If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Եթե գտնվում ես վեբ զտիչի հետևում, խնդրում ենք համոզվել, որ *.kastatic.org և *.kasandbox.org տիրույթները հանված են արգելափակումից։

Հիմնական նյութ

Կեղծ միավորի աստիճանները

Սովորիր պարզեցնել i երևակայական միավորի աստիճանները։ Օրինակ՝ պարզեցրու i²⁷-ը որպես -i։
Մենք գիտենք, որ i, equals, square root of, minus, 1, end square root և i, squared, equals, minus, 1։
Իսկ ի՞նչ կարող ենք ասել i, cubed-ի, i, start superscript, 4, end superscript-ի կամ i-ի այլ ամբողջ աստիճանի մասին։

i, cubed և i, start superscript, 4, end superscript հաշվումը

Աստիճանի հատկությունները կարող են օգնել մեզ այստեղ։ Երբ հաշվում ենք i-ի աստիճանները, մենք կարող ենք կիրառել աստիճանի հատկությունները, որոնք, ինչպես գիտենք, ճիշտ են իրական թվերի բազմությունում, երբ աստիճանացույցերն ամբողջ թվեր են։
Սա իմանալով, հաշվենք i, cubed և i, start superscript, 4, end superscript։
Մենք գիտենք, որ i, cubed, equals, i, squared, dot, i, բայց քանի որ i, squared, equals, minus, 1, ստանում ենք.
i3=i2i=(1)i=i\begin{aligned} i^3 &= {{i^2}}\cdot i\\ \\ &={ (-1)}\cdot i\\ \\ &= \purpleD{-i} \end{aligned}
Նման ձևով, i, start superscript, 4, end superscript, equals, i, squared, dot, i, squared։ Դարձյալ օգտվելով այն փաստից, որ i, squared, equals, minus, 1, կունենանք.
i4=i2i2=(1)(1)=1\begin{aligned} i^4 &= {{i^2\cdot i^2}}\\ \\ &=({ -1})\cdot ({-1})\\ \\ &= \goldD{1} \end{aligned}

i-ի այլ աստիճաններ

Շարունակելով, եկեք գտնենք i-ի հաջորդ 4 աստիճանները՝ կիրառելով նմանատիպ մեթոդներ։
i5=i4iԱստիճանի հատկությունները=1iՔանի որ i4=1=ii6=i4i2Աստիճանի հատկությունները=1(1)Քանի որ i4=1 և i2=1=1i7=i4i3Աստիճանի հատկությունները=1(i)Քանի որ i4=1 և i3=i=ii8=i4i4Աստիճանի հատկությունները=11Քանի որ i4=1=1\begin{aligned} i^5 &= {i^4\cdot i}&&{\gray{\text{Աստիճանի հատկությունները}}} \\\\ &=1\cdot i&&{\gray{\text{Քանի որ }i^4=1}} \\\\ &= \blueD i \\\\ \\\\ i^6 &= {i^4\cdot i^2}&&{\gray{\text{Աստիճանի հատկությունները}}} \\\\ &=1\cdot (-1)&&{\gray{\text{Քանի որ }i^4=1\text{ և }i^2=-1}} \\\\ &=\greenD{-1} \\\\ \\\\ i^7 &= {i^4\cdot i^3}&&{\gray{\text{Աստիճանի հատկությունները}}} \\\\ &=1\cdot (-i)&&{\gray{\text{Քանի որ }i^4=1\text{ և }i^3=-i}} \\\\ &=\purpleD{-i} \\\\ \\\\ i^8 &= {i^4\cdot i^4}&&{\gray{\text{Աստիճանի հատկությունները}}} \\\\ &=1\cdot 1&&{\gray{\text{Քանի որ }i^4=1}} \\\\ &=\goldD 1 \end{aligned}
Արդյունքներն ամփոփված են աղյուսակում։
i, start superscript, 1, end superscripti, squaredi, cubedi, start superscript, 4, end superscripti, start superscript, 5, end superscripti, start superscript, 6, end superscripti, start superscript, 7, end superscripti, start superscript, 8, end superscript
start color #11accd, i, end color #11accdstart color #1fab54, minus, 1, end color #1fab54start color #7854ab, minus, i, end color #7854abstart color #e07d10, 1, end color #e07d10start color #11accd, i, end color #11accdstart color #1fab54, minus, 1, end color #1fab54start color #7854ab, minus, i, end color #7854abstart color #e07d10, 1, end color #e07d10

Օրինաչափություն

Աղյուսակից երևում է, որ i-ի աստիճանների միջև առկա է օրինաչափություն. start color #11accd, i, end color #11accd, start color #1fab54, minus, 1, end color #1fab54, start color #7854ab, minus, i, end color #7854ab և start color #e07d10, 1, end color #e07d10։
Կիրառելով այս օրինաչափությունը, կարո՞ղ ենք գտնել i, start superscript, 20, end superscript-ը։ Եկեք փորձենք։
Ստորև նշված են առաջին 20 հաջորդական անդամները։
start color #11accd, i, end color #11accd, start color #1fab54, minus, 1, end color #1fab54, start color #7854ab, minus, i, end color #7854ab, start color #e07d10, 1, end color #e07d10, start color #11accd, i, end color #11accd, start color #1fab54, minus, 1, end color #1fab54, start color #7854ab, minus, i, end color #7854ab, start color #e07d10, 1, end color #e07d10, start color #11accd, i, end color #11accd, start color #1fab54, minus, 1, end color #1fab54, start color #7854ab, minus, i, end color #7854ab, start color #e07d10, 1, end color #e07d10, start color #11accd, i, end color #11accd, start color #1fab54, minus, 1, end color #1fab54, start color #7854ab, minus, i, end color #7854ab, start color #e07d10, 1, end color #e07d10, start color #11accd, i, end color #11accd, start color #1fab54, minus, 1, end color #1fab54, start color #7854ab, minus, i, end color #7854ab, start color #e07d10, 1, end color #e07d10
Ըստ տրամաբանության, i, start superscript, 20, end superscript-ը պետք է հավասար լինի start color #e07d10, 1, end color #e07d10-ի։ Տեսնենք կարո՞ղ ենք պնդել սա՝ կիրառելով աստիճաններ։ Հիշիր, մենք կարող ենք այստեղ կիրառել աստիճանի հատկությունները ճիշտ այնպես ինչպես արել ենք իրական թվերի հետ։
i20=(i4)5Աստիճանի հատկությունները=(1)5i4=1=1Պարզեցնել\begin{aligned} i^{20} &= (i^4)^5&&{\gray{\text{Աստիճանի հատկությունները}}} \\\\ &= (1)^5 &&{\gray{i^4=1}} \\\\ &= \goldD 1 &&{\gray{\text{Պարզեցնել}}} \end{aligned}
Երկու դեպքում էլ տեսնում ենք, որ i, start superscript, 20, end superscript, equals, 1։

i-ի մեծ աստիճաններ

Ենթադրենք այժմ ուզում ենք գտնել i, start superscript, 138, end superscript-ը։ Մենք կարող ենք շարունակել օրինաչափությունը start color #11accd, i, end color #11accd, start color #1fab54, minus, 1, end color #1fab54, start color #7854ab, minus, i, end color #7854ab, start color #e07d10, 1, end color #e07d10,... մինչև 138, start superscript, start text, end text, end superscript-երորդ անդամը, բայց դա շատ ժամանակ կխլի։
Նկատիր, որ i, start superscript, 4, end superscript, equals, 1, i, start superscript, 8, end superscript, equals, 1, i, start superscript, 12, end superscript, equals, 1, և այլն։ Այլ կերպ ասած, i-ն բարձրացրած 4-ին բազմապատիկ աստիճան հավասար է 1։
Մենք կարող ենք կիրառել աստիճանի հատկությունները՝ i, start superscript, 138, end superscript-ը պարզեցնելու համար։

Օրինակ

Պարզեցրու. i, start superscript, 138, end superscript։

Լուծում

1384-ի բազմապատիկ չէ, բայց 1364-ի բազմապատիկ է։ Օգտվենք սրանից, որպեսզի պարզեցնենք i, start superscript, 138, end superscript-ը։
i138=i136i2Աստիճանի հատկությունները=(i434)i2136=434=(i4)34i2Աստիճանի հատկությունները=(1)34i2i4=1=1(1)i2=1=1\begin{aligned} i^{138}&=i^{136}\cdot i^2&&{\gray{\text{Աստիճանի հատկությունները}}} \\\\ &=(i^{4\cdot 34})\cdot i^2&&{\gray{136=4\cdot 34}} \\\\ &=(i^{4})^{34}\cdot i^2&&{\gray{\text{Աստիճանի հատկությունները}}} \\\\ &=(1)^{34}\cdot i^2 &&{\gray{i^4=1}} \\\\ &=1\cdot (-1)&&{\gray{i^2=-1}} \\\\ &=-1 \end{aligned}
Ուրեմն i, start superscript, 138, end superscript, equals, minus, 1։
Կարող է ձեզ մոտ հարց առաջանալ, թե ինչու՞ մենք որոշեցինք i, start superscript, 138, end superscript-ը գրել i, start superscript, 136, end superscript, dot, i, squared տեսքով։
Եթե տրված աստիճանացույցը 4-ի աստիճան չէ, ապա գտնում ենք 4-ին բազմապատիկ ամենամոտ աստիճանացույցը, որը թույլ է տալիս իջեցնել աստիճանացույցը մինչև i, i, squared, կամ i, cubed և օգտվում ենք նրանից, որ i, start superscript, 4, end superscript, equals, 1։
Այդ թիվը հեշտ է գտնել՝ տրված աստիճանացույցը բաժանելով 4-ի։ Դա քանորդն է (առանց մնացորդի)՝ բազմապատկած 4-ով։

Առաջադրանքներ վարժվելու համար

Խնդիր 1

Պարզեցնել. i, start superscript, 227, end superscript։

Խնդիր 2

Պարզեցնել. i, start superscript, 2016, end superscript։

Խնդիր 3

Պարզեցնել. i, start superscript, 537, end superscript։

Խնդիր-մարտահրավեր

Տրվածներից ո՞րն է համարժեք i, start superscript, minus, 1, end superscript-ին։
Ընտրիր ճիշտ պատասխանը։

Ուզո՞ւմ ես միանալ խոսակցությանը։

Առայժմ հրապարակումներ չկան։
Անգլերեն հասկանո՞ւմ ես: Սեղմիր այստեղ և ավելի շատ քննարկումներ կգտնես «Քան» ակադեմիայի անգլերեն կայքում: