If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Եթե գտնվում ես վեբ զտիչի հետևում, խնդրում ենք համոզվել, որ *.kastatic.org և *.kasandbox.org տիրույթները հանված են արգելափակումից։

Հիմնական նյութ

Կեղծ թվեր․ ներածություն

Ծանոթացիր i կեղծ միավորին, երևակայական թվերին և բացասական թվերի քառակուսի արմատներին։
Մաթեմատիկա սովորելու ընթացքում հավանաբար դուք նկատել եք, որ որոշ քառակուսային հավասարումներ չունեն իրական արմատներ։
Օրինակ, ինչքան էլ փորձես, չես կարող գտնել x2=1 հավասարման իրական լուծում։ Դա այն պատճառով, որ հնարավոր չէ թիվը քառակուսի բարձրացնել և ստանալ բացասական թիվ։
Այնուամենայնիվ, x2=1 հավասարման լուծում գոյություն ունի նոր թվային բազմությունում, որը կոչվում է կոմպլեքս թվերի բազմություն։

Կեղծ միավոր

Նոր թվային բազմության հիմքը կեղծ միավորն է՝ i թիվը։
i թվի մասին ճշմարիտ է հետևյալը.
  • i=1
  • i2=1
Երկրորդ հատկությունը ցույց է տալիս, որ i թիվն իրոք x2=1 հավասարման լուծումն է։ Մինչ այժմ անլուծելի հավասարումը կեղծ միավորի ավելացումից հետո արդեն հնարավոր է լուծել։

Կեղծ թվեր

i թիվը միայնակ չէ։ Վերցնելով այս կեղծ միավորի բազմապատիկները, մենք կստանանք անվերջ քանակությամբ կեղծ թվեր։.
Օրինակ, 3i, i5, և 12i թվերը կեղծ թվեր են, կամ bi տեսքի թվեր, որտեղ b-ն զրոյից տարբեր իրական թիվ է։
Այս թվերը քառակուսի բարձրացնելը ցույց է տալիս, թե ինչ առնչության մեջ են դրանք իրական թվերի հետ։ Եկեք քառակուսի բարձրացնենք 3i թիվը։ Ամբողջ թվերի աստիճանի հատկությունները մնում են նույնը, այսինքն մենք կարող ենք 3i թիվը քառակուսի բարձրացնել մեր պատկերացրած ձևով։
(3i)2=32i2=9i2
Օգտվելով այն փաստից, որ i2=1, մենք կարող ենք պարզեցնել ինչպես ցույց է տրված ստորև։
(3i)2=9i2=9(1)=9
Այն փաստը, որ (3i)2=9 նշանակում է, որ 3i թիվը 9-ի քառակուսի արմատն է։

Ստուգիր, թե որքանով ես հասկացել

Ինչի՞ է հավասար (4i)2-ն։
  • Քո պատասխանը պետք է լինի
  • ամբողջ թիվ, օրինակ՝ 6
  • պարզեցված կանոնավոր կոտորակ, օրինակ՝ 3/5
  • պարզեցված անկանոն կոտորակ, օրինակ՝ 7/4
  • խառը թիվ, օրինակ՝ 1 3/4
  • վերջավոր տասնորդական կոտորակ, օրինակ 0,75
  • Պիի բազմապատիկ, օրինակ՝ 12 պի կամ 2/3 պի

Նշված թվերից ո՞րն է 16-ի քառակուսի արմատը։
Ընտրիր ճիշտ պատասխանը։

Այս ձևով, մենք կարող ենք տեսնել, որ կեղծ թվերը բացասական թվերի քառակուսի արմատներն են։

Կեղծ թվերի պարզեցումը

Ստորև բերված աղյուսակը ցույց է տալիս կեղծ թվերի օրինակներ և պարզեցված, և չպարզեցված տեսքերով։
Չպարզեցված տեսքՊարզեցված տեսք
93i
5i5
14412i
Ինչպե՞ս ենք պարզեցնում կեղծ թվերը։
Արի ուշադիր նայենք առաջին օրինակին և տեսնենք, թե արդյոք կարող ենք մտածել պարզեցնելու մասին։
Օրիգինալ համարժեքությունՄտածելու պրոցես
9=3i9-ի քառակուսի արմատը կեղծ թիվ է։ 9-ի քառակուսի արմատը 3 է, Այսպիսով՝ բացասական 9-ի քառակուսի արմատը 3 կեղծ միավոր է, կամ՝ 3i։
Հետևյալ հատկությունը բացատրում է վերը նշված "մտածելակերպը" մաթեմատիկական տերմիններով։
a>0 թվերի համար, a=ia
Այս ամենը միավորելով արմատների պարզեցման մասին մեր գիտելիքների հետ մենք կարող ենք պարզեցնել կեղծ թվերը։ Արի օրինակ դիտարկենք։

Օրինակ

Պարզեցնել 18 թիվը։

Լուծում

Նախ, արի նկատենք, որ 18 -ը կեղծ թիվ է, քանի որ այն բացասական թվի քառակուսի արմատ է։ Հետևաբար մենք կարող ենք սկսել 18i18 տեսքով գրելուց։
Այնուհետև կարող ենք պարզեցնել 18-ը՝ կիրառելով այն ամենը, ինչ արդեն գիտենք արմատների պարզեցման մասին։
Աշխատանքը ցույց է տրված ստորև։
18=i18 a>0-ի համար, a=ia=i929-ը 18-ի լրիվ քառակուսի արտադրիչն է։ի=i92ab=ab երբ a,b0=i329=3=3i2Բազմապատկումն օժտված է տեղափոխական հատկությամբ։
Այսպիսով ստացվում է, որ 18=3i2։

Առաջադրանքներ վարժվելու համար

Խնդիր 1

Պարզեցնել. 25։

Խնդիր 2

Պարզեցնել. 10։

Խնդիր 3

Պարզեցրու. 24։

Այնուամենայնիվ, ինչու՞ կան կեղծ թվեր։

Պատասխանը պարզ է. i կեղծ միավորը թույլ է տալիս լուծել շատ հավասարումներ, որոնք իրական լուծումներ չունեն։
Սա կարող է տարօրինակ թվալ, բայց իրոք հավասարումը կարող է անլուծելի լինել մի թվայի բազմությունում, բայց լուծում ունենա մեկ այլ, ավելի ընդարձակ բազմությունում։
Ահա օրինակներ ասվածն ավելի լավ հասկանալու համար։
  • Բնական թվերի բազմությունում հնարավոր չէ լուծել x+8=1 հավասարումը. մեզ պետք են ամբողջ թվերը, որպեսզի լուծենք այս հավասարումը։
  • Ամբողջ թվերի բազմությունում հարավոր չէ լուծել 3x1=0 հավասարումը. մեզ պետք են ռացիոնալ թվերը, որպեսզի լուծենք այս հավասարումը։
  • Ռացիոնալ թվերի բազմությունում հնարավոր չէ լուծել x2=2 հավասարումը. մեզ պետք են իռացիոնալ թվերը՝ միավորված ռացիոնալ թվերի բազմության հետ որպես իրական թվերի բազմություն։
Նմանապես, իրական թվերի բազմությունում հարավոր չէ լուծել x2=1 հավասարումը. Մեզ պետք են կեղծ թվերը, որպեսզի լուծենք այս հավասարումը։
Մաթեմատիկայի հետագա ուսումնասիրման ընթացքում դու կհասկանաս կեղծ թվերի կարևորությունը

Ուզո՞ւմ ես միանալ խոսակցությանը։

Առայժմ հրապարակումներ չկան։
Անգլերեն հասկանո՞ւմ ես: Սեղմիր այստեղ և ավելի շատ քննարկումներ կգտնես «Քան» ակադեմիայի անգլերեն կայքում: