If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Եթե գտնվում ես վեբ զտիչի հետևում, խնդրում ենք համոզվել, որ *.kastatic.org և *.kasandbox.org տիրույթները հանված են արգելափակումից։

Հիմնական նյութ

Երկրաչափություն (Ավագ)

Դասընթաց․ (Երկրաչափություն (Ավագ))  > Բաժին 6

Դաս 7: Ներգծյալ անկյուններ
Մաթեմատիկա
Երկրաչափություն (Ավագ)
Շրջան
Ներգծյալ անկյուններ
© 2023 Khan AcademyՕգտագործման պայմաններԳաղտնիության քաղաքականությունՔուքի (Cookie) ծանուցում

Թեորեմ ներգծյալ անկյան մասին․ապացույց

«Google Classroom»
Ապացուցում ենք, որ ներգծյալ անկյունը հավասար է նույն աղեղով պարփակված կենտրոնային անկյան կեսին։

Սկսենք

Մինչև ապացույցի մասին խոսելը՝ համոզվենք, որ տիրապետում ենք շրջանագծի որոշ հիմնական տերմինների:
Ահա մի փոքրիկ համապատասխանեցման աղյուսակ, որպեսզի ինքդ մտածես, թե որ հասկացությունն ինչ է:
Օգտվելով գծագրից՝ կատարիր համապատասխանություններ:
1

Լավ աշխատանք էր: Մենք օգտագործելու ենք այդ տերմինները հոդվածի շարունակության ողջ ընթացքում:

Ինչ ենք պատրաստվում ապացուցել

Մենք պատրաստվում ենք ապացուցել մի ուշագրավ հատկություն այն դեպքի համար, երբ ներգծյալ left parenthesis, start color #11accd, \psi, end color #11accd, right parenthesis անկյունը և կենտրոնական left parenthesis, start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, right parenthesis անկյունը հենված են միևնույն աղեղի վրա: Կենտրոնական անկյան աստիճանային չափը հավասար է ներգծյալ անկյան աստիճանային չափի կրկնապատիկին:
start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, equals, 2, start color #11accd, \psi, end color #11accd

Ապացույցի գաղափարը

Որպեսզի ապացուցենք, որ start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, equals, 2, start color #11accd, \psi, end color #11accd վերևում նկարագրված կամայական start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff-ի և start color #11accd, \psi, end color #11accd-ի համար, պետք է քննարկենք երեք առանձին դեպքեր:
Ա դեպքԲ դեպքԳ դեպք
Այս դեպքերը միասին ընդգրկում են բոլոր այն դեպքերը, երբ կենտրոնական և ներգծյալ անկյունները հենված են միևնույն աղեղի վրա:

Ա դեպք. start color #11accd, \psi, end color #11accd ներգծյալ անկյան կողմերից մեկն անցնում է շրջանագծի կենտրոնով

Քայլ 1. Նկատենք հավասարասրուն եռանկյունը:

start color #e84d39, B, C, end color #e84d39 և start color #e84d39, B, D, end color #e84d39 հատվածները շառավիղներ են, ուստի ունեն նույն երկարությունը: Սա նշանակում է, որ triangle, C, B, D-ն հավասարասրուն է, ինչն էլ նշանակում է, որ հիմքին առընթեր անկյունները հավասար են:
angle, C, equals, angle, D, equals, start color #11accd, \psi, end color #11accd

Քայլ 2. Նկատենք փռված անկյունը:

angle, start color #e84d39, A, B, C, end color #e84d39-ն փռված անկյուն է, ուստի՝
θ+∠DBC=180∘∠DBC=180∘−θ\begin{aligned} \purpleC \theta + \angle DBC &= 180^\circ \\\\ \angle DBC &= 180^\circ - \purpleC \theta \end{aligned}

Քայլ 3. Կազմենք հավասարում և start color #11accd, \psi, end color #11accd-ից կախված՝ լուծենք այն:

triangle, C, B, D-ի ներքին անկյուններն են start color #11accd, \psi, end color #11accd, start color #11accd, \psi, end color #11accd և left parenthesis, 180, degrees, minus, start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, right parenthesis, ինչպես նաև գիտենք, որ կամայական եռանկյան ներքին անկյունների գումարը 180, degrees է:
ψ+ψ+(180∘−θ)=180∘2ψ+180∘−θ=180∘2ψ−θ=02ψ=θ\begin{aligned} \blueD{\psi} + \blueD{\psi} + (180^\circ- \purpleC{\theta}) &= 180^\circ \\\\ 2\blueD{\psi} + 180^\circ- \purpleC{\theta} &= 180^\circ \\\\ 2\blueD{\psi}- \purpleC{\theta} &=0 \\\\ 2\blueD{\psi} &=\purpleC{\theta} \end{aligned}
Շատ լավ, մենք ավարտեցինք ապացույցը Ա դեպքի համար, մնաց երկու դեպք:

Բ դեպք. start color #11accd, \psi, end color #11accd ներգծյալ անկյան կողմերն ընկած են շրջանագծի կենտրոնի տարբեր կողմերում

Քայլ 1. Խորամանկություն անենք և տանենք տրամագիծը:

Օգտագործելով տրամագիծը՝ start color #11accd, \psi, end color #11accd անկյունը բաժանենք start color #11accd, \psi, start subscript, 1, end subscript, end color #11accd և start color #11accd, \psi, start subscript, 2, end subscript, end color #11accd անկյունների, իսկ start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff-ն՝ start color #aa87ff, theta, start subscript, 1, end subscript, end color #aa87ff-ի և start color #aa87ff, theta, start subscript, 2, end subscript, end color #aa87ff-ի, ինչպես պատկերված է.

Քայլ 2. Օգտագործենք Ա դեպքում ստացած արդյունքը և գրենք երկու հավասարություն:

Մեր նոր գծագրում տրամագիծը բաժանում է ներգծյալ անկյունը երկու ներգծյալ անկյունների, որոնցից յուրաքանչյուրի ճառագայթներից մեկն անցնում է շրջանագծի կենտրոնով: Դա նույն իրավիճակն է, ինչ Ա դեպքում, ուստի գիտենք, որ՝
left parenthesis, 1, right parenthesis, start color #aa87ff, theta, start subscript, 1, end subscript, end color #aa87ff, equals, 2, start color #11accd, \psi, start subscript, 1, end subscript, end color #11accd
և
left parenthesis, 2, right parenthesis, start color #aa87ff, theta, start subscript, 2, end subscript, end color #aa87ff, equals, 2, start color #11accd, \psi, start subscript, 2, end subscript, end color #11accd,
քանի որ Ա դեպքում սա ապացուցել էինք:

Քայլ 3. Գումարենք հավասարությունները:

θ1+θ2=2ψ1+2ψ2Գումարենք (1)-ը և (2)-ը(θ1+θ2)=2(ψ1+ψ2)Միացնենք նման անդամներըθ=2ψθ=θ1+θ2 և ψ=ψ1+ψ2\begin{aligned} \purpleC{\theta_1} + \purpleC{\theta_2} &= 2\blueD{\psi_1}+2\blueD{\psi_2}&\small \text{Գումարենք (1)-ը և (2)-ը} \\\\\\ (\purpleC{\theta_1} + \purpleC{\theta_2}) &= 2(\blueD{\psi_1}+\blueD{\psi_2}) &\small \text{Միացնենք նման անդամները} \\\\\\ \purpleC{\theta} &= 2\blueD{\psi} &\small\purpleC{\theta=\theta_1+\theta_2} \text{ և } \blueD{\psi=\psi_1+\psi_2} \end{aligned}
Բ դեպքն ավարտված է: Մնաց ընդամենը մեկ դեպք:

Գ դեպք. Ներգծյալ անկյան կողմերն ընկած են տրամագծի միևնույն կողմում

Քայլ 1. Պատկերենք տրամագիծը:

Արի դիտարկենք երկու նոր անկյուններ՝ start color #ed5fa6, theta, start subscript, 2, end subscript, end color #ed5fa6 և start color #e07d10, \psi, start subscript, 2, end subscript, end color #e07d10՝ օգտագործելով տրամագիծը, ինչպես ցույց է տրված.

Քայլ 2. Օգտագործենք Ա դեպքում ստացած արդյունքը և գրենք երկու հավասարություն:

Նույն ձևով, ինչպես Բ դեպքում, լրացրինք գծագիրը, որպեսզի կարողանանք օգտագործել Ա դեպքում ստացված հատկությունը: Այս գծագրում գիտենք, որ՝
left parenthesis, 1, right parenthesis, start color #ed5fa6, theta, start subscript, 2, end subscript, end color #ed5fa6, equals, 2, start color #e07d10, \psi, start subscript, 2, end subscript, end color #e07d10
left parenthesis, 2, right parenthesis, left parenthesis, start color #ed5fa6, theta, start subscript, 2, end subscript, end color #ed5fa6, plus, start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, right parenthesis, equals, 2, left parenthesis, start color #e07d10, \psi, start subscript, 2, end subscript, end color #e07d10, plus, start color #11accd, \psi, end color #11accd, right parenthesis

Քայլ 4. Տեղադրենք և պարզեցնենք:

(θ2+θ)=2(ψ2+ψ)(2)(2ψ2+θ)=2(ψ2+ψ)θ2=2ψ22ψ2+θ=2ψ2+2ψθ=2ψ\begin{aligned} (\maroonC{\theta_2} + \purpleC{\theta}) &= 2(\goldD{\psi_2} + \blueD{\psi})&\small \text{(2)} \\\\\\ (2\goldD{\psi_2} + \purpleC{\theta})&= 2(\goldD{\psi_2} + \blueD{\psi}) &\small \maroonC{\theta_2}=2\goldD{\psi_2} \\\\\\ 2\goldD{\psi_2}+ \purpleC{\theta} &= 2\goldD{\psi_2} + 2\blueD{\psi} \\\\\\ \purpleC{\theta} &= 2\blueD{\psi} \end{aligned}
Ահա և վերջ: Ապացուցեցինք, որ start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, equals, 2, start color #11accd, \psi, end color #11accd բոլոր դեպքերում:

Ամփոփում

Մենք ցանկացանք ապացուցել, որ կենտրոնական անկյունը երկու անգամ մեծ է միևույն աղեղի վրա հենված ներգծյալ անկյունից:
Ապացույցի սկզբում առանձնացրինք երեք դեպք, որոնց միասին ընդգրկում են բոլոր հնարավոր դեպքերը, որոնցում ունենք միևնույն աղեղի վրա հենված կենտրոնական և ներգծյալ անկյուններ:
Ա դեպքԲ դեպքԳ դեպք
Ա դեպքում նկատեցինք հավասարասրուն եռանկյուն և փռված անկյուն: Օգտվելով դրանցից՝ ստացանք start color #11accd, \psi, end color #11accd-ն և start color #7854ab, theta, end color #7854ab-ն պարունակող հավասարություն: Որոշ հանրահաշվական ձևափոխությունների միջոցով ապացուցեցինք, որ start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, equals, 2, start color #11accd, \psi, end color #11accd:
Բ և Գ դեպքերում գծագրում ավելացրինք տրամագիծ.
Բ դեպքԳ դեպք
Դա մեզ հնարավորություն տվեց օգտվելու Ա դեպքում ստացած արդյունքից: Ե՛վ Բ դեպքում, և՛ Գ դեպքում գրեցինք հավասարություններ՝ հիմնվելով Ա դեպքի վրա: Այնուհետև, ունենալով այդ հավասարությունները, կատարեցինք փոքրիկ հանրահաշվական ձևափոխություններ և ստացանք, որ start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, equals, 2, start color #11accd, \psi, end color #11accd:

Ուզո՞ւմ ես միանալ խոսակցությանը։

Մուտք գործել
Անգլերեն հասկանո՞ւմ ես: Սեղմիր այստեղ և ավելի շատ քննարկումներ կգտնես «Քան» ակադեմիայի անգլերեն կայքում: