Հիմնական նյութ

Հանրահաշիվ I

Դասընթաց․ (Հանրահաշիվ I) > Բաժին 8

Դաս 2: Թվաբանական պրոգրեսիաների կառուցումը

Թվաբանական պրոգրեսիայի n-րդ անդամի բանաձևը

Սովորիր գտնել թվաբանական պրոգրեսիաների n-րդ անդամի բանաձևերը։ Օրինակ՝ գտիր 3, 5, 7, ... հաջորդականության n-րդ անդամի բանաձևը:

Նախքան այդ դասին անցնելը համոզվիր, որ ծանոթ ես թվաբանական պրոգրեսիաներին և նրանց բանաձևերին։

Ինչպե՞ս է թվաբանական պրոգրեսիայի n-րդ անդամի բանաձևը գործում

Ահա

3; 5; 7; …

հաջորդականության n-րդ անդամի բանաձևը.

$a_{n} = 3 + 2 (n - 1)$ ‍

Բանաձևում

n

-ը անդամի համարն է, իսկ

a_{n}

-ը՝

n^{}

-րդ անդամը։

Այս բանաձևը թույլ է տալիս մեզ պարզապես տեղադրել մեզ հետաքրքրող անդամի համարը և ստանալ վերջինիս արժեքը։

Օրինակ՝ հինգերորդ անդամը գտնելու համար պետք է n-րդ անդամի բանաձևի մեջ տեղադրել

n = 5

արժեքը։

$\begin{aligned} a_{5} & = 3 + 2 (5 - 1) \\ = 3 + 2 \cdot 4 \\ = 3 + 8 \\ = 11 \end{aligned}$ ‍

Հիանալի է։ Այն

3; 5; 7; …

հաջորդականության հինգերորդ անդամն է։

Ստուգիր, թե որքանով ես հասկացել

1) Գտիր $b_{10}$ ‍-ը տրված հաջորդականության մեջ․ $b_{n} = - 5 + 9 (n - 1)$ ‍։

b_{10} =

[Օգնության կարիք ունեմ:]

n-րդ անդամի բանաձևերի ստացում

Դիտարկենք

5; 8; 11; …

թվաբանական պրոգրեսիան։ Հաջորդականության առաջին անդամն է

5

, իսկ տարբերությունը՝

3

Հաջորդականության ցանկացած անդամ կարող ենք ստանալ՝ առաջին անդամին (

5

) հերթականությամբ գումարելով տարբերությունը (

3

)։ Նայիր հետևյալ հաշվարկները․

$n$ ‍	$n^{}$ ‍-րդ անդամի հաշվում
$1$ ‍	$5$ ‍	$= 5 + 0 \cdot 3 = 5$ ‍
$2$ ‍	$5 + 3$ ‍	$= 5 + 1 \cdot 3 = 8$ ‍
$3$ ‍	$5 + 3 + 3$ ‍	$= 5 + 2 \cdot 3 = 11$ ‍
$4$ ‍	$5 + 3 + 3 + 3$ ‍	$= 5 + 3 \cdot 3 = 14$ ‍
$5$ ‍	$5 + 3 + 3 + 3 + 3$ ‍	$= 5 + 4 \cdot 3 = 17$ ‍

Աղյուսակից երևում է, որ

n^{}

-րդ անդամը (որտեղ

n

-ը ցանկացած անդամի համարն է) կարող ենք գտնել՝ վերցնելով առաջին անդամը (

5

) և գումարելով տարբերությունը (

3

)

n - 1

անգամ։ Նշվածը հանրահաշվորեն կարող ենք ներկայացնել հետևյալ ձևով․

5 + 3 (n - 1)

Ընդհանուր առմամբ, սա թվաբանական պրոգրեսիայի n-րդ անդամի բանաձևն է, որի առաջին անդամը $A$ ‍ է, իսկ տարբերությունը՝ $B$ ‍:

$A + B (n - 1)$ ‍

Ստուգիր գիտելիքներդ

2) Գրիր $2; 9; 16; …$ ‍ հաջորդականության անալիտիկ բանաձևը:

d_{n} =

[Օգնության կարիք ունեմ:]

3) Գրիր $9; 5; 1; …$ ‍ հաջորդականության n-րդ անդամի բանաձևը։

e_{n} =

[Օգնության կարիք ունեմ:]

4) Հաջորդականության n-րդ անդամի բանաձևն է

f (n) = - 6 + 2 (n - 1)

Ո՞րն է հաջորդականության առաջին անդամը։

Ո՞րն է տարբերությունը։

[Օգնության կարիք ունեմ:]

n-րդ անդամի բանաձևի համարժեք տեսքերը

n-րդ անդամի բանաձևերը կարելի է ներկայացնել մի քանի ձևով։

Օրինակ՝ նշվածները

3; 5; 7; …

հաջորդականության n-րդ անդամի բանաձևերն են․

$3 + 2 (n - 1)$ ‍ (սա ստանդարտ բանաձևն է)
$1 + 2 n$ ‍
$5 + 2 (n - 2)$ ‍

Բանաձևերը կարող ենք տարբեր տեսք ունենալ, սակայն էականն այստեղ այն է, որ կարող ենք տեղադրել

n

-ի արժեքը և ստանալ

n^{}

-րդ անդամը (փորձիր և համոզվիր, որ մնացած բանաձևերը ևս ճշմարիտ են)։

Միևնույն հաջորդականությունը նկարագրող n-րդ անդամի բանաձևերը կոչվում են համարժեք բանաձևեր։

Թյուր ըմբռնում

Թվաբանական պրոգրեսիան կարող է ունենալ տարբեր համարժեք բանաձևեր, սակայն կարևոր է հիշել, որ միայն ստանդարտ տեսքում են տրված առաջին անդամը և տարբերությունը։

Օրինակ՝