Հիմնական նյութ

Դասընթաց․ (Երկրաչափություն (Ավագ)) > Բաժին 4

Դաս 6: Ուղղանկյուն եռանկյան անկյունը գտնելը եռանկյունաչափական ֆունկցիաների միջոցով

Հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ. ներածություն

Սովորիր արկսինուսի, արկկոսինուսի և արկտանգենսի մասին, և թե ինչպես կարելի է դրանց միջոցով գտնել ուղղանկյուն եռանկյան անհայտ անկյուններից մեկը:

Արի անցնենք այլ տեսակի եռանկյունաչափական խնդիրների: Հետաքրքիրն այն է, որ սրանք չեն կարող լուծվել սինուսով, կոսինուսով կամ տանգենսով:

Խնդիր. Ստորև բերված եռանկյան մեջ որքա՞ն է

L

անկյան աստիճանային չափը:

Ինչ գիտենք։

∠ L

անկյան դիմացի և կից էջերի երկարությունները, ուստի կարող ենք գրել՝

\tan (L) = \frac{Դիմացի էջ}{Կից էջ} = \frac{35}{65}

Սակայն սա մեզ չի օգնի գտնել

∠ L

-ի չափը: Ի՞նչ անենք:

Ինչ է մեզ պետք։ Մեզ պետք է մի նոր մաթեմատիկական գործիք՝ նմանատիպ խնդիրներ լուծելու համար: Մեր հին ընկերներ սինուսը, կոսինուսը և տանգենսը չեն օգնում գլուխ բերել այս խնդիրը: Նրանք վերցնում են անկյան չափը, և տալիս կողմերի հարաբերության արժեքը, սակայն մեզ պետք է ֆունկցիա, որը կվերցնի հարաբերության արժեքը և կտա անկյան չափը: Հարկավոր են հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ:

Հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ

Մենք արդեն գիտենք որոշակի հակադարձ գործողություններ: Օրինակ՝ գումարումը և հանումը, բազմապատկումն ու բաժանումը: Յուրաքանչյուր գործողություն անում է հակադարձ գործողության հակառակը:

Սկզբունքը նույնն է նաև եռանկյունաչափության մեջ: Հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներն անում են <<սովորական>> եռանկյունաչափական գործողությունների հակառակը: Օրինակ՝

Սինուսի հակադարձը՝ $(\sin^{- 1})$ ‍-ը, անում է սինուսի հակառակ գործողությունը:
Կոսինուսի հակադարձը՝ $(\cos^{- 1})$ ‍-ը, անում է կոսինուսի հակառակ գործողությունը:
Տանգենսի հակադարձը՝ $(\tan^{- 1})$ ‍-ը, անում է տանգենսի հակառակ գործողությունը:

Իմաստն այն է, որ եթե ունես կողմերի հարաբերությունը (եռանկյունաչափական ֆունկցիայի արժեքը), սակայն չունես անկյունը, կարող ես այն ստանալ՝ կիրառելով համապատասխան հակադարձ ֆունկցիան: Ստորև այս միտքը ներկայացված է մաթեմատիկորեն:

Եռանկյունաչափական ֆունկցիա․ տեղադրում ենք անկյունը, ստանում հարաբերությունը		Հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիա․ տեղադրում ենք հարաբերությունը, ստանում անկյունը
$\sin (θ) = \frac{Դիմացի էջ}{Ներքնաձիգ}$ ‍	$\to$ ‍	$\sin^{- 1} (\frac{Դիմացի էջ}{Ներքնաձիգ}) = θ$ ‍
$\cos (θ) = \frac{Կից էջ}{Ներքնաձիգ}$ ‍	$\to$ ‍	$\cos^{- 1} (\frac{Կից էջ}{Ներքնաձիգ}) = θ$ ‍
$\tan (θ) = \frac{Դիմացի էջ}{Կից էջ}$ ‍	$\to$ ‍	$\tan^{- 1} (\frac{Դիմացի էջ}{Կից էջ}) = θ$ ‍

Ուշադիր եղիր, որ չշփոթես

\sin^{- 1} (x)

արտահայտությունը նույնը չէ, ինչ

\frac{1}{\sin (x)}

: Այլ կերպ ասած՝

- 1

-ը աստիճանացույց չէ․ այն ուղղակի նշանակում է հակադարձ ֆունկցիա:

Եթե թիվը կամ փոփոխականը բարձրացված է

- 1

աստիճան, դա նշանակում է բազմապատկման հակադարձ: Օրինակ՝

3^{- 1} = \frac{1}{3}

: Ընդհանուր դեպքում, եթե

a

-ն ոչ զրոյական իրական թիվ է, ապա

a^{- 1} = \frac{1}{a}

Այնուամենայնիվ, դա այդպես չէ

\sin^{- 1} (x)

-ի դեպքում: Պատճառն այն է, որ սինուսը ֆունկցիա է, ոչ թե թիվ:

Ընդհանուր դեպքում, երբ ֆունկցիայի աստիճանացույցում տեսնես

- 1

, այն նշանակում է հակադարձ ֆունկցիա: Օրինակ, եթե

f

-ը ֆունկցիա է, ապա

f^{- 1}

-ով նշանակվում է

f

-ի հակադարձ ֆունկցիան:

f^{- 1} (x)

արտահայտությունը նշանակում է

f

-ի հակադարձ ֆունկցիայի արժեքը

x

կետում:

Շփոթությունից խուսափելու համար ստեղծվել է մի այլընտրանքային նշանակում: Սինուսի հակադարձ ֆունկցիան նշանակվում է

\arcsin

, կոսինուսինը՝

\arccos

, տանգենսինը՝

\arctan

: Այս նշանակումն ընդհանուր է համակարգչային ծրագրավորման լեզուներում, սակայն ոչ մաթեմատիկայում:

Լուծենք ներածական խնդիր

Ներածական խնդրում տրված են դիմացի և կից էջերի երկարությունները, ուստի մենք կարող ենք օգտագործել տանգենսի հակադարձ ֆունկցիան՝ անկյան չափը գտնելու համար:

\begin{aligned} ∠ L & = \tan^{- 1} (\frac{Դիմացի էջ}{Կից էջ}) Կազմենք հավասարումը \\ ∠ L & = \tan^{- 1} (\frac{35}{65}) Տեղադրենք արժեքները \\ ∠ L & \approx 28, 30^{\circ} Հաշվենք և մոտարկենք հաշվիչով \end{aligned}

Արի մի քանի վարժություն լուծենք։

Խնդիր 1

Տրված է $△ K I P$ ‍-ն, գտիր $∠ I$ ‍-ն:
Կլորացրու պատասխանը մինչև մոտակա հարյուրերորդական աստիճանը:

^{\circ}

Խնդիր 2

Տրված է $△ D E F$ ‍-ը, գտիր $∠ E$ ‍-ն:
Կլորացրու պատասխանը մինչև մոտակա հարյուրերորդական աստիճանը:

^{\circ}

Խնդիր 3

Տրված է $△ L Y N$ ‍-ը, գտիր $∠ Y$ ‍-ի չափը:
Կլորացրու պատասխանը մինչև մոտակա հարյուրերորդական աստիճանը:

^{\circ}

Բարդ խնդիր

Լուծիր եռանկյունը: Դա նշանակում է՝ գտիր բոլոր անհայտ կողմերն ու անկյունները:
Կլորացրու պատասխանը մինչև մոտակա հարյուրերորդականը:

O E =

∠ O =

^{\circ}

∠ Z =

^{\circ}

Ուզո՞ւմ ես միանալ խոսակցությանը։

Մուտք գործել

Դասակարգել ըստ

Առայժմ հրապարակումներ չկան։

Անգլերեն հասկանո՞ւմ ես: Սեղմիր այստեղ և ավելի շատ քննարկումներ կգտնես «Քան» ակադեմիայի անգլերեն կայքում: