If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Եթե գտնվում ես վեբ զտիչի հետևում, խնդրում ենք համոզվել, որ *.kastatic.org և *.kasandbox.org տիրույթները հանված են արգելափակումից։

Հիմնական նյութ

Քառակուսային հավասարման լուծումը. լրիվ քառակուսու առանձնացում

Օրինակ՝ լուծիր x²+6x=-2 հավասարումը՝ այն վերափոխելով ու դարձնելով (x+3)²=7, այնուհետև հավասարման երկու մասերից քառակուսի արմատ հաշվիր:

Ի՞նչ պետք է իմանաս դու մինչև այս դասին անցնելը

Ի՞նչ կսովորես դու այս դասում

Մինչև հիմա դու միայն լուծել ես քառակուսային հավասարումներ՝ քառակուսի արմատ հանելով կամ արտադրիչների վերլուծելով։ Այս մեթոդներն օգտագործվելիս համեմատաբար պարզ են և հասկանալի։ Ցավոք, դրանք ոչ միշտ են օգտագործվում։
Այս դասին կսովորես մի մեթոդ, բոլոր տեսակի քառակուսային հավասարումները լուծելու համար։

Քառակուսային հավասարումների լուծումը լրիվ քառակուսի անջատելով

Վերցնենք x, squared, plus, 6, x, equals, minus, 2 հավասարումը։ Քառակուսի արմատ հանելն ու արտադրիչների վերլուծելն այստեղ չեն կարող օգտագործվել։
Բայց հույսը կորած չէ։ Մենք կարող ենք օգտագործել լրիվ քառակուսի անջատելու մեթոդը։ Արի նայենք լուծումը և վերլուծենք այն։
(1)x2+6x=2(2)x2+6x+9=7Գումարենք 9, որ ստանանք գումարի քառակուսի(3)(x+3)2=7Ձախ կողմի արտահայտությունը վերլուծենք արտադրիչների(4)(x+3)2=±7Քառակուսի արմատ հանենք(5)x+3=±7(6)x=±73Հանենք 3\begin{aligned}(1)&&x^2+6x&=-2\\\\ \blueD{(2)}&&\Large\blueD{x^2+6x+9}&\Large\blueD{=7}&&\blueD{\text{Գումարենք 9, որ ստանանք գումարի քառակուսի}}\\\\ (3)&&(x+3)^2&=7&&\text{Ձախ կողմի արտահայտությունը վերլուծենք արտադրիչների}\\\\ (4)&&\sqrt{(x+3)^2}&=\pm \sqrt{7}&&\text{Քառակուսի արմատ հանենք}\\\\ (5)&&x+3&=\pm\sqrt{7}\\\\ (6)&& x&=\pm\sqrt{7}-3&&\text{Հանենք 3}\end{aligned}
Հետևաբար, հավասարման լուծումներն են x, equals, square root of, 7, end square root, minus, 3 և x, equals, minus, square root of, 7, end square root, minus, 3 թվերը։

Ի՞նչ տեղի ունեցավ

x, squared, plus, 6, x արտահայտությանը start color #11accd, left parenthesis, 2, right parenthesis, end color #11accd-րդ տողում 9 գումարելով ստանում ենք լրիվ քառակուսի, որը նույն left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, squared-ն է։ Սա թույլ կտա հավասարումը լուծել երկու մասերից քառակուսի արմատ հանելով։
Սա, իհարկե, զուգադիպություն չէ։ 9 թիվը մենք ենք ընտրում, որ արտահայտությանը գումարելիս լրիվ քառակուսի ստանանք։

Ինչպես լրիվ քառակուսի ստանալ

Հասկանալու համար, թե ինչու հենց 9, պետք է ինքներս մեզ տանք այս հարցը․ եթե x, squared, plus, 6, x-ը լրիվ քառակուսի արտահայության սկիզբն է, ապա ո՞րն է դրա ազատ անդամը։
Ենթադրենք՝ արտահայտությունը դառնում է left parenthesis, x, plus, a, right parenthesis, squared տեսքի լրիվ քառակուսի, որտեղ a-ն դեռ անհայտ է։ Այս արտահայտությունը բացվում է որպես x, squared, plus, 2, a, x, plus, a, squared, ինչը մեզ երկու բան է ասում․
  1. x-ի գործակիցը, որը 6 է, պետք է հավասար լինի 2, a։ Սա նշանակում է, որ a, equals, 3։
  2. Ազատ անդամը, որը մենք պետք է աավելացնենք, հավասար է a, squared, այսինքն 3, squared, equals, 9։
Փորձիր ինքդ ստանալ լրիվ քառակուսիներ։
Խնդիր 1
x, squared, plus, 10, x արտահայտությանն ի՞նչ հաստատուն անդամ պետք է գումարել՝ լրիվ քառակուսի ստանալու համար։
  • Քո պատասխանը պետք է լինի
  • ամբողջ թիվ, օրինակ՝ 6
  • պարզեցված կանոնավոր կոտորակ, օրինակ՝ 3, slash, 5
  • պարզեցված անկանոն կոտորակ, օրինակ՝ 7, slash, 4
  • խառը թիվ, օրինակ՝ 1, space, 3, slash, 4
  • վերջավոր տասնորդական կոտորակ, օրինակ 0, comma, 75
  • Պիի բազմապատիկ, օրինակ՝ 12, space, start text, պ, ի, end text կամ 2, slash, 3, space, start text, պ, ի, end text

Խնդիր 2
x, squared, minus, 2, x արտահայտությանն ի՞նչ հաստատուն անդամ պետք է գումարել՝ լրիվ քառակուսի ստանալու համար։
  • Քո պատասխանը պետք է լինի
  • ամբողջ թիվ, օրինակ՝ 6
  • պարզեցված կանոնավոր կոտորակ, օրինակ՝ 3, slash, 5
  • պարզեցված անկանոն կոտորակ, օրինակ՝ 7, slash, 4
  • խառը թիվ, օրինակ՝ 1, space, 3, slash, 4
  • վերջավոր տասնորդական կոտորակ, օրինակ 0, comma, 75
  • Պիի բազմապատիկ, օրինակ՝ 12, space, start text, պ, ի, end text կամ 2, slash, 3, space, start text, պ, ի, end text

Խնդիր 3
x, squared, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, x արտահայտությանն ի՞նչ հաստատուն անդամ պետք է գումարել լրիվ քառակուսի ստանալու համար։
  • Քո պատասխանը պետք է լինի
  • պարզեցված կանոնավոր կոտորակ, օրինակ՝ 3, slash, 5

Բարդ խնդիր
x, squared, plus, b, dot, x արտահայտությանն ի՞նչ հաստատուն անդամ պետք է գումարել լրիվ քառակուսի ստանալու համար։
Ընտրիր ճիշտ պատասխանը։

Այս բարդ խնդիրն ամեն ինչ չմտապահելու ու փոխարենը կարճ ճանապարհներ փնտրելու սիրահարներին տալիս է լրիվ քառակուսի ստանալու կարճ ճանապարհ։ Այն ցույց է տալիս, որ x, squared, plus, b, x արտահայտությունից լրիվ քառակուսի ստանալու համար, որտեղ b-ն կամայական թիվ է, պետք է գումարենք left parenthesis, start fraction, b, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, squared։
Օրինակ՝ x, squared, plus, start color #11accd, 6, end color #11accd, x արտահայտությունից լրիվ քառակուսի ստանալու համար պետք է գումարենք left parenthesis, start fraction, start color #11accd, 6, end color #11accd, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, squared, equals, 9։

Հավասարումները լուծել ևս մեկ անգամ

Ըհըն, հիմա, երբ դու արդեն հայտնի քառակուսի լրացնող ես, արի հետ գնանք ու հավասարումները լուծենք նոր մեթոդով։
Արի դիտարկենք նոր օրինակ՝ x, squared, minus, 10, x, equals, minus, 12 հավասարումը։
(1)x210x=12(2)x210x+25=13Գումարենք 25, որ ստանանք գումարի քառակուսի(3)(x5)2=13Ձախ կողմի արտահայտությունը վերլուծենք արտադրիչների(4)(x5)2=±13Քառակուսի արմատ հանենք(5)x5=±13(6)x=±13+5Գումարենք 5\begin{aligned}( 1)&&x^2-10x&=-12\\\\ \blueD{(2)}&&\Large\blueD{x^2-10x+25}&\Large\blueD{=13}&&\blueD{\text{Գումարենք 25, որ ստանանք գումարի քառակուսի}}\\\\ (3)&&(x-5)^2&=13&&\text{Ձախ կողմի արտահայտությունը վերլուծենք արտադրիչների}\\\\ (4)&&\sqrt{(x-5)^2}&=\pm \sqrt{13}&&\text{Քառակուսի արմատ հանենք}\\\\ (5) && x-5&=\pm\sqrt{13}\\\\ (6)&& x&=\pm\sqrt{13}+5&&\text{Գումարենք 5}\end{aligned}
Ձախ կողմի արտահայտությունը՝ x, squared, minus, 10, x, լրիվ քառակուսի դարձնելու համար start color #11accd, left parenthesis, 2, right parenthesis, end color #11accd-րդ տողում դրան գումարեցինք 25։ Հավասարումներում միշտ նույն թիվը գումարում ենք նաև աջ մասում, և այս դեպքում minus, 12-ը դառնում է 13։
Առհասարակ լրիվ քառակուսի ստանալու համար պահանջվող թիվն ընտրելը կախված չէ հավասարման աջ մասից, բայց թիվը պետք է գումարենք երկու կողմին՝ հավասարությունը պահպանելու համար։
Հիմա քո հերթն է լուծել մի քանի հավասարում։
Խնդիր 4
Լուծիր x, squared, minus, 8, x, equals, 5 հավասարումը։
Ընտրիր ճիշտ պատասխանը։

Խնդիր 5
Լուծիր x, squared, plus, 3, x, equals, minus, start fraction, 1, divided by, 4, end fraction հավասարումը։
Ընտրիր ճիշտ պատասխանը։

Հավասարումը վերադասավորելը մինչ լրիվ քառակուսի անջատելը

Կանոն 1․ Փոփոխականներով անդամներն առանձնացնենք հաստատուն անդամից

Ահա, թե ինչպես է լուծվում x, squared, plus, 5, x, minus, 6, equals, x, plus, 1 հավասարումը․
(1)x2+5x6=x+1(2)x2+4x6=1Հանենք x(3)x2+4x=7Գումարենք 6(4)x2+4x+4=11Գումարենք 4, որ ստանանք լրիվ քառակուսի(5)(x+2)2=11Վերլուծենք արտադրիչների(6)(x+2)2=±11Քառակուսի արմատ հանենք(7)x+2=±11(8)x=±112Հանենք 2\begin{aligned} ( 1)&&x^2+5x-6&=x+1\\\\ \tealD{(2)}&&\tealD{x^2+4x-6}&\tealD{=1}&&\tealD{\text{Հանենք }x}\\\\ \purpleC{(3)}&&\purpleC{x^2+4x}&\purpleC{=7}&&\purpleC{\text{Գումարենք 6}}\\\\ (4)&&x^2+4x+4&=11&&\text{Գումարենք 4, որ ստանանք լրիվ քառակուսի}\\\\ (5)&&(x+2)^2&=11&&\text{Վերլուծենք արտադրիչների}\\\\ (6)&&\sqrt{(x+2)^2}&=\pm\sqrt{11}&&\text{Քառակուսի արմատ հանենք}\\\\ (7)&&x+2&=\pm\sqrt{11}\\\\ (8)&& x&=\pm\sqrt{11}-2&&\text{Հանենք 2}\end{aligned}
Հավասարման մի կողմում լրիվ քառակուսի ստանալն անիմաստ է, եթե մյուս կողմում նույնպես x-երով անդամ կա։ Դրա համար ենք start color #01a995, left parenthesis, 2, right parenthesis, end color #01a995-րդ տողում հանում x, որ միայն ձախ մասում մնան փոփոխականներ։
Հետո x, squared, plus, 4, x արտահայտությունից լրիվ քառակուսի ստանալու համար պետք է գումարենք 4։ Բայց մինչ այդ պետք է վստահ լինենք, որ հաստատուն թվերը միայն հավասարման աջ մասում են։ Դրա համար ենք start color #aa87ff, left parenthesis, 3, right parenthesis, end color #aa87ff-րդ տողում գումարում 6, որ առանձնացնենք left parenthesis, x, squared, plus, 4, x, right parenthesis-ը։

Կանոն 2․ x, squared-ու գործակիցը պետք է լինի 1

Ահա, թե ինչպես ենք լուծում 3, x, squared, minus, 36, x, equals, minus, 42 հավասարումը․
(1)3x236x=42(2)x212x=14Բաժանենք 3-ի(3)x212x+36=22Գումարենք 36, որ ստանանք լրիվ քառակուսի(4)(x6)2=22Վերլուծենք արտադրիչների(5)(x6)2=±22Քառակուսի արմատ հանենք(6)x6=±22(7)x=±22+6Գումարենք 6\begin{aligned}( 1)&&3x^2-36x&=-42\\\\ \maroonD{(2)}&&\maroonD{x^2-12x}&\maroonD{=-14}&&\maroonD{\text{Բաժանենք 3-ի}}\\\\ (3)&&x^2-12x+36&=22&&\text{Գումարենք 36, որ ստանանք լրիվ քառակուսի}\\\\ (4)&&(x-6)^2&=22&&\text{Վերլուծենք արտադրիչների}\\\\ (5)&&\sqrt{(x-6)^2}&=\pm\sqrt{22}&&\text{Քառակուսի արմատ հանենք}\\\\ (6)&&x-6&=\pm\sqrt{22}\\\\ (7)&& x&=\pm\sqrt{22}+6&&\text{Գումարենք 6}\end{aligned}
Լրիվ քառակուսի անջատելու մեթոդն աշխատում է միայն այն դեպքում, երբ x, squared-ու գործակիցը 1 է։
Դրա համար start color #ca337c, left parenthesis, 2, right parenthesis, end color #ca337c-րդ տողում հավասարումը բաժանում ենք x, squared-ու գործակցի՝ 3-ի վրա։
Երբեմն x, squared-ու գործակցի վրա բաժանելու արդյունքում մյուս գործակիցները կարող են վերածվել կոտորակների։ Դա սակայն չի նշանակում, որ դու ինչ-որ բան սխխալ ես արել, այլ ուղղակկի նշանակում է, որ լուծման ընթացքում գործ ես ունենալու կոտորակների հետ։
Հիմա այսպիսի հավասարումներ լուծելու քո հերթն է։
Խնդիր 6
Լուծիր 4, x, squared, plus, 20, x, minus, 3, equals, 0 հավասարումը։
Ընտրիր ճիշտ պատասխանը։

Ուզո՞ւմ ես միանալ խոսակցությանը։

Առայժմ հրապարակումներ չկան։
Անգլերեն հասկանո՞ւմ ես: Սեղմիր այստեղ և ավելի շատ քննարկումներ կգտնես «Քան» ակադեմիայի անգլերեն կայքում: