{aligned} (2 x^{2} + 3 x) + (4 x + 12) & = x (2 x + 3) + 4 (x + 3) \end{aligned}$ ‍

Կիրառենք խմբավորումը եռանդամների համար

Կարող ես խմբավորման եղանակով երեք անդամից բաղկացած բազմանդամներ (եռանդամներ) վերլուծել արտադրիչների, ինչպես օրինակ

2 x^{2} + 7 x + 3

քառակուսային եռանդամը, որը կարող ենք գրել այսպես.

$2 x^{2} + 7 x + 3 = 2 x^{2} + 1 x + 6 x + 3$ ‍

Խմբավորելով կարող ենք

2 x^{2} + 1 x + 6 x + 3

-ը վերլուծել արտադրիչների և ստանալ

(x + 3) (2 x + 1)

Եռանդամները խմբավորումով արտադրիչների վերլուծելու մասին ավելին իմանալու համար անցիր մեր հաջորդ հոդվածին։

Ուզո՞ւմ ես միանալ խոսակցությանը։

Մուտք գործել

Դասակարգել ըստ

Lilit
Տեղադրվել է 3 տարի առաջ։ Ուղղակի հղում դեպի Lilit-ի գրառումը՝ “ինչպես այս հավասարություն...”
ինչպես այս հավասարությունը վերլուծեմ արտադրիչների
(a-b)^4+(b-c)^4+(c-a)^4
Կոճակը տեղափոխում է գրանցման էջԿոճակը տեղափոխում է գրանցման էջ
(1 ձայն)
Պատասխան

Անգլերեն հասկանո՞ւմ ես: Սեղմիր այստեղ և ավելի շատ քննարկումներ կգտնես «Քան» ակադեմիայի անգլերեն կայքում:

Հանրահաշիվ I

Դասընթաց․ (Հանրահաշիվ I) > Բաժին 15

Ինչ պետք է իմանալ, մինչև այս դասն սկսելը

Ինչ կսովորես այս դասին

Օրինակ 1․ Վերլուծիր արտադրիչների. 2x2+8x+3x+12‍

Օրինակ 2․ Վերլուծիր արտադրիչների. 3x2+6x+4x+8‍

Ստուգիր, թե որքանով ես հասկացել

Օրինակ 3․ Վերլուծենք արտադրիչների. 3x2−6x−4x+8‍

Ստուգիր, թե որքանով ես հասկացել

Բարդ խնդիր

Երբ կարող ենք կիրառել խմբավորման մեթոդը։

Կիրառենք խմբավորումը եռանդամների համար

Ուզո՞ւմ ես միանալ խոսակցությանը։

Օրինակ 1․ Վերլուծիր արտադրիչների. $2 x^{2} + 8 x + 3 x + 12$ ‍

Օրինակ 2․ Վերլուծիր արտադրիչների. $3 x^{2} + 6 x + 4 x + 8$ ‍

Օրինակ 3․ Վերլուծենք արտադրիչների. $3 x^{2} - 6 x - 4 x + 8$ ‍