Հիմնական նյութ

Հանրահաշիվ I

Դասընթաց․ (Հանրահաշիվ I) > Բաժին 16

Դաս 7: Քառակուսային հավասարման լուծումների բանաձևը

Հասկանում ենք քառակուսային եռանդամի արմատների բանաձևը

Իմացիր ավելին քառակուսային հավասարման լուծումների բանաձևի և քառակուսային հավասարումները լուծելու համար դրա կիրառման մասին:

Քառակուսային բանաձևն օգնում է լուծել քառակուսային հավասարումները, և մաթեմատիկայում կարևորագույն բանաձևերից մեկն է համարվում: Մենք չենք խրախուսում բանաձևերի անգիր սովորելը, բայց այս մեկը շատ օգտակար է (կարծում ենք կկարողանաս ինչպես դուրս բերել, այնպես էլ օգտագործել այն, բայց դա՝ երկրորդ տեսանյութում):
Եթե ունես հետևյալ տեսքի քառակուսային հավասարում.

a x^{2} + b x + c = 0

ապա բանաձևը կօգնի քեզ գտնել քառակուսային հավասարման արմատները, այսինքն՝

x

-ի այն արժեքները, որոնք այդ հավասարման լուծում են:

Քառակուսային բանաձև

x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

Սա կարող է մի փոքր վախենալու թվալ, բայց դու շատ արագ կհարմարվես:
Վարժվիր օգտագործել բանաձևը:

Գործնական օրինակ

Առաջին հերթին պետք է բացահայտենք a-ի, b-ի և c-ի արժեքները (գործակիցներ): Առաջին քայլ. համոզվիր, որ ստորև բերված հավասարումը

a x^{2} + b x + c = 0

տեսքի է.

x^{2} + 4 x - 21 = 0

$a$ ‍-ն $x^{2}$ ‍-ու գործակիցն է, հետևաբար այստեղ $a = 1$ ‍ (ուշադրություն դարձրու, որ $a$ ‍-ն չի կարող լինել $0$ ‍, քանի որ $x^{2}$ ‍-ն է այս հավասարումը դարձնում քառակուսային):
$b$ ‍-ն $x$ ‍-ի գործակիցն է, հետևաբար այստեղ $b = 4$ ‍:
$c$ ‍-ն հաստատուն է, կամ ազատ անդամ, որը չի գտնվում որևէ $x$ ‍-ի մոտ: Այստեղ $c = - 21$ ‍:

Հետո

a

-ի,

b

-ի և

c

-ի արժեքները տեղադրում ենք բանաձևի մեջ:

x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot (- 21)}}{2}

Սրա լուծումն ունի հետևյալ տեսքը.

\begin{aligned} x & = \frac{- 4 \pm \sqrt{100}}{2} \\ = \frac{- 4 \pm 10}{2} \\ = - 2 \pm 5 \end{aligned}

Այսպիսով՝

x = 3

կամ

x = - 7

Ինչ է հուշում լուծումը

Հավասարման երկու լուծումները x-երի առանցքի հետ գրաֆիկի՝ պարաբոլի, հատման կետերն են:

x^{2} + 3 x - 4 = 0

հավասարման գրաֆիկն ունի հետևյալ տեսքը.

որտեղ քառակուսային հավասարման լուծման բանաձևով ստացված լուծումներն աբսցիսների առանցքի հետ հատման կետերի աբսցիսներն են՝

x = - 4

x = 1

Այժմ կարող ես քառակուսային հավասարումը լուծել՝ այն արտադրիչների վերլուծելով, լրիվ քառակուսի անջատելով կամ էլ գրաֆիկի օգնությամբ: Իսկ ինչո՞ւ է անհրաժեշտ իմանալ քառակուսային հավասարման լուծման բանաձևը:

Քանի որ երբեմն քառակուսային հավասարումը բավական բարդ է լինում լուծել առաջին օրինակի պես:

Գործնական օրինակ 2

Արի փորձենք լուծել հավասարում, որը դժվար է վերլուծվում արտադրիչների:

3 x^{2} + 6 x = - 10

Նախ արի բոլոր անդամները հավաքենք հավասարման ձախ կողմում:

\underset{a}{\underset{⏟}{(3)}} x^{2} + \underset{b}{\underset{⏟}{(6)}} x + \underset{c}{\underset{⏟}{(10)}} = 0

Ըստ բանաձևի՝

\begin{aligned} x & = \frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 10}}{2 \cdot 3} \\ = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 120}}{6} \\ = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 84}}{6} \end{aligned}

Դու չես կարող հաշվել բացասական թվի քառակուսի արմատն առանց կեղծ թվերի օգտագործման, հետևաբար կասենք, որ տրված հավասարումը չունի իրական լուծումներ: Դա նշանակում է, որ գոյություն չունի կետ, որում

y = 0

, այսինքն գրաֆիկը չունի x-երի առանցքի հետ հատման կետ: Կարող ենք համոզվել դրանում նաև նայելով գրաֆիկին.

Դու ծանոթացար քառակուսային հավասարման լուծման բանաձևի հիմունքներին:
Տեսանյութերում կան մի շարք գործնական օրինակներ:

Խորհուրդներ քառակուսային բանաձևը կիրառելու համար

Ուշադիր եղիր, որ հավասարումը գրված լինի ճիշտ տեսքով՝ $a x^{2} + b x + c = 0$ ‍:
Համոզվիր, որ արմատի տակ վերցրել ես ամբողջ $(b^{2} - 4 a c)$ ‍-ն, և $2 a$ ‍-ն վերևում գտնվող ամբողջական արտահայտության հայտարարն է:
Նայիր բացասական թվերին: $b^{2}$ ‍-ն չի կարող բացասական լինել, հետևաբար, եթե $b$ ‍-ն եղել է բացասական, ուշադիր եղիր, որ քառակուսի բարձրացնելիս այն փոխի իր նշանը, քանի որ և՛ դրական, և՛ բացասական թվերի քառակուսիները դրական թվեր են:
Չմոռանաս գրել $+ / -$ ‍ և միշտ լինել հետևողական, որպեսզի ԵՐԿՈՒ լուծում գտնես:
Եթե օգտվում ես հաշվիչից, պատասխանը կլորացրու մինչև պահանջվող թվանշանը: Եթե պահանջվում է ճշգրիտ պատասխան (ինչպես սովորաբար լինում է), և քառակուսի արմատը չի պարզեցվում, պատասխանը գրիր արմատներով: Օրինակ՝ $\frac{2 - \sqrt{10}}{2}$ ‍ և $\frac{2 + \sqrt{10}}{2}$ ‍:

Հաջորդ քայլ

Վարժվիր քառակուսային հավասարման լուծման բանաձևը կիրառելուն։.
Դիտիր օրինակ այս տեսանյութում.

«Քան» ակադեմիայի տեսաձայնագրող

Using the quadratic formulaՏեսնել տեսանյութի սղագրությունը

Քառակուսային բանաձևի դուրսբերում.

«Քան» ակադեմիայի տեսաձայնագրող

Proof of the quadratic formulaՏեսնել տեսանյութի սղագրությունը

Ուզո՞ւմ ես միանալ խոսակցությանը։

Մուտք գործել

Դասակարգել ըստ

Առայժմ հրապարակումներ չկան։

Անգլերեն հասկանո՞ւմ ես: Սեղմիր այստեղ և ավելի շատ քննարկումներ կգտնես «Քան» ակադեմիայի անգլերեն կայքում: