Հիմնական նյութ

Դասընթաց․ (Հանրահաշիվ II) > Բաժին 2

Դաս 1: Որո՞նք են երևակայական թվերը

Կեղծ միավորի աստիճանները

Սովորիր պարզեցնել i երևակայական միավորի աստիճանները։ Օրինակ՝ պարզեցրու i²⁷-ը որպես -i։

Մենք գիտենք, որ

i = \sqrt{- 1}

i^{2} = - 1

Իսկ ի՞նչ կարող ենք ասել

i^{3}

-ի,

i^{4}

-ի կամ

i

-ի այլ ամբողջ աստիճանի մասին։

$i^{3}$ ‍ և $i^{4}$ ‍ հաշվումը

Աստիճանի հատկությունները կարող են օգնել մեզ այստեղ։ Երբ հաշվում ենք

i

-ի աստիճանները, մենք կարող ենք կիրառել աստիճանի հատկությունները, որոնք, ինչպես գիտենք, ճիշտ են իրական թվերի բազմությունում, երբ աստիճանացույցերն ամբողջ թվեր են։

Սա իմանալով, հաշվենք

i^{3}

i^{4}

Մենք գիտենք, որ

i^{3} = i^{2} \cdot i

, բայց քանի որ

i^{2} = - 1

, ստանում ենք.

\begin{aligned} i^{3} & = i^{2} \cdot i \\ = (- 1) \cdot i \\ = - i \end{aligned}

Նման ձևով,

i^{4} = i^{2} \cdot i^{2}

։ Դարձյալ օգտվելով այն փաստից, որ

i^{2} = - 1

, կունենանք.

\begin{aligned} i^{4} & = i^{2} \cdot i^{2} \\ = (- 1) \cdot (- 1) \\ = 1 \end{aligned}

$i$ ‍-ի այլ աստիճաններ

Շարունակելով, եկեք գտնենք

i

-ի հաջորդ

4

աստիճանները՝ կիրառելով նմանատիպ մեթոդներ։

\begin{aligned} i^{5} & = i^{4} \cdot i & Աստիճանի հատկությունները \\ = 1 \cdot i & Քանի որ i^{4} = 1 \\ = i \\ i^{6} & = i^{4} \cdot i^{2} & Աստիճանի հատկությունները \\ = 1 \cdot (- 1) & Քանի որ i^{4} = 1 և i^{2} = - 1 \\ = - 1 \\ i^{7} & = i^{4} \cdot i^{3} & Աստիճանի հատկությունները \\ = 1 \cdot (- i) & Քանի որ i^{4} = 1 և i^{3} = - i \\ = - i \\ i^{8} & = i^{4} \cdot i^{4} & Աստիճանի հատկությունները \\ = 1 \cdot 1 & Քանի որ i^{4} = 1 \\ = 1 \end{aligned}

Արդյունքներն ամփոփված են աղյուսակում։

$i^{1}$ ‍	$i^{2}$ ‍	$i^{3}$ ‍	$i^{4}$ ‍	$i^{5}$ ‍	$i^{6}$ ‍	$i^{7}$ ‍	$i^{8}$ ‍
$i$ ‍	$- 1$ ‍	$- i$ ‍	$1$ ‍	$i$ ‍	$- 1$ ‍	$- i$ ‍	$1$ ‍

Օրինաչափություն

Աղյուսակից երևում է, որ

i

-ի աստիճանների միջև առկա է օրինաչափություն.

i

- 1

- i

1

Կիրառելով այս օրինաչափությունը, կարո՞ղ ենք գտնել

i^{20}

-ը։ Եկեք փորձենք։

Ստորև նշված են առաջին

20

հաջորդական անդամները։

i

- 1

- i

1

i

- 1

- i

1

i

- 1

- i

1

i

- 1

- i

1

i

- 1

- i

1

Ըստ տրամաբանության,

i^{20}

-ը պետք է հավասար լինի

1

-ի։ Տեսնենք կարո՞ղ ենք պնդել սա՝ կիրառելով աստիճաններ։ Հիշիր, մենք կարող ենք այստեղ կիրառել աստիճանի հատկությունները ճիշտ այնպես ինչպես արել ենք իրական թվերի հետ։

\begin{aligned} i^{20} & = (i^{4})^{5} & Աստիճանի հատկությունները \\ = (1)^{5} & i^{4} = 1 \\ = 1 & Պարզեցնել \end{aligned}

Երկու դեպքում էլ տեսնում ենք, որ

i^{20} = 1

$i$ ‍-ի մեծ աստիճաններ

Ենթադրենք այժմ ուզում ենք գտնել

i^{138}

-ը։ Մենք կարող ենք շարունակել օրինաչափությունը

i

- 1

- i

1

,... մինչև

138^{}

-երորդ անդամը, բայց դա շատ ժամանակ կխլի։

Նկատիր, որ

i^{4} = 1

i^{8} = 1

i^{12} = 1

, և այլն։ Այլ կերպ ասած,

i

-ն բարձրացրած $4$ ‍-ին բազմապատիկ աստիճան հավասար է

1

Մենք կարող ենք կիրառել աստիճանի հատկությունները՝

i^{138}

-ը պարզեցնելու համար։

Օրինակ

Պարզեցրու.

i^{138}

Լուծում

138

-ը

4

-ի բազմապատիկ չէ, բայց

136

-ը

4

-ի բազմապատիկ է։ Օգտվենք սրանից, որպեսզի պարզեցնենք

i^{138}

-ը։

\begin{aligned} i^{138} & = i^{136} \cdot i^{2} & Աստիճանի հատկությունները \\ = (i^{4 \cdot 34}) \cdot i^{2} & 136 = 4 \cdot 34 \\ = (i^{4})^{34} \cdot i^{2} & Աստիճանի հատկությունները \\ = (1)^{34} \cdot i^{2} & i^{4} = 1 \\ = 1 \cdot (- 1) & i^{2} = - 1 \\ = - 1 \end{aligned}

Ուրեմն

i^{138} = - 1

Կարող է ձեզ մոտ հարց առաջանալ, թե ինչու՞ մենք որոշեցինք

i^{138}

-ը գրել

i^{136} \cdot i^{2}

տեսքով։

Եթե տրված աստիճանացույցը

4

-ի աստիճան չէ, ապա գտնում ենք

4

-ին բազմապատիկ ամենամոտ աստիճանացույցը, որը թույլ է տալիս իջեցնել աստիճանացույցը մինչև

i

i^{2}

, կամ

i^{3}

և օգտվում ենք նրանից, որ

i^{4} = 1

Այդ թիվը հեշտ է գտնել՝ տրված աստիճանացույցը բաժանելով

4

-ի։ Դա քանորդն է (առանց մնացորդի)՝ բազմապատկած

4

-ով։

Առաջադրանքներ վարժվելու համար

Խնդիր 1

Պարզեցնել. $i^{227}$ ‍։

227

-ից փոքր և նրան ամենամոտ

4

-ին բազմապատիկ թիվը

224

է։

Արի օգտվենք սրանից և պարզեցնենք

i^{227}

-ը։

\begin{aligned} i^{227} & = i^{224} \cdot i^{3} & Աստիճանի հատկություններ \\ = (i^{4})^{56} \cdot i^{3} & Աստիճանի հատկություններ \\ = (1)^{56} \cdot i^{3} & i^{4} = 1 \\ = 1 \cdot (- i) & i^{3} = - i \\ = - i \end{aligned}

Ուրեմն

i^{227} = - i

Խնդիր 2

Պարզեցնել. $i^{2016}$ ‍։

Խնդիր 3

Պարզեցնել. $i^{537}$ ‍։

537

ից փոքր և նրան ամենամոտ

4

-ի բազմապատիկը

536

-ն է։

Արի օգտվենք սրանից, որպեսզի պարզեցնենք

i^{537}

-ը։

\begin{aligned} i^{537} & = i^{536} \cdot i & Աստիճանի հատկություններ \\ = (i^{4})^{134} \cdot i & Աստիճանի հատկություններ \\ = (1)^{134} \cdot i & i^{4} = 1 \\ = 1 \cdot i \\ = i \end{aligned}

Ուրեմն

i^{537} = i

Խնդիր-մարտահրավեր

Տրվածներից ո՞րն է համարժեք $i^{- 1}$ ‍-ին։

Այս խնդիրը լուծելու հեշտ միջոց է օրինաչափությունը շարունակելը և այն կիրառելը։

$i^{1}$ ‍	$i^{2}$ ‍	$i^{3}$ ‍	$i^{4}$ ‍	$i^{5}$ ‍	$i^{6}$ ‍	$i^{7}$ ‍	$i^{8}$ ‍
$i$ ‍	$- 1$ ‍	$- i$ ‍	$1$ ‍	$i$ ‍	$- 1$ ‍	$- i$ ‍	$1$ ‍

Այնուամենայնիվ, օրինաչափությունը դեպի աջ շարունակելու փոխարեն (աստիճանացույցը

> 1

), մենք կարող ենք մտածել օրինաչափությունը դեպի ձախ շարունակելու մասին (աստիճանացույցը

< 1

)։ Այսպիսով՝ եթե մենք ուզում ենք գտնել

i^{- 1}

, մենք կարող ենք ուղղակի օրինաչափությունը շարունակել երկու թիվ դեպի ձախ։

	$i^{- 1}$ ‍	$i^{0}$ ‍	$i^{1}$ ‍	$i^{2}$ ‍	$i^{3}$ ‍	$i^{4}$ ‍	$i^{5}$ ‍	$i^{6}$ ‍	$i^{7}$ ‍	$i^{8}$ ‍
			$i$ ‍	$- 1$ ‍	$- i$ ‍	$1$ ‍	$i$ ‍	$- 1$ ‍	$- i$ ‍	$1$ ‍

Լրացնելով դատարկ տեղերը, կստանանք.

$i^{- 1}$ ‍	$i^{0}$ ‍	$i^{1}$ ‍	$i^{2}$ ‍	$i^{3}$ ‍	$i^{4}$ ‍	$i^{5}$ ‍	$i^{6}$ ‍	$i^{7}$ ‍	$i^{8}$ ‍
$- i$ ‍	$1$ ‍	$i$ ‍	$- 1$ ‍	$- i$ ‍	$1$ ‍	$i$ ‍	$- 1$ ‍	$- i$ ‍	$1$ ‍

Ուրեմն

i^{- 1} = - i

Մենք կարող ենք համոզվել սրանում նաև հանրահաշվորեն՝ կիրառելով աստիճանի հատկությունները ինչպես ցույց ենք տվել վերևում։

\begin{aligned} i^{3} & = i^{4} \cdot i^{- 1} \\ - i & = 1 \cdot i^{- 1} & Քանի որ i^{3} = - i և i^{4} = 1 \\ - i & = i^{- 1} \end{aligned}

Ուզո՞ւմ ես միանալ խոսակցությանը։

Մուտք գործել

Դասակարգել ըստ

Առայժմ հրապարակումներ չկան։

Անգլերեն հասկանո՞ւմ ես: Սեղմիր այստեղ և ավելի շատ քննարկումներ կգտնես «Քան» ակադեմիայի անգլերեն կայքում:

Հանրահաշիվ II

Դասընթաց․ (Հանրահաշիվ II) > Բաժին 2

i3‍ և i4‍ հաշվումը

i‍ -ի այլ աստիճաններ

Օրինաչափություն

i‍ -ի մեծ աստիճաններ

Օրինակ

Լուծում

Առաջադրանքներ վարժվելու համար

Խնդիր 1

Խնդիր 2

Խնդիր 3

Խնդիր-մարտահրավեր

Ուզո՞ւմ ես միանալ խոսակցությանը։

$i^{3}$ ‍ և $i^{4}$ ‍ հաշվումը

$i$ ‍-ի այլ աստիճաններ

$i$ ‍-ի մեծ աստիճաններ