If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Եթե գտնվում ես վեբ զտիչի հետևում, խնդրում ենք համոզվել, որ *.kastatic.org և *.kasandbox.org տիրույթները հանված են արգելափակումից։

Հիմնական նյութ

Հանրահաշիվ I

Դասընթաց․ (Հանրահաշիվ I)  > Բաժին 15

Դաս 10: Քառակուսային եռանդամների վերլուծումն արտադրիչների. ռազմավարություններ
Մաթեմատիկա
Հանրահաշիվ I
Արտադրիչների վերլուծում
Քառակուսային եռանդամների վերլուծումն արտադրիչների. ռազմավարություններ
© 2023 Khan AcademyՕգտագործման պայմաններԳաղտնիության քաղաքականությունՔուքի (Cookie) ծանուցում

Ցանկացած տեսքի քառակուսային եռանդամների վերլուծումն արտադրիչների

«Google Classroom»
Կիրառիր այն ամենը, ինչ սովորել ես քառակուսային եռանդամներն արտադրիչների վերլուծելու վերաբերյալ՝ տարբեր տեսքի քառակուսային եռանդամներ արտադրիչների վերլուծելու համար:

Ինչ պետք է իմանալ, մինչև այս դասն սկսելը

Այս դասում կօգտագործվեն արտադրիչների վերլուծության հետևյալ եղանակները.

Ինչ կսովորես այս դասին

Այս բաժնում կսովորես ցանկացած տեսքի քառակուսային եռանդամ արտադրիչների վերլուծելու համար համատեղել այս եղանակները:

Ներածություն. արտադրիչների վերլուծության եղանակները

ԵղանակՕրինակԵրբ է կիրառելի
Ընդհանուր արտադրիչի դուրսբերում=,6x2+3x=3x(2x+1)\begin{aligned}&\phantom{=}{,}6x^2+3x\\\\&=3x(2x+1)\\\\\end{aligned}Երբ բազմանդամի բոլոր անդամներն ունեն ընդհանուր արտադրիչ:
Գումար-արտադրյալ բանաձև= x2+7x+12=(x+3)(x+4)\begin{aligned}&\phantom{=}~x^2+7x+12\\\\&=(x+3)(x+4)\end{aligned}Երբ բազմանդամը x, squared, plus, b, x, plus, c տեսքի է, և c-ն ունի այնպիսի արտադրիչներ, որոնց գումարը ստացվում է b:
Խմբավորման եղանակ= 2x2+7x+3=2x2+6x+1x+3=2x(x+3)+1(x+3)=(x+3)(2x+1)\begin{aligned}&\phantom{=}~2x^2+7x+3\\\\&=2x^2+6x+1x+3\\\\&=2x(x+3)+1(x+3)\\\\&=(x+3)(2x+1)\\\\\\\end{aligned}Երբ բազմանդամը a, x, squared, plus, b, x, plus, c տեսքի է, և a, c-ն ունի այնպիսի արտադրիչներ, որոնց գումարը ստացվում է b:
Երկանդամի լրիվ քառակուսու բանաձև= x2+10x+25=(x+5)2\begin{aligned}&\phantom{=}~x^2+10x+25\\\\&=(x+5)^2\end{aligned}Երբ առաջին և վերջին անդամները լրիվ քառակուսիներ են և միջին անդամը դրանց քառակուսի արմատների կրկնապատիկն է:
Քառակուսների տարբերության բանաձև=  x2−9=(x−3)(x+3)\begin{aligned}&\phantom{=}~~x^2-9\\\\&=(x-3)(x+3)\end{aligned}Երբ արտահայտությունը քառակուսների տարբերություն է:

Ամբողջացնելով այս ամենը՝

Գործնականում դժվար է գլխի ընկնել, թե որ եղանակը պետք է կիրառել խնդիրը լուծելու համար: Այդ պատճառով կարևոր է ստեղծել այնպիսի ուղեցույց, որը կհեշտացնի արտադրիչների վերլուծության գործընթացը:
Ահա այդպիսի մի ուղեցույցի օրինակ, որտեղ մի շարք հարցերի միջոցով որոշվում է, թե ինչ եղանակով պետք է վերլուծել արտադրիչների քառակուսային բազմանդամը:

Քառակուսային եռանդամների վերլուծում արտադրիչների

Նախքան որևէ առաջադրանքի լուծումը սկսելն օգտակար է այն բերել կատարյալ տեսքի:
Երբ արդեն պատրաստ է, կարող ես անցնել այս հարցաշարին:
Հարց 1. Կա՞ ընդհանուր արտադրիչ:
Եթե ոչ, անցիր երկրորդ հարցին: Եթե այո, դուրս բեր ընդհանուր արտադրիչն ու շարունակիր պատասխանել հաջորդ հարցին:
Ընդհանուր արտադրիչի դուրսբերումը շատ կարևոր քայլ է արտադրիչների վերլուծության ընթացքում, քանի որ այն թվերն ավելի փոքր է դարձնում: Սա էլ իր հերթին հեշտացնում է բանաձևերը ճանաչելու պրոցեսը:
Հարց 2. Կա՞ քառակուսիների տարբերություն (օր.՝ x, squared, minus, 16 կամ 25, x, squared, minus, 9):
Եթե քառակուսիների տարբերություն է հանդիպում, արտադրիչների վերլուծությունը կատարվում է a, squared, minus, b, squared, equals, left parenthesis, a, plus, b, right parenthesis, left parenthesis, a, minus, b, right parenthesis բանաձևով: Եթե ոչ, անցիր հարց 3-ին:
Հարց 3. Կա՞ երկանդամի լրիվ քառակուսի հանդիսացող եռանդամ (օր.՝ x, squared, minus, 10, x, plus, 25 կամ 4, x, squared, plus, 12, x, plus, 9):
Եթե տրված է լրիվ քառակուսային եռանդամ, արտադրիչների վերլուծությունը կատարվում է a, squared, plus minus, 2, a, b, plus, b, squared, equals, left parenthesis, a, plus minus, b, right parenthesis, squared բանաձևով: Եթե ոչ, անցիր հարց 4-ին:
Հարց 4.
ա) Կա՞ն x, squared, plus, b, x, plus, c տեսքի արտահայտություններ:
Եթե ոչ, անցիր հարց 5-ին: Եթե այո՝ բ)-ին:
բ) Կա՞ն c-ի այնպիսի արտադրիչներ, որոնց գումարը հավասար է b-ի:
Եթե այո, ապա արտադրիչների վերլուծությունը կկատարվի գումար-արտադրյալի բանաձևով: Հակառակ դեպքում այս ձևով հնարավոր չէ վերլուծել արտադրիչների:
Հարց 5.** Ունի՞ արդյոք a, c-ն այնպիսի արտադրիչներ, որոնց գումարը ստացվում է b:**
Եթե հասել ես այս մասին, ապա քառակուսային եռանդամն ունի a, x, squared, plus, b, x, plus, c տեսք, որտեղ a, does not equal, 1: Եթե a, c-ն ունի այնպիսի արտադրիչներ, որոնց գումարը հավասար է b-ի, արտադրիչների վերլուծելու համար կօգտվենք խմբավորման եղանակից: Եթե ոչ, քառակուսային եռանդամը հնարավոր չէ վերլուծել արտադրիչների:
Ուղեցույցին հետևելը կապահովի քառակուսային եռանդամի վերլուծությունն արտադրիչների ամբողջությամբ:
Սա հիշելով՝ փորձենք մի քանի օրինակ լուծել:

Օրինակ 1. left parenthesis, 5, x, squared, minus, 80, right parenthesis-ի արտադրիչների վերլուծությունը

Ուշադրություն դարձրու, որ արտահայտությունն արդեն բերված է ստանդարտ տեսքի: Կարող ենք առաջնորդվել ուղեցույցով:
Հարց 1. Կա՞ ընդհանուր արտադրիչ:
Այո: 5, x, squared-ու և 80-ի համար ընդհանուր արտադրիչ է 5-ը: Կարող ենք արտադրիչների վերլուծել հետևյալ ձևով.
5, x, squared, minus, 80, equals, 5, left parenthesis, x, squared, minus, 16, right parenthesis
Հարց 2. Կա՞ քառակուսիների տարբերություն:
Այո: x, squared, minus, 16, equals, left parenthesis, start color #11accd, x, end color #11accd, right parenthesis, squared, minus, left parenthesis, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, right parenthesis, squared: Կարող ենք օգտագործել քառակուսիների տարբերության բանաձևը և շարունակել արտադրիչների վերլուծությունը ստորև նշված ձևով:
5x2−80=5((x)2−(4)2)=5(x+4)(x−4)\begin{aligned}\phantom{5x^2-80}&=5\left((\blueD {x})^2-(\greenD 4)^2\right)\\ \\ &=5(\blueD x+\greenD 4)(\blueD x-\greenD 4)\end{aligned}
Այս արտահայտության մեջ այլևս քառակուսիներ չկան: Մենք ամբողջապես բազմանդամը վերլուծել ենք արտադրիչների:
Եզրահանգում՝ 5, x, squared, minus, 80, equals, 5, left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 4, right parenthesis:

Օրինակ 2. left parenthesis, 4, x, squared, plus, 12, x, plus, 9, right parenthesis-ի արտադրիչների վերլուծությունը

Քառակուսային արտահայտությունը ստանդարտ տեսքով է: Հետևենք ուղեցույցին:
Հարց 1. Կա՞ ընդհանուր արտադրիչ:
Ոչ: left parenthesis, 4, x, squared, right parenthesis-ն, 12, x-ը և 9-ը չունեն ընդհանուր արտադրիչ: Հաջորդ հարցը:
Հարց 2. Կա՞ քառակուսիների տարբերություն:
Ոչ: Ունենք x-ով անդամ, ինչը նշանակում է, որ սա չի կարող լինել քառակուսիների տարբերություն: Հաջորդ հարցը:
Հարց 3. Կա՞ երկանդամի լրիվ քառակուսի:
Այո: Առաջին անդամը լրիվ քառակուսի է, քանի որ 4, x, squared, equals, left parenthesis, start color #11accd, 2, x, end color #11accd, right parenthesis, squared: Վերջին անդամը ևս քառակուսի է, քանի որ 9, equals, left parenthesis, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, right parenthesis, squared: Միջին անդամը դրանց քառակուսի արմատների արտադրյալի կրկնապատիկն է, քանի որ 12, x, equals, 2, left parenthesis, start color #11accd, 2, x, end color #11accd, right parenthesis, left parenthesis, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, right parenthesis:
Կարող ենք օգտվել լրիվ քառակուսային եռանդամի բանաձևից՝ եռանդամն արտադրիչների վերլուծելու համար:
=4x2+12x+9=(2x)2+2(2x)(3)+(3)2=(2x+3)2\begin{aligned}&\phantom{=}4x^2+12x+9\\\\&=(\blueD {2x})^2+2(\blueD{2x})(\greenD{3})+(\greenD{3})^2\\\\&=(\blueD{2x}+\greenD 3)^2\end{aligned}
Եզրահանգում՝ 4, x, squared, plus, 12, x, plus, 9, equals, left parenthesis, 2, x, plus, 3, right parenthesis, squared:

Օրինակ 3. left parenthesis, 12, x, minus, 63, plus, 3, x, squared, right parenthesis եռանդամի վերլուծումն արտադրիչների

Այս քառակուսային եռանդամը ստանդարտ տեսքի չէ: Կարող ենք գրել 3, x, squared, plus, 12, x, minus, 63 տեսքով, այնուհետև շարժվել ուղեցույցով:
Հարց 1. Կա՞ ընդհանուր արտադրիչ:
Այո: 3, x, squared-ու, 12, x-ի և 63-ի ընդհանուր արտադրիչը 3-ն է: Կարող ենք վերլուծել արտադրիչների հետևյալ ձևով.
3, x, squared, plus, 12, x, minus, 63, equals, 3, left parenthesis, x, squared, plus, 4, x, minus, 21, right parenthesis
Հարց 2. Կա՞ քառակուսիների տարբերություն:
Ոչ: Հաջորդ հարցը:
Հարց 3. Կա՞ լրիվ քառակուսային եռանդամ:
Ոչ: Ուշադրություն դարձրու, որ 21-ը լրիվ քառակուսի չէ, ինչը նշանակում է, որ սա չի կարող լինել լրիվ քառակուսային եռանդամ: Հաջորդ հարցը:
Հարց 4ա. Կա՞ x, squared, plus, b, x, plus, c տեսքի արտահայտություն:
Այո: Արդյունքում ստացված արտահայտությունը՝ x, squared, plus, 4, x, minus, 21, այդ տեսքի է:
Հարց 4բ. Կա՞ն c-ի այնպիսի արտադրիչներ, որոնց գումարը ստացվում է b:
Այո: Մասնավորապես՝ կան minus, 21-ի արտադրիչներ, որոնց գումարը ստացվում է 4:
Քանի որ 7, dot, left parenthesis, minus, 3, right parenthesis, equals, minus, 21 և 7, plus, left parenthesis, minus, 3, right parenthesis, equals, 4, կարող ենք արտադրիչների վերլուծել հետևյալ ձևով.
3(x2+4x−21)=3(x2+4x−21)=3(x+7)(x−3)\begin{aligned}\phantom{3(x^2+4x-21)}&=3(x^2+4x-21)\\ \\ &=3(x+7)(x-3)\\ \end{aligned}
Եզրահանգում՝ 3, x, squared, plus, 12, x, minus, 63, equals, 3, left parenthesis, x, plus, 7, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis:

Օրինակ 4. left parenthesis, 4, x, squared, plus, 18, x, minus, 10, right parenthesis եռանդամի վերլուծումն արտադրիչների

Ուշադրություն դարձրու, որ այս քառակուսային եռանդամն արդեն ստանդարտ տեսքի է:
Հարց 1. Կա՞ ընդհանուր արտադրիչ:
Այո: 4, x, squared-ու, 18, x-ի և 10-ի ընդհանուր արտադրիչը 2-ն է: Կարող ենք վերլուծել արտադրիչների հետևյալ ձևով.
4, x, squared, plus, 18, x, minus, 10, equals, 2, left parenthesis, 2, x, squared, plus, 9, x, minus, 5, right parenthesis
Հարց 2. Կա՞ քառակուսիների տարբերություն:
Ոչ: Հաջորդ հարցը:
Հարց 3. Կա՞ լրիվ քառակուսային եռանդամ:
Ոչ: Հաջորդ հարցը:
Հարց 4ա. Կա՞ x, squared, plus, b, x, plus, c տեսքի արտահայտություն:
Ոչ: Քառակուսային եռանդամի ավագ անդամի գործակիցը 2 է: Հաջորդ հարցը:
Հարց 5. Ունի՞ արդյոք a, c-ն այնպիսի արտադրիչներ, որոնց գումարը ստացվում է b:
Ստացված քառակուսային եռանդամն է 2, x, squared, plus, 9, x, minus, 5, և, այսպիսով, մենք ցանկանում ենք գտնել 2, dot, left parenthesis, minus, 5, right parenthesis, equals, minus, 10-ի այնպիսի արտադրիչներ, որոնց գումարը 9 է:
Քանի որ left parenthesis, minus, 1, right parenthesis, dot, 10, equals, minus, 10 և left parenthesis, minus, 1, right parenthesis, plus, 10, equals, 9, պատասխանն է՝ այո:
Հիմա կարող ենք միջին անդամի փոխարեն գրել minus, 1, x, plus, 10, x և խմբավորելով վերլուծել արտադրիչների.
= 2(2x2+9x−5)=2(2x2−1x+10x−5)Միջին անդամի բաժանում=2((2x2−1x)+(10x−5))Անդամների խմբավորում=2(x(2x−1)+5(2x−1))Ընդհանուր արտադրիչների դուրսբերում=2(2x−1)(x+5) (2x−1)-ի դուրս բերում\begin{aligned}&\phantom{=}~2(2x^2+9x-5)\\\\ &=2(2x^2-1x+10x-5)&&\small{\gray{\text{Միջին անդամի բաժանում}}}\\ \\ &=2\left((2x^2-1x)+(10x-5)\right)&&\small{\gray{\text{Անդամների խմբավորում}}}\\\\ &=2\left(x(2x-1)+5(2x-1)\right)&&\small{\gray{\text{Ընդհանուր արտադրիչների դուրսբերում}}}\\\\ &=2(2x-1)(x+5)&&\small{\gray{\text{ $(2x-1)$-ի դուրս բերում}}} \end{aligned}

Ստուգիր գիտելիքներդ

1) left parenthesis, 2, x, squared, plus, 4, x, minus, 16, right parenthesis-ը վերլուծիր արտադրիչների:
Ընտրիր ճիշտ պատասխանը։

2) left parenthesis, 3, x, squared, minus, 60, x, plus, 300, right parenthesis եռանդամը վերլուծիր արտադրիչների:

3) left parenthesis, 72, x, squared, minus, 2, right parenthesis-ը վերլուծիր արտադրիչների:

4) left parenthesis, 5, x, squared, plus, 5, x, plus, 15, right parenthesis-ը վերլուծիր արտադրիչների:
Ընտրիր ճիշտ պատասխանը։

5) left parenthesis, 8, x, squared, minus, 12, x, minus, 8, right parenthesis եռանդամը վերլուծիր արտադրիչների:

6) left parenthesis, 56, minus, 18, x, plus, x, squared, right parenthesis եռանդամը վերլուծիր արտադրիչների:

7) left parenthesis, 3, x, squared, plus, 27, right parenthesis-ը վերլուծիր արտադրիչների
Ընտրիր ճիշտ պատասխանը։

Ուզո՞ւմ ես միանալ խոսակցությանը։

Մուտք գործել
Առայժմ հրապարակումներ չկան։
Անգլերեն հասկանո՞ւմ ես: Սեղմիր այստեղ և ավելի շատ քննարկումներ կգտնես «Քան» ակադեմիայի անգլերեն կայքում: