If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Եթե գտնվում ես վեբ զտիչի հետևում, խնդրում ենք համոզվել, որ *.kastatic.org և *.kasandbox.org տիրույթները հանված են արգելափակումից։

Հիմնական նյութ

Նախապատրաստվել 10-րդ դասարանին

Դասընթաց․ (Նախապատրաստվել 10-րդ դասարանին)  > Բաժին 5

Դաս 2: Քառակուսային հավասարումներ
Մաթեմատիկա
Նախապատրաստվել 10-րդ դասարանին
Նախապատրաստվիր հավասարումներ և անհավասարումներ լուծելուն
Քառակուսային հավասարումներ
© 2023 Khan AcademyՕգտագործման պայմաններԳաղտնիության քաղաքականությունՔուքի (Cookie) ծանուցում

Քառակուսային հավասարումների լուծումը` արտադրիչների վերլուծելով

«Google Classroom»
Սովորիր լուծել (x-1)(x+3)=0 նման քառակուսային հավասարումներ և կիրառել արտադրիչների վերլուծելու մեթոդը՝ այլ տեսքի հավասարումներ լուծելու համար:

Ի՞նչ պետք է իմանաս դու մինչև այս դասին անցնելը

Ի՞նչ կսովորես դու այս դասում

Մինչ այժմ դու լուծել ես գծային հավասարումներ, որոնք պարունակել են ազատ անդամներ և առաջին աստիճան բարձրացրած փոփոխականով անդամներ՝ x, start superscript, 1, end superscript, equals, x:
Հնարավոր է նաև, որ լուծած լինես երկու կողմից քառակուսի արմատ հանելու միջոցով լուծվող որոշ մասնավոր տեսքի քառակուսային հավասարումներ, որոնք պարունակում են երկրորդ աստիճան բարձրացրած փոփոխական և թիվ:
Այս դասին կսովորես քառակուսային հավասարումներ լուծելու նոր եղանակներ: Մասնավորապես՝
  • ինչպես լուծել left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, equals, 0 տեսքի հավասարումները և
  • ինչպես կիրառել արտադրիչների վերլուծության եղանակներն այլ տեսքի քառակուսային հավասարումները left parenthesisինչպիսին է x, squared, minus, 3, x, minus, 10, equals, 0, right parenthesis նախ արտադրիչների վերլուծելու և ապա լուծելու համար:

Արտադրիչների վերլուծված քառակուսային հավասարումների լուծում

Դիցուք պետք է լուծել left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, equals, 0 քառակուսային հավասարումը:
Սա երկու արտահայտությունների արտադրյալ է, որը հավասար է զրոյի: Ուշադրություն դարձրու, որ x-ի ցանկացած արժեք, որը left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis-ը կամ left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis-ը դարձնում է զրո, նրանց արտադրյալը ևս դարձնում է զրո:
(x−1)(x+3)=0↙↘x−1=0x+3=0x=1x=−3\begin{aligned} (x-1)&(x+3)=0 \\\\ \swarrow\quad&\quad\searrow \\\\ x-1=0\quad&\quad x+3=0 \\\\ x=1\quad&\quad x=-3 \end{aligned}
Տեղադրելով x, equals, 1 կամ x, equals, minus, 3 ստացվում է ճիշտ հավասարություն՝ 0, equals, 0, այսպիսով դրանք հանդիսանում են հավասարման ճիշտ լուծումներ:
Հիմա փորձիր ինքդ մի քանի հավասարում լուծել:
Լուծել left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 7, right parenthesis, equals, 0 հավասաարումը:
Ընտրիր ճիշտ պատասխանը։

Լուծել left parenthesis, 2, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, 4, x, minus, 3, right parenthesis, equals, 0:
Ընտրիր ճիշտ պատասխանը։

Հարց մտորելու համար

Կարո՞ղ է նույն եղանակը կիրառվել left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, equals, 6 հավասարումը լուծելու համար:
Ընտրիր ճիշտ պատասխանը։

Ծանոթագրություն զրոյով բազմապատկման հատկության մասին

Ինչպե՞ս ենք իմանում, որ բացի մեր եղանակով գտած երկու լուծումից այլ լուծումներ չկան:
Պատասխանն ակնհայտ է դառնում զրոյով բազմապատկման հատկությունից:
Եթե երկու արտահայտությունների արտադրյալը զրո է, ապա արտահայտություններից գոնե մեկը հավասար է զրոյի:
Մեր ստացած լուծումներից տարբեր x-ի ցանկացած արժեք տեղադրելով ստացվում է զրոյից տարբեր երկու թվերի արտադրյալ, ինչը նշանակում է, որ այն զրո չէ: Հետևաբար, մենք գիտենք, որ ստացել ենք հնարավոր լուծումները:

Լուծել արտադրիչների վերլուծելով

Դիցուք ցանկանում ենք լուծել x, squared, minus, 3, x, minus, 10, equals, 0 հավասարումը: Ընդամենը պետք է արտադրիչների վերլուծել x, squared, minus, 3, x, minus, 10 քառակուսային եռանդամը և լուծել ինչպես առաջ:
x, squared, minus, 3, x, minus, 10-ը արտադրիչների վերլուծելիս ստացվում է left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 5, right parenthesis:
Հավասարման ամբողջական լուծումն այսպիսին է.
x2−3x−10=0(x+2)(x−5)=0Վերլուծել արտադրիչների:\begin{aligned}x^2-3x-10&=0\\\\ (x+2)(x-5)&=0&&\text{Վերլուծել արտադրիչների:}\end{aligned}
↙↘x+2=0x−5=0x=−2x=5\begin{aligned}&\swarrow&\searrow\\\\ x+2&=0&x-5&=0\\\\ x&=-2& x&=5\end{aligned}
Հիմա քո հերթն է որոշ հավասարումներ ինքնուրույն լուծելու համար: Հիշիր, որ հավասարումներն արտադրիչների վերլուծելու համար տարբեր եղանակներ ենք կիրառում։

Լուծել x, squared, plus, 5, x, equals, 0:

Քայլ 1: x, squared, plus, 5, x-ը ներկայացնել երկու գծային արտահայտությունների արտադրյալի տեսքով:\quad

Քայլ 2: Լուծել հավասարումը:
Ընտրիր ճիշտ պատասխանը։

Լուծել x, squared, minus, 11, x, plus, 28, equals, 0:

Քայլ 1: x, squared, minus, 11, x, plus, 28 քառակուսային եռանդամը ներկայացնել երկու գծային արտահայտությունների արտադրյալի տեսքով:\quad

Քայլ 2: Լուծել հավասարումը:
Ընտրիր ճիշտ պատասխանը։

Լուծել 4, x, squared, plus, 4, x, plus, 1, equals, 0:

Քայլ 1: 4, x, squared, plus, 4, x, plus, 1 եռանդամը ներկայացնել երկու գծային արտահայտությունների արտադրյալի տեսքով:\quad

Քայլ 2: Լուծել հավասարումը:
Ընտրիր ճիշտ պատասխանը։

Լուծել 3, x, squared, plus, 11, x, minus, 4, equals, 0:

Քայլ 1: 3, x, squared, plus, 11, x, minus, 4 քառակուսային եռանդամը ներկայացնել երկու գծային արտահայտությունների արտադրյալի տեսքով:\quad

Քայլ 2: Լուծել հավասարումը:
Ընտրիր ճիշտ պատասխանը։

Վերադասավորել մինչև արտադրիչների վերլուծելը

Կողմերից մեկը պետք է լինի զրո:

Ահա թե ինչպես է x, squared, plus, 2, x, equals, 40, minus, x-ի լուծումը ընթանում.
x2+2x=40−xx2+2x−40+x=0Հանել 40 և գումարել x:x2+3x−40=0Կատարել նման անդամների միացում:(x+8)(x−5)=0Վերուծել արտադրիչների:\begin{aligned}x^2+2x&=40-x\\\\ x^2+2x-40+x&=0&&\text{Հանել 40 և գումարել }x\text{:}\\\\ x^2+3x-40&=0&&\text{Կատարել նման անդամների միացում:}\\\\ (x+8)(x-5)&=0&&\text{Վերուծել արտադրիչների:}\end{aligned}
↙↘x+8=0x−5=0x=−8x=5\begin{aligned}&\swarrow&\searrow\\\\ x+8&=0&x-5&=0\\\\ x&=-8& x&=5\end{aligned}
Մինչ արտադրիչների վերլուծելը, մենք ձևափոխեցինք հավասարումը, որպեսզի բոլոր անդամները լինեն մի մասում, և մյուս մասը լինի զրո: Միայն դրանից հետո հնարավոր եղավ վերլուծել արտադրիչների և կիրառել լուծման մեր եղանակը:

Ընդհանուր արտադրիչի վրա բաժանում

Ահա թե ինչպես է 2, x, squared, minus, 12, x, plus, 18, equals, 0-ի լուծումն ընթանում.
2x2−12x+18=0x2−6x+9=0Բաժանել 2-ի վրա:(x−3)2=0Վերլուծել արտադրիչների:↓x−3=0x=3\begin{aligned}2x^2-12x+18&=0\\\\ x^2-6x+9&=0&&\text{Բաժանել 2-ի վրա:}\\\\ (x-3)^2&=0&&\text{Վերլուծել արտադրիչների:}\\\\ &\downarrow\\\\ x-3&=0\\\\ x&=3\end{aligned}
Բոլոր անդամները ունեին ընդհանուր արտադրիչ, այսպիսով, երկու կողմն էլ բաժանեցինք 2-ի: Զրոյի մասը մնաց զրո, ինչը ավելի հեշտացրեց վերլուծության ընթացքը:
Հիմա փորձիր ինքդ մի քանի հավասարում լուծել:
Գտիր հավասարման լուծումները:
2, x, squared, minus, 3, x, minus, 20, equals, x, squared, plus, 34
Ընտրիր բոլոր ճիշտ պատասխանները։

Գտիր հավասարման լուծումները:
3, x, squared, plus, 33, x, plus, 30, equals, 0
Ընտրիր բոլոր ճիշտ պատասխանները։

Գտիր հավասարման լուծումները:
3, x, squared, minus, 9, x, minus, 20, equals, x, squared, plus, 5, x, plus, 16
Ընտրիր բոլոր ճիշտ պատասխանները։

Ուզո՞ւմ ես միանալ խոսակցությանը։

Մուտք գործել
Անգլերեն հասկանո՞ւմ ես: Սեղմիր այստեղ և ավելի շատ քննարկումներ կգտնես «Քան» ակադեմիայի անգլերեն կայքում: