If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Եթե գտնվում ես վեբ զտիչի հետևում, խնդրում ենք համոզվել, որ *.kastatic.org և *.kasandbox.org տիրույթները հանված են արգելափակումից։

Հիմնական նյութ

Դասընթաց․ (Հանրահաշիվ II)  > Բաժին 11

Դաս 1: Թվաբանական պրոգրեսիաներ

Թվաբանական պրոգրեսիայի բանաձևեր. ներածություն

Ծանոթացիր թվաբանական պրոգրեսիայի n-րդ անդամի բանաձևի և ռեկուրենտ (անդրադարձ) բանաձևի հետ:
Նախքան այս թեմային անցնելը վստահ եղիր, որ գիտես թվաբանական պրոգրեսիաների հիմունքները և ունես որոշակի փորձառություն՝ հաշվելու ֆունկցիաների արժեքները և գտնելու ֆունկցիայի որոշման տիրույթը։

Ինչ է բանաձևը

Մենք սովոր ենք թվաբանական պրոգրեսիաները նկարագրել այսպես՝
3,5,7,
Սակայն կան նաև այլ ձևեր։ Այս դասի ընթացքում կսովորենք թվաբանական պրոգրեսիաները ներկայացնելու ևս երկու ձև՝ ռեկուրենտ (անդրադարձ) բանաձև և n-րդ անդամի բանաձև։ Բանաձևերն օգնում են մեզ գտնել հաջորդականության ցանկացած անդամ։
Ընդհանուր առմամբ, բանաձևերում օգտագործվում է n-ը, որը ցույց է տալիս տվյալ անդամի համարը, ինչպես նաև an-ը (կամ որ նույնն է՝ a(n)-ը), որը ցույց է տալիս հաջորդականության n-րդ անդամը։ Օրինակ՝ տրված են թվաբանական պրոգրեսիայի առաջին մի քանի անդամները․ 3; 5; 7; ...
nan
(Անդամի համարը)(n-րդ անդամը)
13
25
37
Վերևում արդեն նշել ենք, որ բանաձևերը մեզ օգնում են գտնել հաջորդականության ցանկացած անդամ։ Այժմ նշվածը կարող ենք վերաձևակերպել հետևյալ կերպ․ բանաձևերը հուշում են՝ ինչպես գտնել an-ը ցանկացած հնարավոր n-ի համար։

Ստուգիր, թե որքանով ես հասկացել

1) Գտիր a4-ը 3; 5; 7; ... հաջորդականության մեջ։
a4=
  • Քո պատասխանը պետք է լինի
  • ամբողջ թիվ, օրինակ՝ 6
  • պարզեցված կանոնավոր կոտորակ, օրինակ՝ 3/5
  • պարզեցված անկանոն կոտորակ, օրինակ՝ 7/4
  • խառը թիվ, օրինակ՝ 1 3/4
  • վերջավոր տասնորդական կոտորակ, օրինակ 0,75
  • Պիի բազմապատիկ, օրինակ՝ 12 պի կամ 2/3 պի

2) Ցանկացած n-ի դեպքում ի՞նչ է նշանակում an1 գրառումը։
Ընտրիր ճիշտ պատասխանը։

Թվաբանական պրոգրեսիայի անդրադարձ (ռեկուրենտ) բանաձևը

Ռեկուրենտ բանաձևերը մեզ տալիս են երկու տեղեկություն․
  1. Հաջորդականության առաջին անդամը
  2. Այն կանոնը, որով կարելի է գտնել հաջորդականության ցանկացած անդամը՝ նրա նախորդ անդամի միջոցով։
Տրված է 3;5;7; հաջորդականության ռեկուրենտ բանաձևը՝ յուրաքանչյուր մասի մեկնաբանությամբ։
{a1=3Առաջին անդամն է երեքan=an1+2Նախորդ անդամին գումարիր երկու 
Հինգերորդ անդամը գտնելու համար պետք է մեկ առ մեկ գտնենք հաջորդականության անդամները․
an=an1+2
a1=3
a2=a1+2=3+2=5
a3=a2+2=5+2=7
a4=a3+2=7+2=9
a5=a4+2=9+2=11
Հիանալի է։ Այս բանաձևի միջոցով ստանում ենք նույն հաջորդականությունը, ինչպես որ նկարագրված էր՝ 3; 5; 7; ...

Ստուգիր, թե որքանով ես հասկացել

Այժմ քո հերթն է գտնել հաջորդականության անդամները անդրադարձ (ռեկուրենտ) բանաձևերի օգնությամբ։
Այնպես, ինչպես օգտագործում էինք a(n)-ը՝ ներկայացնելու 3; 5; 7;... հաջորդականության nրդ անդամը, կարող ենք կիրառել այլ տառեր այլ հաջորդականությունները ներկայացնելու համար։ Օրինակ՝ b(n), c(n) կամ d(n)։
1) Գտիր b4-ը տրված հաջորդականության մեջ․ {b1=5bn=bn1+9
b4=
  • Քո պատասխանը պետք է լինի
  • ամբողջ թիվ, օրինակ՝ 6
  • պարզեցված կանոնավոր կոտորակ, օրինակ՝ 3/5
  • պարզեցված անկանոն կոտորակ, օրինակ՝ 7/4
  • խառը թիվ, օրինակ՝ 1 3/4
  • վերջավոր տասնորդական կոտորակ, օրինակ 0,75
  • Պիի բազմապատիկ, օրինակ՝ 12 պի կամ 2/3 պի

4) Գտիր c3-ը տրված հաջորդականության մեջ․ {c1=20cn=cn117
c3=
  • Քո պատասխանը պետք է լինի
  • ամբողջ թիվ, օրինակ՝ 6
  • պարզեցված կանոնավոր կոտորակ, օրինակ՝ 3/5
  • պարզեցված անկանոն կոտորակ, օրինակ՝ 7/4
  • խառը թիվ, օրինակ՝ 1 3/4
  • վերջավոր տասնորդական կոտորակ, օրինակ 0,75
  • Պիի բազմապատիկ, օրինակ՝ 12 պի կամ 2/3 պի

5) Գտիր d5-ը տրված հաջորդականության մեջ․ {d1=2dn=d(n1)+0,4
d5=
  • Քո պատասխանը պետք է լինի
  • ամբողջ թիվ, օրինակ՝ 6
  • պարզեցված կանոնավոր կոտորակ, օրինակ՝ 3/5
  • պարզեցված անկանոն կոտորակ, օրինակ՝ 7/4
  • խառը թիվ, օրինակ՝ 1 3/4
  • վերջավոր տասնորդական կոտորակ, օրինակ 0,75
  • Պիի բազմապատիկ, օրինակ՝ 12 պի կամ 2/3 պի

Թվաբանական պրոգրեսիաjի n-րդ անդամի բանաձևը

Ահա 3; 5; 7; ... հաջորդականության n-րդ անդամի բանաձևը.
an=3+2(n1)
Այս բանաձևը թույլ է տալիս պարզապես տեղադրել մեզ հետաքրքրող անդամի համարը և ստանալ վերջինիս արժեքը։
Օրինակ՝ հինգերորդ անդամը գտնելու համար պետք է n-րդ անդամի բանաձևի մեջ տեղադրել n=5 արժեքը։
a5=3+2(51)=3+24=3+8=11
Ինչպես և նախկինում, ստանում ենք նույն արդյունքը։

Ստուգիր, թե որքանով ես հասկացել

1) Գտիր b10-ը տրված հաջորդականության մեջ․ bn=5+9(n1)։
b10=
  • Քո պատասխանը պետք է լինի
  • ամբողջ թիվ, օրինակ՝ 6
  • պարզեցված կանոնավոր կոտորակ, օրինակ՝ 3/5
  • պարզեցված անկանոն կոտորակ, օրինակ՝ 7/4
  • խառը թիվ, օրինակ՝ 1 3/4
  • վերջավոր տասնորդական կոտորակ, օրինակ 0,75
  • Պիի բազմապատիկ, օրինակ՝ 12 պի կամ 2/3 պի

7) Գտիր c8cn=2017(n1) բանաձևով տրված հաջորդականության մեջ։
c8=
  • Քո պատասխանը պետք է լինի
  • ամբողջ թիվ, օրինակ՝ 6
  • պարզեցված կանոնավոր կոտորակ, օրինակ՝ 3/5
  • պարզեցված անկանոն կոտորակ, օրինակ՝ 7/4
  • խառը թիվ, օրինակ՝ 1 3/4
  • վերջավոր տասնորդական կոտորակ, օրինակ 0,75
  • Պիի բազմապատիկ, օրինակ՝ 12 պի կամ 2/3 պի

8) Գտիր d21-ը տրված հաջորդականության մեջ․ dn=2+0,4(n1)։
d21=
  • Քո պատասխանը պետք է լինի
  • ամբողջ թիվ, օրինակ՝ 6
  • պարզեցված կանոնավոր կոտորակ, օրինակ՝ 3/5
  • պարզեցված անկանոն կոտորակ, օրինակ՝ 7/4
  • խառը թիվ, օրինակ՝ 1 3/4
  • վերջավոր տասնորդական կոտորակ, օրինակ 0,75
  • Պիի բազմապատիկ, օրինակ՝ 12 պի կամ 2/3 պի

Հաջորդականությունները ֆունկցիաներ են

Ուշադրություն դարձրու, որ այս դասում օգտագործված բանաձևերը գործում են ֆունկցիաների նման։ Տեղադրում ենք անդամի համարը՝ n-ը և բանաձևի միջոցով ստանում ենք an (կամ որ նույնն է՝ a(n)) անդամի արժեքը։
Հաջորդականությունները սահմանվում են որպես ֆունկցիաներ։ Այնուամենայնիվ, n-ը չի կարող լինել ցանկացած իրական թիվ։ Չկա այնպիսի հասկացություն, ինչպես հաջորդականության մինուս հինգերորդ անդամ կամ էլ 0,4-րդ անդամ։
Սա նշանակում է, որ հաջորդականությունների որոշման տիրույթը, որը արգումենտի բոլոր թույլատրելի արժեքների բազմությունն է, հանդիսանում է դրական ամբողջ (բնական) թվերի բազմությունը։

Մի քանի խոսք նշագրման մասին

Մենք գրեցինք a4, որպեսզի ներկայացնենք չորրորդ անդամը, սակայն հաճախ այն գրում ենք այսպես՝ a(4)։
Երկու գրառումներն էլ կիրառելի են։ a(4) գրառումն ընդգծում է, որ հաջորդականությունները ևս ֆունկցիաներ են։

Հարց մտորելու համար

9) Ո՞ր բանաձևն ավելի օգտակար կլինի, որպեսզի գտնենք թվաբանական պրոգրեսիայի 100-րդ անդամը։
Ընտրիր ճիշտ պատասխանը։

Բարդ խնդիր

10) Թվաբանական պրոգրեսիայի n-րդ անդամի բանաձևն է f(n)=34(n1)։
Հաջորդականության ո՞ր անդամն է հավասար -65-ի։
Անդամի համարը՝
  • Քո պատասխանը պետք է լինի
  • ամբողջ թիվ, օրինակ՝ 6
  • պարզեցված կանոնավոր կոտորակ, օրինակ՝ 3/5
  • պարզեցված անկանոն կոտորակ, օրինակ՝ 7/4
  • խառը թիվ, օրինակ՝ 1 3/4
  • վերջավոր տասնորդական կոտորակ, օրինակ 0,75
  • Պիի բազմապատիկ, օրինակ՝ 12 պի կամ 2/3 պի

Ուզո՞ւմ ես միանալ խոսակցությանը։

Առայժմ հրապարակումներ չկան։
Անգլերեն հասկանո՞ւմ ես: Սեղմիր այստեղ և ավելի շատ քննարկումներ կգտնես «Քան» ակադեմիայի անգլերեն կայքում: