Հիմնական նյութ

Հանրահաշիվ I

Դասընթաց․ (Հանրահաշիվ I) > Բաժին 16

Դաս 3: Քառակուսային հավասարման լուծումը` քառակուսի արմատ հաշվելով

Քառակուսային հավասարումների լուծումը քառակուսի արմատ հանելով

Սովորիր լուծել x^2=36 կամ (x-2)^2=49 տեսքի քառակուսային հավասարումներ:

Ինչ է պետք իմանալ մինչ այս դասին անցնելը

Ինչ կսովորես այս դասին

Մինչ այժմ դու լուծել ես գծային հավասարումներ, որոնք պարունակել են ազատ անդամներ և առաջին աստիճան բարձրացրած փոփոխականով անդամներ՝

x^{1} = x

Այժմ կսովորենք, թե ինչպես լուծել քառակուսային հավասարումը, որի անդամների մեջ առկա է երկրորդ աստիճան բարձրացված փոփոխական՝

x^{2}

Ստորև ներկայացված են քառակուսային հավասարման մի քանի օրինակներ.

x^{2} = 36

(x - 2)^{2} = 49

[Ինչո՞ւ է սա քառակուսային հավասարում:]

2 x^{2} + 3 = 131

Արի անցնենք գործի:

$x^{2} = 36$ ‍ և նմանատիպ հավասարումների լուծումը

Ենթադրենք, ցանկանում ենք լուծել

x^{2} = 36

հավասարումը: Արի նախ ձևակերպենք՝ ինչ է պահանջվում գտնել: Պահանջվում է գտնել այն թիվը, որն ինքն իրենով բազմապատկելիս կստանանք 36:

Եթե այս հարցը քեզ համար ծանոթ է հնչում, ապա պատճառն այն է, որ այն 36-ի քառակուսի արմատի սահմանումն է, որը մաթեմատիկորեն ներկայացվում է որպես

\sqrt{36}

Հավասարման ամբողջական լուծումն ունի հետևյալ տեսքը.

\begin{aligned} x^{2} & = 36 \\ \sqrt{x^{2}} & = \sqrt{36} & Քառակուսի արմատ հանիր \\ x & = \pm \sqrt{36} \\ x & = \pm 6 \end{aligned}

Արի հասկանանք՝ ինչ ընթացք ունի լուծումը:

Ի՞նչ է նշանակում $\pm$ ‍ նշանը

Ուշադրություն դարձրու, որ դրական թիվն ունի երկու քառակուսի արմատ՝ դրական և բացասական: Օրինակ՝ և՛

6

-ի, և՛

- 6

-ի քառակուսիները հավասար են

36

-ի: Հետևաբար, այս հավասարումն ունի երկու լուծում:

\pm

-ը պարզապես սա մաթեմատիկորեն ներկայացնելու արդյունավետ եղանակ է: Օրինակ՝

\pm 6

-ը նշանակում է

6

կամ

- 6

Մի փոքր՝ հակադարձ գործողությունների մասին

Գծային հավասարումներ լուծելիս փոփոխականն առանձնացնում ենք հակադարձ գործողությունների օգնությամբ: Օրինակ, եթե փոփոխականին գումարված է

3

, ապա հավասարման երկու կողմից հանում ենք

3

: Եթե փոփոխականը բազմապատկված է

4

-ով, երկու կողմը բաժանում ենք

4

-ի:

Քառակուսի բարձրացնելու հակադարձ գործողությունը քառակուսի արմատ հանելն է: Ի տարբերություն մյուս գործողությունների՝ քառակուսի արմատ հանելիս պետք է հիշենք հանել և՛ դրական, և՛ բացասական քառակուսի արմատները:

Հիմա փորձիր ինքդ մի քանի հավասարում լուծել:

Խնդիր 1

Լուծիր․ $x^{2} = 16$ ‍:

x = \pm

Խնդիր 2

Լուծիր․ $x^{2} = 81$ ‍:

x = \pm

Խնդիր 3

Լուծիր․ $x^{2} = 5$ ‍:

$(x - 2)^{2} = 49$ ‍ և նմանատիպ հավասարումների լուծումը

Ահա թե ինչպես է ընթանում

(x - 2)^{2} = 49

-ի լուծումը․

\begin{aligned} (x - 2)^{2} & = 49 \\ \sqrt{(x - 2)^{2}} & = \sqrt{49} & Քառակուսի արմատ հանիր \\ x - 2 & = \pm 7 \\ x & = \pm 7 + 2 & Գումարիր 2 \end{aligned}

Այսպիսով՝ լուծումներն են $x = 9$ ‍ և $x = - 5$ ‍:

Արի հասկանանք՝ ինչ ընթացք ունի լուծումը:

$x$ ‍-ի առանձնացումը

Հակադարձ գործողության՝ քառակուսի արմատ հանելու օգնությամբ վերացրինք քառակուսու նշանը: Սա կարևոր քայլ էր

x

-ի առանձնացման համար, բայց դեռ պետք է

2

գումարենք, որպեսզի

x

-ը լրիվ առանձնացնենք:

Հասկանանք հավասարումները

Մեր աշխատանքն ավարտվեց

x = \pm 7 + 2

-ով: Ինչպե՞ս պետք է հասկանանք այս արտահայտությունը: Հիշիր, որ

\pm 7

-ը նշանակում է

+ 7

կամ

- 7

: Հետևաբար, պետք է պատասխանը բաժանենք երկու դեպքի՝

x = 7 + 2

կամ

x = - 7 + 2

Արդյունքում ստանում ենք երկու լուծում՝

x = 9

x = - 5

[Ստուգիր, սրանք իրո՞ք լուծումներ են:]

Հիմա փորձիր ինքդ մի քանի հավասարում լուծել:

Խնդիր 4

Լուծիր․ $(x + 3)^{2} = 25$ ‍:

Խնդիր 5

Լուծիր․ $(2 x - 1)^{2} = 9$ ‍:

Խնդիր 6

Լուծիր․ $(x - 5)^{2} = 7$ ‍:

Ինչու չենք բացում փակագծերը

Արի վերադառնանք մեր օրինակի հավասարմանը՝

(x - 2)^{2} = 49

: Ենթադրենք, այստեղ ցանկանում ենք բացել փակագծերը: Ի վերջո, դա այն է, ինչ մենք անում ենք գծային հավասարումների դեպքում, ճի՞շտ է:

Փակագծերը բացելուց հետո կստանանք հետևյալ հավասարումը.

x^{2} - 4 x + 4 = 49

Եթե ցանկանում ենք այս հավասարման երկու կողմերից քառակուսի արմատ հանել, , մենք քառակուսի արմատի նշանի տակ պետք է վերցնենք

x^{2} - 4 x + 4

արտահայտությունը, բայց պարզ չէ թե արդյոք

\sqrt{x^{2} - 4 x + 4}

կարող է գրվել գեղեցիկ արտահայտության տեսքով։

Ի տարբերություն դրա,

x^{2}

-ու կամ

(x - 2)^{2}

-ու նման արտահայտություններից քառակուսի արմատ հանելու արդյունքում ստանում ենք գեղեցիկ արտահայտություններ, օրինակ՝

x

կամ

(x - 2)

Հետևաբար, քառակուսային հավասարումներն օգտակար է գրել արտադրյալի տեսքով, ինչը թույլ է տալիս մեզ քառակուսի արմատ հանել:

$2 x^{2} + 3 = 131$ ‍ և նմանատիպ հավասարումների լուծումը

Ոչ բոլոր քառակուսային հավասարումներն են անմիջապես լուծվում՝ քառակուսի արմատ հանելով: Երբեմն պետք է քառակուսի արմատ հանելուց առաջ առանձնացնենք քառակուսի բարձրացված անդամը:

Օրինակ՝

2 x^{2} + 3 = 131

հավասարումը լուծելու համար նախ պետք է առանձնացնենք

x^{2}

-ն: Դա կանենք նույն կերպ, ինչպես գծային հավասարումների դեպքում առանձնացնում էինք

x

-ը:

\begin{aligned} 2 x^{2} + 3 & = 131 \\ 2 x^{2} & = 128 & Հանիր 3 \\ x^{2} & = 64 & Բաժանիր 2-ի \\ \sqrt{x^{2}} & = \sqrt{64} & Քառակուսի արմատ հանիր \\ x & = \pm 8 \end{aligned}

Հիմա փորձիր ինքդ մի քանի հավասարում լուծել:

Խնդիր 7

Լուծիր․ $3 x^{2} - 7 = 5$ ‍:

Խնդիր 8

Լուծիր․ $4 (x - 1)^{2} + 2 = 38$ ‍:

Բարդ խնդիր

Լուծիր․ $x^{2} + 8 x + 16 = 9$ ‍:

Ուզո՞ւմ ես միանալ խոսակցությանը։

Մուտք գործել

Դասակարգել ըստ

Առայժմ հրապարակումներ չկան։

Անգլերեն հասկանո՞ւմ ես: Սեղմիր այստեղ և ավելի շատ քննարկումներ կգտնես «Քան» ակադեմիայի անգլերեն կայքում:

Հանրահաշիվ I

Դասընթաց․ (Հանրահաշիվ I) > Բաժին 16

Ինչ է պետք իմանալ մինչ այս դասին անցնելը

Ինչ կսովորես այս դասին

x2=36‍ և նմանատիպ հավասարումների լուծումը

Ի՞նչ է նշանակում ±‍ նշանը

Մի փոքր՝ հակադարձ գործողությունների մասին

(x−2)2=49‍ և նմանատիպ հավասարումների լուծումը

x‍ -ի առանձնացումը

Հասկանանք հավասարումները

Ինչու չենք բացում փակագծերը

2x2+3=131‍ և նմանատիպ հավասարումների լուծումը

Ուզո՞ւմ ես միանալ խոսակցությանը։

$x^{2} = 36$ ‍ և նմանատիպ հավասարումների լուծումը

Ի՞նչ է նշանակում $\pm$ ‍ նշանը

$(x - 2)^{2} = 49$ ‍ և նմանատիպ հավասարումների լուծումը

$x$ ‍-ի առանձնացումը

$2 x^{2} + 3 = 131$ ‍ և նմանատիպ հավասարումների լուծումը