Հիմնական նյութ

Հանրահաշիվ I

Դասընթաց․ (Հանրահաշիվ I) > Բաժին 8

Դաս 1: Թվաբանական պրոգրեսիաներ. ներածություն

Թվաբանական պրոգրեսիայի բանաձևեր. ներածություն

Ծանոթացիր թվաբանական պրոգրեսիայի n-րդ անդամի բանաձևի և ռեկուրենտ (անդրադարձ) բանաձևի հետ:

Նախքան այս թեմային անցնելը վստահ եղիր, որ գիտես թվաբանական պրոգրեսիաների հիմունքները և ունես որոշակի փորձառություն՝ հաշվելու ֆունկցիաների արժեքները և գտնելու ֆունկցիայի որոշման տիրույթը։

Ինչ է բանաձևը

Մենք սովոր ենք թվաբանական պրոգրեսիաները նկարագրել այսպես՝

3, 5, 7, …

Սակայն կան նաև այլ ձևեր։ Այս դասի ընթացքում կսովորենք թվաբանական պրոգրեսիաները ներկայացնելու ևս երկու ձև՝ ռեկուրենտ (անդրադարձ) բանաձև և n-րդ անդամի բանաձև։ Բանաձևերն օգնում են մեզ գտնել հաջորդականության ցանկացած անդամ։

Ընդհանուր առմամբ, բանաձևերում օգտագործվում է

n

-ը, որը ցույց է տալիս տվյալ անդամի համարը, ինչպես նաև

a_{n}

-ը (կամ որ նույնն է՝

a (n)

-ը), որը ցույց է տալիս հաջորդականության

n^{}

-րդ անդամը։ Օրինակ՝ տրված են թվաբանական պրոգրեսիայի առաջին մի քանի անդամները․ 3; 5; 7; ...

$n$ ‍	$a_{n}$ ‍
(Անդամի համարը)	( $n^{}$ ‍-րդ անդամը)
$1$ ‍	$3$ ‍
$2$ ‍	$5$ ‍
$3$ ‍	$7$ ‍

Վերևում արդեն նշել ենք, որ բանաձևերը մեզ օգնում են գտնել հաջորդականության ցանկացած անդամ։ Այժմ նշվածը կարող ենք վերաձևակերպել հետևյալ կերպ․ բանաձևերը հուշում են՝ ինչպես գտնել $a_{n}$ ‍-ը ցանկացած հնարավոր $n$ ‍-ի համար։

Ստուգիր, թե որքանով ես հասկացել

1) Գտիր $a_{4}$ ‍-ը 3; 5; 7; ... հաջորդականության մեջ։

a_{4} =

[Օգնության կարիք ունեմ:]

2) Ցանկացած $n$ ‍-ի դեպքում ի՞նչ է նշանակում $a_{n - 1}$ ‍ գրառումը։

[Օգնության կարիք ունեմ:]

Թվաբանական պրոգրեսիայի անդրադարձ (ռեկուրենտ) բանաձևը

Ռեկուրենտ բանաձևերը մեզ տալիս են երկու տեղեկություն․

Հաջորդականության առաջին անդամը
Այն կանոնը, որով կարելի է գտնել հաջորդականության ցանկացած անդամը՝ նրա նախորդ անդամի միջոցով։

Տրված է

3; 5; 7; …

հաջորդականության ռեկուրենտ բանաձևը՝ յուրաքանչյուր մասի մեկնաբանությամբ։

{\begin{cases} a_{1} = 3 & \leftarrow Առաջին անդամն է երեք \\ a_{n} = a_{n - 1} + 2 & \leftarrow Նախորդ անդամին գումարիր երկու \end{cases}

Հինգերորդ անդամը գտնելու համար պետք է մեկ առ մեկ գտնենք հաջորդականության անդամները․

$a_{n}$ ‍	$= a_{n - 1} + 2$ ‍
$a_{1}$ ‍			$= 3$ ‍
$a_{2}$ ‍	$= a_{1} + 2$ ‍	$= 3 + 2$ ‍	$= 5$ ‍
$a_{3}$ ‍	$= a_{2} + 2$ ‍	$= 5 + 2$ ‍	$= 7$ ‍
$a_{4}$ ‍	$= a_{3} + 2$ ‍	$= 7 + 2$ ‍	$= 9$ ‍
$a_{5}$ ‍	$= a_{4} + 2$ ‍	$= 9 + 2$ ‍	$= 11$ ‍

Հիանալի է։ Այս բանաձևի միջոցով ստանում ենք նույն հաջորդականությունը, ինչպես որ նկարագրված էր՝ 3; 5; 7; ...

Ստուգիր, թե որքանով ես հասկացել

Այժմ քո հերթն է գտնել հաջորդականության անդամները անդրադարձ (ռեկուրենտ) բանաձևերի օգնությամբ։

Այնպես, ինչպես օգտագործում էինք

a (n)

-ը՝ ներկայացնելու 3; 5; 7;... հաջորդականության

n - րդ

անդամը, կարող ենք կիրառել այլ տառեր այլ հաջորդականությունները ներկայացնելու համար։ Օրինակ՝

b (n)

c (n)

կամ

d (n)

1) Գտիր $b_{4}$ ‍-ը տրված հաջորդականության մեջ․

{\begin{cases} b_{1} = - 5 \\ b_{n} = b_{n - 1} + 9 \end{cases}

b_{4} =

[Օգնության կարիք ունեմ:]

4) Գտիր $c_{3}$ ‍-ը տրված հաջորդականության մեջ․

{\begin{cases} c_{1} = 20 \\ c_{n} = c_{n - 1} - 17 \end{cases}

c_{3} =

[Օգնության կարիք ունեմ:]

5) Գտիր $d_{5}$ ‍-ը տրված հաջորդականության մեջ․

{\begin{cases} d_{1} = 2 \\ d_{n} = d (n - 1) + 0, 4 \end{cases}

d_{5} =

[Օգնության կարիք ունեմ:]

Թվաբանական պրոգրեսիաjի n-րդ անդամի բանաձևը

Ահա 3; 5; 7; ... հաջորդականության n-րդ անդամի բանաձևը.

a_{n} = 3 + 2 (n - 1)

Այս բանաձևը թույլ է տալիս պարզապես տեղադրել մեզ հետաքրքրող անդամի համարը և ստանալ վերջինիս արժեքը։

Օրինակ՝ հինգերորդ անդամը գտնելու համար պետք է n-րդ անդամի բանաձևի մեջ տեղադրել

n = 5

արժեքը։

\begin{aligned} a_{5} & = 3 + 2 (5 - 1) \\ = 3 + 2 \cdot 4 \\ = 3 + 8 \\ = 11 \end{aligned}

Ինչպես և նախկինում, ստանում ենք նույն արդյունքը։

Ստուգիր, թե որքանով ես հասկացել

1) Գտիր $b_{10}$ ‍-ը տրված հաջորդականության մեջ․ $b_{n} = - 5 + 9 (n - 1)$ ‍։

b_{10} =

[Օգնության կարիք ունեմ:]

7) Գտիր $c_{8}$ ‍-ը $c_{n} = 20 - 17 (n - 1)$ ‍ բանաձևով տրված հաջորդականության մեջ։

c_{8} =

[Օգնության կարիք ունեմ:]

8) Գտիր $d_{21}$ ‍-ը տրված հաջորդականության մեջ․ $d_{n} = 2 + 0, 4 (n - 1)$ ‍։

d_{21} =

[Օգնության կարիք ունեմ:]

Հաջորդականությունները ֆունկցիաներ են

Ուշադրություն դարձրու, որ այս դասում օգտագործված բանաձևերը գործում են ֆունկցիաների նման։ Տեղադրում ենք անդամի համարը՝

n

-ը և բանաձևի միջոցով ստանում ենք

a_{n}

(կամ որ նույնն է՝

a (n)

) անդամի արժեքը։

Հաջորդականությունները սահմանվում են որպես ֆունկցիաներ։ Այնուամենայնիվ,

n

-ը չի կարող լինել ցանկացած իրական թիվ։ Չկա այնպիսի հասկացություն, ինչպես հաջորդականության մինուս հինգերորդ անդամ կամ էլ 0,4-րդ անդամ։

Սա նշանակում է, որ հաջորդականությունների որոշման տիրույթը, որը արգումենտի բոլոր թույլատրելի արժեքների բազմությունն է, հանդիսանում է դրական ամբողջ (բնական) թվերի բազմությունը։