Հիմնական նյութ

Դասընթաց․ (Հանրահաշիվ I) > Բաժին 8

Դաս 2: Թվաբանական պրոգրեսիաների կառուցումը

Թվաբանական պրոգրեսիայի n-րդ անդամի բանաձևը

Սովորիր գտնել թվաբանական պրոգրեսիաների n-րդ անդամի բանաձևերը։ Օրինակ՝ գտիր 3, 5, 7, ... հաջորդականության n-րդ անդամի բանաձևը:

Նախքան այդ դասին անցնելը համոզվիր, որ ծանոթ ես թվաբանական պրոգրեսիաներին և նրանց բանաձևերին։

Ինչպե՞ս է թվաբանական պրոգրեսիայի n-րդ անդամի բանաձևը գործում

Ահա

3; 5; 7; …

հաջորդականության n-րդ անդամի բանաձևը.

$a_{n} = 3 + 2 (n - 1)$ ‍

Բանաձևում

n

-ը անդամի համարն է, իսկ

a_{n}

-ը՝

n^{}

-րդ անդամը։

Այս բանաձևը թույլ է տալիս մեզ պարզապես տեղադրել մեզ հետաքրքրող անդամի համարը և ստանալ վերջինիս արժեքը։

Օրինակ՝ հինգերորդ անդամը գտնելու համար պետք է n-րդ անդամի բանաձևի մեջ տեղադրել

n = 5

արժեքը։

$\begin{aligned} a_{5} & = 3 + 2 (5 - 1) \\ = 3 + 2 \cdot 4 \\ = 3 + 8 \\ = 11 \end{aligned}$ ‍

Հիանալի է։ Այն

3; 5; 7; …

հաջորդականության հինգերորդ անդամն է։

Ստուգիր, թե որքանով ես հասկացել

1) Գտիր $b_{10}$ ‍-ը տրված հաջորդականության մեջ․ $b_{n} = - 5 + 9 (n - 1)$ ‍։

b_{10} =

n-րդ անդամի բանաձևերի ստացում

Դիտարկենք

5; 8; 11; …

թվաբանական պրոգրեսիան։ Հաջորդականության առաջին անդամն է

5

, իսկ տարբերությունը՝

3

Հաջորդականության ցանկացած անդամ կարող ենք ստանալ՝ առաջին անդամին (

5

) հերթականությամբ գումարելով տարբերությունը (

3

)։ Նայիր հետևյալ հաշվարկները․

$n$ ‍	$n^{}$ ‍-րդ անդամի հաշվում
$1$ ‍	$5$ ‍	$= 5 + 0 \cdot 3 = 5$ ‍
$2$ ‍	$5 + 3$ ‍	$= 5 + 1 \cdot 3 = 8$ ‍
$3$ ‍	$5 + 3 + 3$ ‍	$= 5 + 2 \cdot 3 = 11$ ‍
$4$ ‍	$5 + 3 + 3 + 3$ ‍	$= 5 + 3 \cdot 3 = 14$ ‍
$5$ ‍	$5 + 3 + 3 + 3 + 3$ ‍	$= 5 + 4 \cdot 3 = 17$ ‍

Աղյուսակից երևում է, որ

n^{}

-րդ անդամը (որտեղ

n

-ը ցանկացած անդամի համարն է) կարող ենք գտնել՝ վերցնելով առաջին անդամը (

5

) և գումարելով տարբերությունը (

3

)

n - 1

անգամ։ Նշվածը հանրահաշվորեն կարող ենք ներկայացնել հետևյալ ձևով․

5 + 3 (n - 1)

Ընդհանուր առմամբ, սա թվաբանական պրոգրեսիայի n-րդ անդամի բանաձևն է, որի առաջին անդամը $A$ ‍ է, իսկ տարբերությունը՝ $B$ ‍:

$A + B (n - 1)$ ‍

Ստուգիր գիտելիքներդ

2) Գրիր $2; 9; 16; …$ ‍ հաջորդականության անալիտիկ բանաձևը:

d_{n} =

3) Գրիր $9; 5; 1; …$ ‍ հաջորդականության n-րդ անդամի բանաձևը։

e_{n} =

4) Հաջորդականության n-րդ անդամի բանաձևն է

f (n) = - 6 + 2 (n - 1)

Ո՞րն է հաջորդականության առաջին անդամը։

Ո՞րն է տարբերությունը։

n-րդ անդամի բանաձևի համարժեք տեսքերը

n-րդ անդամի բանաձևերը կարելի է ներկայացնել մի քանի ձևով։

Օրինակ՝ նշվածները

3; 5; 7; …

հաջորդականության n-րդ անդամի բանաձևերն են․

$3 + 2 (n - 1)$ ‍ (սա ստանդարտ բանաձևն է)
$1 + 2 n$ ‍
$5 + 2 (n - 2)$ ‍

Բանաձևերը կարող ենք տարբեր տեսք ունենալ, սակայն էականն այստեղ այն է, որ կարող ենք տեղադրել

n

-ի արժեքը և ստանալ

n^{}

-րդ անդամը (փորձիր և համոզվիր, որ մնացած բանաձևերը ևս ճշմարիտ են)։

Միևնույն հաջորդականությունը նկարագրող n-րդ անդամի բանաձևերը կոչվում են համարժեք բանաձևեր։

Թյուր ըմբռնում

Թվաբանական պրոգրեսիան կարող է ունենալ տարբեր համարժեք բանաձևեր, սակայն կարևոր է հիշել, որ միայն ստանդարտ տեսքում են տրված առաջին անդամը և տարբերությունը։

Օրինակ՝

2; 8,; 14; …

հաջորդականության առաջին անդամը

2

է, իսկ տարբերությունը՝

6

2 + 6 (n - 1)

n-րդ անդամի բանաձևը նկարագրում է նշված հաջորդականությունը, իսկ

2 + 6 n

բանաձևը՝ մեկ այլ հաջորդականություն։

$n$ ‍	$2 + 6 (n - 1)$ ‍	$2 + 6 n$ ‍
$1$ ‍	$2$ ‍	$8$ ‍
$2$ ‍	$8$ ‍	$14$ ‍
$3$ ‍	$14$ ‍	$20$ ‍

Աղյուսակից կարող ենք տեսնել, որ

2 + 6 (n - 1)

բանաձևը նկարագրում է

2; 8; 14; …

հաջորդականությունը, մինչդեռ

2 + 6 n

բանաձևը՝

8; 14; 20; . .

հաջորդականությունը։

Որպեսզի

2 + 6 (n - 1)

բանաձևը բերենք

A + B n

համարժեք տեսքի, կարող ենք բացել փակագծերը և պարզեցնել․

$\begin{aligned} 2 + 6 (n - 1) \\ = 2 + 6 n - 6 \\ = - 4 + 6 n \end{aligned}$ ‍

Որոշ մարդիկ նախընտրում են

- 4 + 6 n

բանաձևը, քան

2 + 6 (n - 1)

համարժեք բանաձևը, քանի որ այն ավելի կարճ է։ Սակայն պետք է նկատի ունենանք, որ երկար բանաձևը մեզ տալիս է առաջին անդամը։

Ստուգիր, թե որքանով ես հասկացել

5) Գտիր $12; 7; 2; …$ ‍ հաջորդականության բոլոր ճիշտ n-րդ անդամի բանաձևերը:

Առաջին անդամն է $12$ ‍
Տարբերությունն է $- 5$ ‍

Հետևաբար, ճիշտ n-րդ անդամի բանաձևն է՝

12 - 5 (n - 1)

Այս բանաձևը կարող ենք պարզեցնել հետևյալ ձևով․

$\begin{aligned} 12 - 5 (n - 1) \\ = 12 - 5 n + 5 \\ = 17 - 5 n \end{aligned}$ ‍

Հետևաբար, այն նույնպես ճիշտ բանաձև է։

Եզրակացություն՝ ճիշտ բանաձևերն են․

$17 - 5 n$ ‍
$12 - 5 (n - 1)$ ‍

Բարդ խնդիրներ

6*) Գտիր $199; 196; 193; …$ ‍ թվաբանական պրոգրեսիայի $124^{}$ ‍-րդ անդամը:

Որպեսզի կարողանանք պատասխանել հարցին, պետք է նախ գտնենք հաջորդականության n-րդ անդամի բանաձևը։

Քանի որ արդեն ունենք n-րդ անդամի բանաձևը, կարող ենք

n = 124

արժեքը տեղադրել բանաձևի մեջ՝ պատասխանը գտնելու համար։

Առաջին անդամն է $199$ ‍
Տարբերությունն է $- 3$ ‍

Հետևաբար, ճիշտ n-րդ անդամի բանաձևն է՝

g (n) = 199 - 3 (n - 1)

Այժմ կարող ենք

n = 124

արժեքը տեղադրել բանաձևի մեջ։

$\begin{aligned} g (124) & = 199 - 3 (124 - 1) \\ = 199 - 3 \cdot 123 \\ = 199 - 369 \\ = - 170 \end{aligned}$ ‍

Եզրակացություն՝ հաջորդականության $124^{}$ ‍-րդ անդամն է $- 170$ ‍։

7*) Թվաբանական պրոգրեսիայի առաջին անդամն է

5

, իսկ տասներորդ անդամը՝

59

Ո՞րն է տարբերությունը։

Արի ներկայացնենք տարբերությունը

B

-ի միջոցով։

Առաջին անդամն է $5$ ‍
Տարբերությունն է $B$ ‍

Հետևաբար, հաջորդականության n-րդ անդամի բանաձևն է՝

h (n) = 5 + B (n - 1)

Տրված է նաև, որ

h (10) = 59

։ Այն կարող ենք տեղադրել բանաձևի մեջ, որպեսզի ստանանք մի հավասարում, որտեղ միակ անհայտը

B

-ն է։

\begin{aligned} h (n) & = 5 + B (n - 1) \\ 59 & = 5 + B (10 - 1) & Տեղադրիր h (10) = 59 \\ 54 & = 9 B \\ 6 & = B \end{aligned}

Հետևաբար, հաջորդականության n-րդ անդամի բանաձևն է՝

5 + 6 (n - 1)

, իսկ տարբերությունը՝ $6$ ‍։

Ուզո՞ւմ ես միանալ խոսակցությանը։

Մուտք գործել

Դասակարգել ըստ

Առայժմ հրապարակումներ չկան։

Անգլերեն հասկանո՞ւմ ես: Սեղմիր այստեղ և ավելի շատ քննարկումներ կգտնես «Քան» ակադեմիայի անգլերեն կայքում: