Կեղծ միավորի աստիճանները

Մենք գիտենք, որ $i=\sqrt{-1}$i, equals, square root of, minus, 1, end square root և $i^2=-1$i, squared, equals, minus, 1։

Իսկ ի՞նչ կարող ենք ասել $i^3$i, cubed-ի, $i^4$i, start superscript, 4, end superscript-ի կամ $i$i-ի այլ ամբողջ աստիճանի մասին։

Աստիճանի հատկությունները կարող են օգնել մեզ այստեղ։ Երբ հաշվում ենք $i$i-ի աստիճանները, մենք կարող ենք կիրառել աստիճանի հատկությունները, որոնք, ինչպես գիտենք, ճիշտ են իրական թվերի բազմությունում, երբ աստիճանացույցերն ամբողջ թվեր են։

Սա իմանալով, հաշվենք $i^3$i, cubed և $i^4$i, start superscript, 4, end superscript։

Մենք գիտենք, որ $i^3=i^2\cdot i$i, cubed, equals, i, squared, dot, i, բայց քանի որ ${i^2=-1}$i, squared, equals, minus, 1, ստանում ենք.

Նման ձևով, $i^4=i^2\cdot i^2$i, start superscript, 4, end superscript, equals, i, squared, dot, i, squared։ Դարձյալ օգտվելով այն փաստից, որ ${i^2=-1}$i, squared, equals, minus, 1, կունենանք.

Շարունակելով, եկեք գտնենք $i$i-ի հաջորդ $4$4 աստիճանները՝ կիրառելով նմանատիպ մեթոդներ։

Արդյունքներն ամփոփված են աղյուսակում։

Աղյուսակից երևում է, որ $i$i-ի աստիճանների միջև առկա է օրինաչափություն. $\blueD i$start color #11accd, i, end color #11accd, $\greenD{-1}$start color #1fab54, minus, 1, end color #1fab54, $\purpleD{-i}$start color #7854ab, minus, i, end color #7854ab և $\goldD1$start color #e07d10, 1, end color #e07d10։

Կիրառելով այս օրինաչափությունը, կարո՞ղ ենք գտնել $i^{20}$i, start superscript, 20, end superscript-ը։ Եկեք փորձենք։

Ստորև նշված են առաջին $20$20 հաջորդական անդամները։

$\blueD i$start color #11accd, i, end color #11accd, $\greenD{-1}$start color #1fab54, minus, 1, end color #1fab54, $\purpleD{-i}$start color #7854ab, minus, i, end color #7854ab, $\goldD 1$start color #e07d10, 1, end color #e07d10, $\blueD i$start color #11accd, i, end color #11accd, $\greenD{-1}$start color #1fab54, minus, 1, end color #1fab54, $\purpleD{-i}$start color #7854ab, minus, i, end color #7854ab, $\goldD 1$start color #e07d10, 1, end color #e07d10, $\blueD i$start color #11accd, i, end color #11accd, $\greenD{-1}$start color #1fab54, minus, 1, end color #1fab54, $\purpleD{-i}$start color #7854ab, minus, i, end color #7854ab, $\goldD 1$start color #e07d10, 1, end color #e07d10, $\blueD i$start color #11accd, i, end color #11accd, $\greenD{-1}$start color #1fab54, minus, 1, end color #1fab54, $\purpleD{-i}$start color #7854ab, minus, i, end color #7854ab, $\goldD 1$start color #e07d10, 1, end color #e07d10, $\blueD i$start color #11accd, i, end color #11accd, $\greenD{-1}$start color #1fab54, minus, 1, end color #1fab54, $\purpleD{-i}$start color #7854ab, minus, i, end color #7854ab, $\goldD 1$start color #e07d10, 1, end color #e07d10

Ըստ տրամաբանության, $i^{20}$i, start superscript, 20, end superscript-ը պետք է հավասար լինի $\goldD 1$start color #e07d10, 1, end color #e07d10-ի։ Տեսնենք կարո՞ղ ենք պնդել սա՝ կիրառելով աստիճաններ։ Հիշիր, մենք կարող ենք այստեղ կիրառել աստիճանի հատկությունները ճիշտ այնպես ինչպես արել ենք իրական թվերի հետ։

Երկու դեպքում էլ տեսնում ենք, որ $i^{20}=1$i, start superscript, 20, end superscript, equals, 1։

Ենթադրենք այժմ ուզում ենք գտնել $i^{138}$i, start superscript, 138, end superscript-ը։ Մենք կարող ենք շարունակել օրինաչափությունը $\blueD i$start color #11accd, i, end color #11accd, $\greenD{-1}$start color #1fab54, minus, 1, end color #1fab54, $\purpleD{-i}$start color #7854ab, minus, i, end color #7854ab, $\goldD 1$start color #e07d10, 1, end color #e07d10,... մինչև $138^\text{}$138, start superscript, start text, end text, end superscript-երորդ անդամը, բայց դա շատ ժամանակ կխլի։

Նկատիր, որ $i^4=1$i, start superscript, 4, end superscript, equals, 1, $i^8=1$i, start superscript, 8, end superscript, equals, 1, $i^{12}=1$i, start superscript, 12, end superscript, equals, 1, և այլն։ Այլ կերպ ասած, $i$i-ն բարձրացրած $4$4-ին բազմապատիկ աստիճան հավասար է $1$1։

Մենք կարող ենք կիրառել աստիճանի հատկությունները՝ $i^{138}$i, start superscript, 138, end superscript-ը պարզեցնելու համար։

Պարզեցրու. $i^{138}$i, start superscript, 138, end superscript։

$138$138-ը $4$4-ի բազմապատիկ չէ, բայց $136$136-ը $4$4-ի բազմապատիկ է։ Օգտվենք սրանից, որպեսզի պարզեցնենք $i^{138}$i, start superscript, 138, end superscript-ը։

Ուրեմն $i^{138}=-1$i, start superscript, 138, end superscript, equals, minus, 1։

Կարող է ձեզ մոտ հարց առաջանալ, թե ինչու՞ մենք որոշեցինք $i^{138}$i, start superscript, 138, end superscript-ը գրել $i^{136}\cdot i^2$i, start superscript, 136, end superscript, dot, i, squared տեսքով։

Եթե տրված աստիճանացույցը $4$4-ի աստիճան չէ, ապա գտնում ենք $4$4-ին բազմապատիկ ամենամոտ աստիճանացույցը, որը թույլ է տալիս իջեցնել աստիճանացույցը մինչև $i$i, $i^2$i, squared, կամ $i^3$i, cubed և օգտվում ենք նրանից, որ $i^4=1$i, start superscript, 4, end superscript, equals, 1։

Այդ թիվը հեշտ է գտնել՝ տրված աստիճանացույցը բաժանելով $4$4-ի։ Դա քանորդն է (առանց մնացորդի)՝ բազմապատկած $4$4-ով։