If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Եթե գտնվում ես վեբ զտիչի հետևում, խնդրում ենք համոզվել, որ *.kastatic.org և *.kasandbox.org տիրույթները հանված են արգելափակումից։

Հիմնական նյութ

Հանրահաշիվ I

Դասընթաց․ (Հանրահաշիվ I)  > Բաժին 8

Դաս 1: Թվաբանական պրոգրեսիաներ. ներածություն
Մաթեմատիկա
Հանրահաշիվ I
Հաջորդականություններ
Թվաբանական պրոգրեսիաներ. ներածություն
© 2023 Khan AcademyՕգտագործման պայմաններԳաղտնիության քաղաքականությունՔուքի (Cookie) ծանուցում

Թվաբանական պրոգրեսիայի բանաձևեր. ներածություն

«Google Classroom»
Ծանոթացիր թվաբանական պրոգրեսիայի n-րդ անդամի բանաձևի և ռեկուրենտ (անդրադարձ) բանաձևի հետ:
Նախքան այս թեմային անցնելը վստահ եղիր, որ գիտես թվաբանական պրոգրեսիաների հիմունքները և ունես որոշակի փորձառություն՝ հաշվելու ֆունկցիաների արժեքները և գտնելու ֆունկցիայի որոշման տիրույթը։

Ինչ է բանաձևը

Մենք սովոր ենք թվաբանական պրոգրեսիաները նկարագրել այսպես՝
3, comma, 5, comma, 7, comma, point, point, point
Սակայն կան նաև այլ ձևեր։ Այս դասի ընթացքում կսովորենք թվաբանական պրոգրեսիաները ներկայացնելու ևս երկու ձև՝ ռեկուրենտ (անդրադարձ) բանաձև և n-րդ անդամի բանաձև։ Բանաձևերն օգնում են մեզ գտնել հաջորդականության ցանկացած անդամ։
Ընդհանուր առմամբ, բանաձևերում օգտագործվում է n-ը, որը ցույց է տալիս տվյալ անդամի համարը, ինչպես նաև a, start subscript, n, end subscript-ը (կամ որ նույնն է՝ a, left parenthesis, n, right parenthesis-ը), որը ցույց է տալիս հաջորդականության n, start superscript, start text, end text, end superscript-րդ անդամը։ Օրինակ՝ տրված են թվաբանական պրոգրեսիայի առաջին մի քանի անդամները․ 3; 5; 7; ...
na, start subscript, n, end subscript
(Անդամի համարը)(n, start superscript, start text, end text, end superscript-րդ անդամը)
13
25
37
Վերևում արդեն նշել ենք, որ բանաձևերը մեզ օգնում են գտնել հաջորդականության ցանկացած անդամ։ Այժմ նշվածը կարող ենք վերաձևակերպել հետևյալ կերպ․ բանաձևերը հուշում են՝ ինչպես գտնել a, start subscript, n, end subscript-ը ցանկացած հնարավոր n-ի համար։

Ստուգիր, թե որքանով ես հասկացել

1) Գտիր a, start subscript, 4, end subscript-ը 3; 5; 7; ... հաջորդականության մեջ։
a, start subscript, 4, end subscript, equals
  • Քո պատասխանը պետք է լինի
  • ամբողջ թիվ, օրինակ՝ 6
  • պարզեցված կանոնավոր կոտորակ, օրինակ՝ 3, slash, 5
  • պարզեցված անկանոն կոտորակ, օրինակ՝ 7, slash, 4
  • խառը թիվ, օրինակ՝ 1, space, 3, slash, 4
  • վերջավոր տասնորդական կոտորակ, օրինակ 0, comma, 75
  • Պիի բազմապատիկ, օրինակ՝ 12, space, start text, պ, ի, end text կամ 2, slash, 3, space, start text, պ, ի, end text

2) Ցանկացած n-ի դեպքում ի՞նչ է նշանակում a, start subscript, n, minus, 1, end subscript գրառումը։
Ընտրիր ճիշտ պատասխանը։

Թվաբանական պրոգրեսիայի անդրադարձ (ռեկուրենտ) բանաձևը

Ռեկուրենտ բանաձևերը մեզ տալիս են երկու տեղեկություն․
  1. Հաջորդականության առաջին անդամը
  2. Այն կանոնը, որով կարելի է գտնել հաջորդականության ցանկացած անդամը՝ նրա նախորդ անդամի միջոցով։
Տրված է 3, ;, 5, ;, 7, ;, point, point, point հաջորդականության ռեկուրենտ բանաձևը՝ յուրաքանչյուր մասի մեկնաբանությամբ։
{a1=3←Առաջին անդամն է երեքan=an−1+2←Նախորդ անդամին գումարիր երկու \begin{cases}a_1 = 3&\leftarrow\gray{\text{Առաջին անդամն է երեք}}\\\\ a_n = a_{n-1}+2&\leftarrow\gray{\text{Նախորդ անդամին գումարիր երկու }} \end{cases}
Հինգերորդ անդամը գտնելու համար պետք է մեկ առ մեկ գտնենք հաջորդականության անդամները․
a, start subscript, n, end subscriptequals, a, start subscript, n, minus, 1, end subscript, plus, 2
a, start subscript, 1, end subscriptequals, start color #11accd, 3, end color #11accd
a, start subscript, 2, end subscriptequals, a, start subscript, 1, end subscript, plus, 2equals, start color #11accd, 3, end color #11accd, plus, 2equals, start color #aa87ff, 5, end color #aa87ff
a, start subscript, 3, end subscriptequals, a, start subscript, 2, end subscript, plus, 2equals, start color #aa87ff, 5, end color #aa87ff, plus, 2equals, start color #1fab54, 7, end color #1fab54
a, start subscript, 4, end subscriptequals, a, start subscript, 3, end subscript, plus, 2equals, start color #1fab54, 7, end color #1fab54, plus, 2equals, start color #e07d10, 9, end color #e07d10
a, start subscript, 5, end subscriptequals, a, start subscript, 4, end subscript, plus, 2equals, start color #e07d10, 9, end color #e07d10, plus, 2equals, 11
Հիանալի է։ Այս բանաձևի միջոցով ստանում ենք նույն հաջորդականությունը, ինչպես որ նկարագրված էր՝ 3; 5; 7; ...

Ստուգիր, թե որքանով ես հասկացել

Այժմ քո հերթն է գտնել հաջորդականության անդամները անդրադարձ (ռեկուրենտ) բանաձևերի օգնությամբ։
Այնպես, ինչպես օգտագործում էինք a, left parenthesis, n, right parenthesis-ը՝ ներկայացնելու 3; 5; 7;... հաջորդականության n, minus, start text, ր, դ, end text անդամը, կարող ենք կիրառել այլ տառեր այլ հաջորդականությունները ներկայացնելու համար։ Օրինակ՝ b, left parenthesis, n, right parenthesis, c, left parenthesis, n, right parenthesis կամ d, left parenthesis, n, right parenthesis։
1) Գտիր b, start subscript, 4, end subscript-ը տրված հաջորդականության մեջ․ {b1=−5bn=bn−1+9\begin{cases}b_1=-5\\\\ b_n=b_{n-1}+9 \end{cases}
b, start subscript, 4, end subscript, equals
  • Քո պատասխանը պետք է լինի
  • ամբողջ թիվ, օրինակ՝ 6
  • պարզեցված կանոնավոր կոտորակ, օրինակ՝ 3, slash, 5
  • պարզեցված անկանոն կոտորակ, օրինակ՝ 7, slash, 4
  • խառը թիվ, օրինակ՝ 1, space, 3, slash, 4
  • վերջավոր տասնորդական կոտորակ, օրինակ 0, comma, 75
  • Պիի բազմապատիկ, օրինակ՝ 12, space, start text, պ, ի, end text կամ 2, slash, 3, space, start text, պ, ի, end text

4) Գտիր c, start subscript, 3, end subscript-ը տրված հաջորդականության մեջ․ {c1=20cn=cn−1−17\begin{cases}c_1=20\\\\ c_n=c_{n-1}-17 \end{cases}
c, start subscript, 3, end subscript, equals
  • Քո պատասխանը պետք է լինի
  • ամբողջ թիվ, օրինակ՝ 6
  • պարզեցված կանոնավոր կոտորակ, օրինակ՝ 3, slash, 5
  • պարզեցված անկանոն կոտորակ, օրինակ՝ 7, slash, 4
  • խառը թիվ, օրինակ՝ 1, space, 3, slash, 4
  • վերջավոր տասնորդական կոտորակ, օրինակ 0, comma, 75
  • Պիի բազմապատիկ, օրինակ՝ 12, space, start text, պ, ի, end text կամ 2, slash, 3, space, start text, պ, ի, end text

5) Գտիր d, start subscript, 5, end subscript-ը տրված հաջորդականության մեջ․ {d1=2dn=d(n−1)+0,4\begin{cases}d_1=2\\\\ d_n=d(n-1)+0,4 \end{cases}
d, start subscript, 5, end subscript, equals
  • Քո պատասխանը պետք է լինի
  • ամբողջ թիվ, օրինակ՝ 6
  • պարզեցված կանոնավոր կոտորակ, օրինակ՝ 3, slash, 5
  • պարզեցված անկանոն կոտորակ, օրինակ՝ 7, slash, 4
  • խառը թիվ, օրինակ՝ 1, space, 3, slash, 4
  • վերջավոր տասնորդական կոտորակ, օրինակ 0, comma, 75
  • Պիի բազմապատիկ, օրինակ՝ 12, space, start text, պ, ի, end text կամ 2, slash, 3, space, start text, պ, ի, end text

Թվաբանական պրոգրեսիաjի n-րդ անդամի բանաձևը

Ահա 3; 5; 7; ... հաջորդականության n-րդ անդամի բանաձևը.
a, start subscript, n, end subscript, equals, 3, plus, 2, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis
Այս բանաձևը թույլ է տալիս պարզապես տեղադրել մեզ հետաքրքրող անդամի համարը և ստանալ վերջինիս արժեքը։
Օրինակ՝ հինգերորդ անդամը գտնելու համար պետք է n-րդ անդամի բանաձևի մեջ տեղադրել n, equals, 5 արժեքը։
a5=3+2(5−1)=3+2⋅4=3+8=11\begin{aligned}a_\greenE 5&=3+2(\greenE 5-1)\\\\ &=3+2\cdot4\\\\ &=3+8\\\\ &=11\end{aligned}
Ինչպես և նախկինում, ստանում ենք նույն արդյունքը։

Ստուգիր, թե որքանով ես հասկացել

1) Գտիր b, start subscript, 10, end subscript-ը տրված հաջորդականության մեջ․ b, start subscript, n, end subscript, equals, minus, 5, plus, 9, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis։
b, start subscript, 10, end subscript, equals
  • Քո պատասխանը պետք է լինի
  • ամբողջ թիվ, օրինակ՝ 6
  • պարզեցված կանոնավոր կոտորակ, օրինակ՝ 3, slash, 5
  • պարզեցված անկանոն կոտորակ, օրինակ՝ 7, slash, 4
  • խառը թիվ, օրինակ՝ 1, space, 3, slash, 4
  • վերջավոր տասնորդական կոտորակ, օրինակ 0, comma, 75
  • Պիի բազմապատիկ, օրինակ՝ 12, space, start text, պ, ի, end text կամ 2, slash, 3, space, start text, պ, ի, end text

7) Գտիր c, start subscript, 8, end subscript-ը c, start subscript, n, end subscript, equals, 20, minus, 17, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis բանաձևով տրված հաջորդականության մեջ։
c, start subscript, 8, end subscript, equals
  • Քո պատասխանը պետք է լինի
  • ամբողջ թիվ, օրինակ՝ 6
  • պարզեցված կանոնավոր կոտորակ, օրինակ՝ 3, slash, 5
  • պարզեցված անկանոն կոտորակ, օրինակ՝ 7, slash, 4
  • խառը թիվ, օրինակ՝ 1, space, 3, slash, 4
  • վերջավոր տասնորդական կոտորակ, օրինակ 0, comma, 75
  • Պիի բազմապատիկ, օրինակ՝ 12, space, start text, պ, ի, end text կամ 2, slash, 3, space, start text, պ, ի, end text

8) Գտիր d, start subscript, 21, end subscript-ը տրված հաջորդականության մեջ․ d, start subscript, n, end subscript, equals, 2, plus, 0, comma, 4, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis։
d, start subscript, 21, end subscript, equals
  • Քո պատասխանը պետք է լինի
  • ամբողջ թիվ, օրինակ՝ 6
  • պարզեցված կանոնավոր կոտորակ, օրինակ՝ 3, slash, 5
  • պարզեցված անկանոն կոտորակ, օրինակ՝ 7, slash, 4
  • խառը թիվ, օրինակ՝ 1, space, 3, slash, 4
  • վերջավոր տասնորդական կոտորակ, օրինակ 0, comma, 75
  • Պիի բազմապատիկ, օրինակ՝ 12, space, start text, պ, ի, end text կամ 2, slash, 3, space, start text, պ, ի, end text

Հաջորդականությունները ֆունկցիաներ են

Ուշադրություն դարձրու, որ այս դասում օգտագործված բանաձևերը գործում են ֆունկցիաների նման։ Տեղադրում ենք անդամի համարը՝ n-ը և բանաձևի միջոցով ստանում ենք a, start subscript, n, end subscript (կամ որ նույնն է՝ a, left parenthesis, n, right parenthesis) անդամի արժեքը։
Հաջորդականությունները սահմանվում են որպես ֆունկցիաներ։ Այնուամենայնիվ, n-ը չի կարող լինել ցանկացած իրական թիվ։ Չկա այնպիսի հասկացություն, ինչպես հաջորդականության մինուս հինգերորդ անդամ կամ էլ 0,4-րդ անդամ։
Սա նշանակում է, որ հաջորդականությունների որոշման տիրույթը, որը արգումենտի բոլոր թույլատրելի արժեքների բազմությունն է, հանդիսանում է դրական ամբողջ (բնական) թվերի բազմությունը։

Մի քանի խոսք նշագրման մասին

Մենք գրեցինք a, start subscript, 4, end subscript, որպեսզի ներկայացնենք չորրորդ անդամը, սակայն հաճախ այն գրում ենք այսպես՝ a, left parenthesis, 4, right parenthesis։
Երկու գրառումներն էլ կիրառելի են։ a, left parenthesis, 4, right parenthesis գրառումն ընդգծում է, որ հաջորդականությունները ևս ֆունկցիաներ են։

Հարց մտորելու համար

9) Ո՞ր բանաձևն ավելի օգտակար կլինի, որպեսզի գտնենք թվաբանական պրոգրեսիայի 100-րդ անդամը։
Ընտրիր ճիշտ պատասխանը։

Բարդ խնդիր

10) Թվաբանական պրոգրեսիայի n-րդ անդամի բանաձևն է f, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, 3, minus, 4, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis։
Հաջորդականության ո՞ր անդամն է հավասար -65-ի։
Անդամի համարը՝
  • Քո պատասխանը պետք է լինի
  • ամբողջ թիվ, օրինակ՝ 6
  • պարզեցված կանոնավոր կոտորակ, օրինակ՝ 3, slash, 5
  • պարզեցված անկանոն կոտորակ, օրինակ՝ 7, slash, 4
  • խառը թիվ, օրինակ՝ 1, space, 3, slash, 4
  • վերջավոր տասնորդական կոտորակ, օրինակ 0, comma, 75
  • Պիի բազմապատիկ, օրինակ՝ 12, space, start text, պ, ի, end text կամ 2, slash, 3, space, start text, պ, ի, end text

Ուզո՞ւմ ես միանալ խոսակցությանը։

Մուտք գործել
Առայժմ հրապարակումներ չկան։
Անգլերեն հասկանո՞ւմ ես: Սեղմիր այստեղ և ավելի շատ քննարկումներ կգտնես «Քան» ակադեմիայի անգլերեն կայքում: