If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Եթե գտնվում ես վեբ զտիչի հետևում, խնդրում ենք համոզվել, որ *.kastatic.org և *.kasandbox.org տիրույթները հանված են արգելափակումից։

Հիմնական նյութ

Մաթանալիզի հիմունքներ

Դասընթաց․ (Մաթանալիզի հիմունքներ)  > Բաժին 5

Դաս 1: Որո՞նք են երևակայական թվերը
Մաթեմատիկա
Մաթանալիզի հիմունքներ
Կոմպլեքս թվեր
Որո՞նք են երևակայական թվերը
© 2023 Khan AcademyՕգտագործման պայմաններԳաղտնիության քաղաքականությունՔուքի (Cookie) ծանուցում

Կեղծ թվեր․ ներածություն

«Google Classroom»
Ծանոթացիր i կեղծ միավորին, երևակայական թվերին և բացասական թվերի քառակուսի արմատներին։
Մաթեմատիկա սովորելու ընթացքում հավանաբար դուք նկատել եք, որ որոշ քառակուսային հավասարումներ չունեն իրական արմատներ։
Օրինակ, ինչքան էլ փորձես, չես կարող գտնել x, squared, equals, minus, 1 հավասարման իրական լուծում։ Դա այն պատճառով, որ հնարավոր չէ թիվը քառակուսի բարձրացնել և ստանալ բացասական թիվ։
Այնուամենայնիվ, x, squared, equals, minus, 1 հավասարման լուծում գոյություն ունի նոր թվային բազմությունում, որը կոչվում է կոմպլեքս թվերի բազմություն։

Կեղծ միավոր

Նոր թվային բազմության հիմքը կեղծ միավորն է՝ i թիվը։
i թվի մասին ճշմարիտ է հետևյալը.
  • i, equals, square root of, minus, 1, end square root
  • i, squared, equals, minus, 1
Երկրորդ հատկությունը ցույց է տալիս, որ i թիվն իրոք x, squared, equals, minus, 1 հավասարման լուծումն է։ Մինչ այժմ անլուծելի հավասարումը կեղծ միավորի ավելացումից հետո արդեն հնարավոր է լուծել։

Կեղծ թվեր

i թիվը միայնակ չէ։ Վերցնելով այս կեղծ միավորի բազմապատիկները, մենք կստանանք անվերջ քանակությամբ կեղծ թվեր։.
Օրինակ, 3, i, i, square root of, 5, end square root, և minus, 12, i թվերը կեղծ թվեր են, կամ b, i տեսքի թվեր, որտեղ b-ն զրոյից տարբեր իրական թիվ է։
Այս թվերը քառակուսի բարձրացնելը ցույց է տալիս, թե ինչ առնչության մեջ են դրանք իրական թվերի հետ։ Եկեք քառակուսի բարձրացնենք 3, i թիվը։ Ամբողջ թվերի աստիճանի հատկությունները մնում են նույնը, այսինքն մենք կարող ենք 3, i թիվը քառակուսի բարձրացնել մեր պատկերացրած ձևով։
(3i)2=32i2=9i2\begin{aligned}(3i)^2&=3^2i^2\\ \\ &=9{i^2}\\\\ \end{aligned}
Օգտվելով այն փաստից, որ i, squared, equals, minus, 1, մենք կարող ենք պարզեցնել ինչպես ցույց է տրված ստորև։
(3i)2=9i2=9(−1)=−9\begin{aligned}\phantom{(3i)^2} &=9\goldD{i^2}\\\\ &=9(\goldD{-1})\\\\ &=-9 \end{aligned}
Այն փաստը, որ left parenthesis, 3, i, right parenthesis, squared, equals, minus, 9 նշանակում է, որ 3, i թիվը minus, 9-ի քառակուսի արմատն է։

Ստուգիր, թե որքանով ես հասկացել

Ինչի՞ է հավասար left parenthesis, 4, i, right parenthesis, squared-ն։
  • Քո պատասխանը պետք է լինի
  • ամբողջ թիվ, օրինակ՝ 6
  • պարզեցված կանոնավոր կոտորակ, օրինակ՝ 3, slash, 5
  • պարզեցված անկանոն կոտորակ, օրինակ՝ 7, slash, 4
  • խառը թիվ, օրինակ՝ 1, space, 3, slash, 4
  • վերջավոր տասնորդական կոտորակ, օրինակ 0, comma, 75
  • Պիի բազմապատիկ, օրինակ՝ 12, space, start text, պ, ի, end text կամ 2, slash, 3, space, start text, պ, ի, end text

Նշված թվերից ո՞րն է minus, 16-ի քառակուսի արմատը։
Ընտրիր ճիշտ պատասխանը։

Այս ձևով, մենք կարող ենք տեսնել, որ կեղծ թվերը բացասական թվերի քառակուսի արմատներն են։

Կեղծ թվերի պարզեցումը

Ստորև բերված աղյուսակը ցույց է տալիս կեղծ թվերի օրինակներ և պարզեցված, և չպարզեցված տեսքերով։
Չպարզեցված տեսքՊարզեցված տեսք
square root of, minus, 9, end square root3, i
square root of, minus, 5, end square rooti, square root of, 5, end square root
minus, square root of, minus, 144, end square rootminus, 12, i
Ինչպե՞ս ենք պարզեցնում կեղծ թվերը։
Արի ուշադիր նայենք առաջին օրինակին և տեսնենք, թե արդյոք կարող ենք մտածել պարզեցնելու մասին։
Օրիգինալ համարժեքությունՄտածելու պրոցես
−9=3i\begin{aligned}\sqrt{-9} = 3i \end{aligned}minus, 9-ի քառակուսի արմատը կեղծ թիվ է։ 9-ի քառակուսի արմատը 3 է, Այսպիսով՝ բացասական 9-ի քառակուսի արմատը start text, 3, end text կեղծ միավոր է, կամ՝ 3, i։
Հետևյալ հատկությունը բացատրում է վերը նշված "մտածելակերպը" մաթեմատիկական տերմիններով։
a, is greater than, 0 թվերի համար, square root of, minus, a, end square root, equals, i, square root of, a, end square root
Այս ամենը միավորելով արմատների պարզեցման մասին մեր գիտելիքների հետ մենք կարող ենք պարզեցնել կեղծ թվերը։ Արի օրինակ դիտարկենք։

Օրինակ

Պարզեցնել square root of, minus, 18, end square root թիվը։

Լուծում

Նախ, արի նկատենք, որ square root of, minus, 18, end square root -ը կեղծ թիվ է, քանի որ այն բացասական թվի քառակուսի արմատ է։ Հետևաբար մենք կարող ենք սկսել square root of, minus, 18, end square root-ը i, square root of, 18, end square root տեսքով գրելուց։
Այնուհետև կարող ենք պարզեցնել square root of, 18, end square root-ը՝ կիրառելով այն ամենը, ինչ արդեն գիտենք արմատների պարզեցման մասին։
Աշխատանքը ցույց է տրված ստորև։
−18=i18 a>0-ի համար, −a=ia=i⋅9⋅29-ը 18-ի լրիվ քառակուսի արտադրիչն է։ի=i9⋅2ab=a⋅b երբ a,b≥0=i⋅3⋅29=3=3i2Բազմապատկումն օժտված է տեղափոխական հատկությամբ։\begin{aligned}\sqrt{-18}&=i\sqrt{18}&&\small{\gray{\text{ $a>0$-ի համար, $\sqrt{-a}=i\sqrt{a}$}}}\\\\ &=i\cdot\sqrt{9\cdot 2}&&\small{\gray{\text{$9$-ը $18$-ի լրիվ քառակուսի արտադրիչն է։ի}}}\\\\ &=i\sqrt{9}\cdot\sqrt{2}&&\small{\gray{\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b} \text{ երբ } a, b\geq0}} \\\\ &=i\cdot 3\cdot \sqrt2&&\small{\gray{\sqrt{9}=3}}\\\\ &=3i\sqrt{2}&&\small{\gray{\text{Բազմապատկումն օժտված է տեղափոխական հատկությամբ։}}} \end{aligned}
Այսպիսով ստացվում է, որ square root of, minus, 18, end square root, equals, 3, i, square root of, 2, end square root։

Առաջադրանքներ վարժվելու համար

Խնդիր 1

Պարզեցնել. square root of, minus, 25, end square root։

Խնդիր 2

Պարզեցնել. square root of, minus, 10, end square root։

Խնդիր 3

Պարզեցրու. square root of, minus, 24, end square root։

Այնուամենայնիվ, ինչու՞ կան կեղծ թվեր։

Պատասխանը պարզ է. i կեղծ միավորը թույլ է տալիս լուծել շատ հավասարումներ, որոնք իրական լուծումներ չունեն։
Սա կարող է տարօրինակ թվալ, բայց իրոք հավասարումը կարող է անլուծելի լինել մի թվայի բազմությունում, բայց լուծում ունենա մեկ այլ, ավելի ընդարձակ բազմությունում։
Ահա օրինակներ ասվածն ավելի լավ հասկանալու համար։
  • Բնական թվերի բազմությունում հնարավոր չէ լուծել x, plus, 8, equals, 1 հավասարումը. մեզ պետք են ամբողջ թվերը, որպեսզի լուծենք այս հավասարումը։
  • Ամբողջ թվերի բազմությունում հարավոր չէ լուծել 3, x, minus, 1, equals, 0 հավասարումը. մեզ պետք են ռացիոնալ թվերը, որպեսզի լուծենք այս հավասարումը։
  • Ռացիոնալ թվերի բազմությունում հնարավոր չէ լուծել x, squared, equals, 2 հավասարումը. մեզ պետք են իռացիոնալ թվերը՝ միավորված ռացիոնալ թվերի բազմության հետ որպես իրական թվերի բազմություն։
Նմանապես, իրական թվերի բազմությունում հարավոր չէ լուծել x, squared, equals, minus, 1 հավասարումը. Մեզ պետք են կեղծ թվերը, որպեսզի լուծենք այս հավասարումը։
Մաթեմատիկայի հետագա ուսումնասիրման ընթացքում դու կհասկանաս կեղծ թվերի կարևորությունը

Ուզո՞ւմ ես միանալ խոսակցությանը։

Մուտք գործել
Առայժմ հրապարակումներ չկան։
Անգլերեն հասկանո՞ւմ ես: Սեղմիր այստեղ և ավելի շատ քննարկումներ կգտնես «Քան» ակադեմիայի անգլերեն կայքում: