Հիմնական նյութ

Հանրահաշիվ I

Դասընթաց․ (Հանրահաշիվ I) > Բաժին 16

Դաս 6: Լրիվ քառակուսու առանձնացում

Քառակուսային հավասարման լուծումը. լրիվ քառակուսու առանձնացում

Օրինակ՝ լուծիր x²+6x=-2 հավասարումը՝ այն վերափոխելով ու դարձնելով (x+3)²=7, այնուհետև հավասարման երկու մասերից քառակուսի արմատ հաշվիր:

Ի՞նչ պետք է իմանաս դու մինչև այս դասին անցնելը

Ի՞նչ կսովորես դու այս դասում

Մինչև հիմա դու միայն լուծել ես քառակուսային հավասարումներ՝ քառակուսի արմատ հանելով կամ արտադրիչների վերլուծելով։ Այս մեթոդներն օգտագործվելիս համեմատաբար պարզ են և հասկանալի։ Ցավոք, դրանք ոչ միշտ են օգտագործվում։

Այս դասին կսովորես մի մեթոդ, բոլոր տեսակի քառակուսային հավասարումները լուծելու համար։

Քառակուսային հավասարումների լուծումը լրիվ քառակուսի անջատելով

Վերցնենք

x^{2} + 6 x = - 2

հավասարումը։ Քառակուսի արմատ հանելն ու արտադրիչների վերլուծելն այստեղ չեն կարող օգտագործվել։

[Ինչո՞ւ է այդպես։]

Բայց հույսը կորած չէ։ Մենք կարող ենք օգտագործել լրիվ քառակուսի անջատելու մեթոդը։ Արի նայենք լուծումը և վերլուծենք այն։

\begin{aligned} (1) & x^{2} + 6 x & = - 2 \\ (2) & x^{2} + 6 x + 9 & = 7 & Գումարենք 9, որ ստանանք գումարի քառակուսի \\ (3) & (x + 3)^{2} & = 7 & Ձախ կողմի արտահայտությունը վերլուծենք արտադրիչների \\ (4) & \sqrt{(x + 3)^{2}} & = \pm \sqrt{7} & Քառակուսի արմատ հանենք \\ (5) & x + 3 & = \pm \sqrt{7} \\ (6) & x & = \pm \sqrt{7} - 3 & Հանենք 3 \end{aligned}

Հետևաբար, հավասարման լուծումներն են

x = \sqrt{7} - 3

x = - \sqrt{7} - 3

թվերը։

Ի՞նչ տեղի ունեցավ

x^{2} + 6 x

արտահայտությանը

(2)

-րդ տողում

9

գումարելով ստանում ենք լրիվ քառակուսի, որը նույն

(x + 3)^{2}

-ն է։ Սա թույլ կտա հավասարումը լուծել երկու մասերից քառակուսի արմատ հանելով։

Սա, իհարկե, զուգադիպություն չէ։

9

թիվը մենք ենք ընտրում, որ արտահայտությանը գումարելիս լրիվ քառակուսի ստանանք։

Ինչպես լրիվ քառակուսի ստանալ

Հասկանալու համար, թե ինչու հենց

9

, պետք է ինքներս մեզ տանք այս հարցը․ եթե

x^{2} + 6 x

-ը լրիվ քառակուսի արտահայության սկիզբն է, ապա ո՞րն է դրա ազատ անդամը։

Ենթադրենք՝ արտահայտությունը դառնում է

(x + a)^{2}

տեսքի լրիվ քառակուսի, որտեղ

a

-ն դեռ անհայտ է։ Այս արտահայտությունը բացվում է որպես

x^{2} + 2 a x + a^{2}

, ինչը մեզ երկու բան է ասում․

$x$ ‍-ի գործակիցը, որը $6$ ‍ է, պետք է հավասար լինի $2 a$ ‍։ Սա նշանակում է, որ $a = 3$ ‍։
Ազատ անդամը, որը մենք պետք է աավելացնենք, հավասար է $a^{2}$ ‍, այսինքն $3^{2} = 9$ ‍։

Փորձիր ինքդ ստանալ լրիվ քառակուսիներ։

Խնդիր 1

$x^{2} + 10 x$ ‍ արտահայտությանն ի՞նչ հաստատուն անդամ պետք է գումարել՝ լրիվ քառակուսի ստանալու համար։

Խնդիր 2

$x^{2} - 2 x$ ‍ արտահայտությանն ի՞նչ հաստատուն անդամ պետք է գումարել՝ լրիվ քառակուսի ստանալու համար։

Խնդիր 3

$x^{2} + \frac{1}{2} x$ ‍ արտահայտությանն ի՞նչ հաստատուն անդամ պետք է գումարել լրիվ քառակուսի ստանալու համար։

Բարդ խնդիր

$x^{2} + b \cdot x$ ‍ արտահայտությանն ի՞նչ հաստատուն անդամ պետք է գումարել լրիվ քառակուսի ստանալու համար։

Այս բարդ խնդիրն ամեն ինչ չմտապահելու ու փոխարենը կարճ ճանապարհներ փնտրելու սիրահարներին տալիս է լրիվ քառակուսի ստանալու կարճ ճանապարհ։ Այն ցույց է տալիս, որ

x^{2} + b x

արտահայտությունից լրիվ քառակուսի ստանալու համար, որտեղ

b

-ն կամայական թիվ է, պետք է գումարենք

{(\frac{b}{2})}^{2}

Օրինակ՝

x^{2} + 6 x

արտահայտությունից լրիվ քառակուսի ստանալու համար պետք է գումարենք

{(\frac{6}{2})}^{2} = 9

Հավասարումները լուծել ևս մեկ անգամ

Ըհըն, հիմա, երբ դու արդեն հայտնի քառակուսի լրացնող ես, արի հետ գնանք ու հավասարումները լուծենք նոր մեթոդով։

Արի դիտարկենք նոր օրինակ՝

x^{2} - 10 x = - 12

հավասարումը։

\begin{aligned} (1) & x^{2} - 10 x & = - 12 \\ (2) & x^{2} - 10 x + 25 & = 13 & Գումարենք 25, որ ստանանք գումարի քառակուսի \\ (3) & (x - 5)^{2} & = 13 & Ձախ կողմի արտահայտությունը վերլուծենք արտադրիչների \\ (4) & \sqrt{(x - 5)^{2}} & = \pm \sqrt{13} & Քառակուսի արմատ հանենք \\ (5) & x - 5 & = \pm \sqrt{13} \\ (6) & x & = \pm \sqrt{13} + 5 & Գումարենք 5 \end{aligned}

Ձախ կողմի արտահայտությունը՝

x^{2} - 10 x

, լրիվ քառակուսի դարձնելու համար

(2)

-րդ տողում դրան գումարեցինք

25

։ Հավասարումներում միշտ նույն թիվը գումարում ենք նաև աջ մասում, և այս դեպքում

- 12

-ը դառնում է

13

Առհասարակ լրիվ քառակուսի ստանալու համար պահանջվող թիվն ընտրելը կախված չէ հավասարման աջ մասից, բայց թիվը պետք է գումարենք երկու կողմին՝ հավասարությունը պահպանելու համար։

Հիմա քո հերթն է լուծել մի քանի հավասարում։

Խնդիր 4

Լուծիր $x^{2} - 8 x = 5$ ‍ հավասարումը։

Խնդիր 5

Լուծիր $x^{2} + 3 x = - \frac{1}{4}$ ‍ հավասարումը։

Հավասարումը վերադասավորելը մինչ լրիվ քառակուսի անջատելը

Կանոն 1․ Փոփոխականներով անդամներն առանձնացնենք հաստատուն անդամից

Ահա, թե ինչպես է լուծվում

x^{2} + 5 x - 6 = x + 1

հավասարումը․

\begin{aligned} (1) & x^{2} + 5 x - 6 & = x + 1 \\ (2) & x^{2} + 4 x - 6 & = 1 & Հանենք x \\ (3) & x^{2} + 4 x & = 7 & Գումարենք 6 \\ (4) & x^{2} + 4 x + 4 & = 11 & Գումարենք 4, որ ստանանք լրիվ քառակուսի \\ (5) & (x + 2)^{2} & = 11 & Վերլուծենք արտադրիչների \\ (6) & \sqrt{(x + 2)^{2}} & = \pm \sqrt{11} & Քառակուսի արմատ հանենք \\ (7) & x + 2 & = \pm \sqrt{11} \\ (8) & x & = \pm \sqrt{11} - 2 & Հանենք 2 \end{aligned}

Հավասարման մի կողմում լրիվ քառակուսի ստանալն անիմաստ է, եթե մյուս կողմում նույնպես

x

-երով անդամ կա։ Դրա համար ենք

(2)

-րդ տողում հանում

x

, որ միայն ձախ մասում մնան փոփոխականներ։

Հետո

x^{2} + 4 x

արտահայտությունից լրիվ քառակուսի ստանալու համար պետք է գումարենք

4

։ Բայց մինչ այդ պետք է վստահ լինենք, որ հաստատուն թվերը միայն հավասարման աջ մասում են։ Դրա համար ենք

(3)

-րդ տողում գումարում

6

, որ առանձնացնենք

(x^{2} + 4 x)

-ը։

Կանոն 2․ $x^{2}$ ‍-ու գործակիցը պետք է լինի $1$ ‍

Ահա, թե ինչպես ենք լուծում

3 x^{2} - 36 x = - 42

հավասարումը․

\begin{aligned} (1) & 3 x^{2} - 36 x & = - 42 \\ (2) & x^{2} - 12 x & = - 14 & Բաժանենք 3-ի \\ (3) & x^{2} - 12 x + 36 & = 22 & Գումարենք 36, որ ստանանք լրիվ քառակուսի \\ (4) & (x - 6)^{2} & = 22 & Վերլուծենք արտադրիչների \\ (5) & \sqrt{(x - 6)^{2}} & = \pm \sqrt{22} & Քառակուսի արմատ հանենք \\ (6) & x - 6 & = \pm \sqrt{22} \\ (7) & x & = \pm \sqrt{22} + 6 & Գումարենք 6 \end{aligned}

Լրիվ քառակուսի անջատելու մեթոդն աշխատում է միայն այն դեպքում, երբ

x^{2}

-ու գործակիցը

1

է։

[Ինչո՞ւ է այդպես։]

Դրա համար

(2)

-րդ տողում հավասարումը բաժանում ենք

x^{2}

-ու գործակցի՝

3

-ի վրա։

Երբեմն

x^{2}

-ու գործակցի վրա բաժանելու արդյունքում մյուս գործակիցները կարող են վերածվել կոտորակների։ Դա սակայն չի նշանակում, որ դու ինչ-որ բան սխխալ ես արել, այլ ուղղակկի նշանակում է, որ լուծման ընթացքում գործ ես ունենալու կոտորակների հետ։

[Ցույց տուր կոտորակներով հավասարման օրինակ։]

Հիմա այսպիսի հավասարումներ լուծելու քո հերթն է։

Խնդիր 6

Լուծիր $4 x^{2} + 20 x - 3 = 0$ ‍ հավասարումը։

Ուզո՞ւմ ես միանալ խոսակցությանը։

Մուտք գործել

Դասակարգել ըստ

Առայժմ հրապարակումներ չկան։

Անգլերեն հասկանո՞ւմ ես: Սեղմիր այստեղ և ավելի շատ քննարկումներ կգտնես «Քան» ակադեմիայի անգլերեն կայքում: