Բազմապատկման ընդհանուր կանոնը

Երբ մենք հաշվարկում ենք այնպիսի հավանականություններ, որոնց դեպքում մի պատահույթ և մեկ այլ պատահույթ տեղի են ունենում միաժամանակ, մենք բազմապատկում ենք այդ պատահույթների հավանականությունները:

Որոշ դեպքերում, առաջին պատահույթի ի հայտ գալն ազդում է երկրորդ պատահույթի հավանականության վրա: Մենք սրանց անվանում ենք կախյալ պատահույթներ:

Այլ դեպքերում, առաջին պատահույթի տեղի ունենալը չի ազդում երկրորդ պատահույթի հավանականության վրա: Մենք սրանց անկախ պատահույթներ ենք անվանում:

Որքա՞ն է մետաղադրամը երկու անգամ իրար հետևից նետելու և երկու անգամն էլ «թիվ» ընկնելու հավանականությունը։ Այսինքն, որքա՞ն է հավանականությունը, որ գիր կնկնի առաջին նետման դեպքում և երկրորդ նետման դեպքում։

Պատկերացրեք $100$‍ մարդիկ մետաղադրամը երկու անգամ նետում են: Միջին հաշվով $50$‍ մարդկանց մոտ թիվ է ընկնում առաջին նետումով, իսկ հետո նրանցից $25$‍-ի մոտ նորից թիվ է ընկնում: Այսպիսով, սկզբնական $100$‍ մարդկանցից $25$‍-ի մոտ, կամ որ նույնն է՝ նրանց $1/4$‍ մասի մոտ, երկու անգամ անընդմեջ թիվ է ընկնում:

Մարդկանց քանակը, որոնցից մենք սկսում ենք, իրականում նշանակություն չունի: Տեսականորեն, սկզբնական խմբի $1/2$‍ մասի մոտ կընկնի թիվ, և նոր խմբի $1/2$‍ մասի մոտ կրկին կընկնի թիվ: Մասի մասը գտնելու համար այդ մասերը բազմապատկում ենք.

Մենք կարող ենք այս գաղափարը ներկայացնել ստորև ներկայացված ծառ դիագրամով:

Մենք բազմապատկում ենք ճյուղերի երկայնքով գրված հավանականությունները, որպեսզի գտնենք առաջին պատահույթի և հաջորդ պատահույթի տեղի ունենալու ընդհանուր հավանականությունը:

Օրինակ, իրար հետևից երկու անգամ «գերբ» ընկնելու հավանականությունը կլինի.

Երբ երկու պատահույթներն անկախ են, կարելի է ասել, որ

Զգույշ եղիր! Այս բանաձևը վերաբերում է միայն անկախ պատահույթներին։

Ենթադրենք, որ մենք պատրաստվում ենք գլորել $6$‍ նիստ ունեցող երկու զառեր:

Մենք կարող ենք նմանատիպ ռազմավարություն կիրառել նույնիսկ այն դեպքում, երբ գործ ունենք կախյալ պատահույթների հետ:

Ենթադրենք խաղաքարտերի $52$‍ հատանոց ստանդարտ հավաքածուից վերցնում ենք երկու խաղաքարտեր՝ առանց հետ վերադարձնելու: Դա նշանակում է, որ մենք վերցնում ենք առաջին խաղաքարտը, թողնում ենք այն հավաքածուից դուրս և հետո վերցում ենք երկրորդ խաղաքարտը:

Որքա՞ն է հավանականությունը, որ ընտրված երկու խաղաքարտերն էլ կլինեն սև:

$52$‍ խաղաքարտերից կեսը սև է, ուստի հավանականությունը, որ առաջին խաղաքարտը սև կլինի $26/52$‍ է։ Սակայն հաջորդ ընտրության ժամանակ սև խաղաքարտ վերցնլու հավանականությունը փոխվում է, քանի որ սև խաղաքարտերի և ընդհանուր խաղաքարտերի քանակները երկուսն էլ նվազել են $1$‍-ով:

Ահա, թե ինչ տեսք կունենան հավանականությունները ծառ դիագրամում.

Այսպիսով, հավանականությունը, որ երկու խաղաքարտերն էլ սև կլինեն, հետևյալն է.

$5$‍ ուսանողների խմբում կան $3$‍ ավագ և $2$‍ կրտսեր խմբերի աշակերտներ: Ուսուցիչը այս խմբից պատահականորեն ընտրելու է $2$‍ ուսանողների՝ տնային առաջադրանքների լուծումներ ներկայացնելու համար:

$P(\text{B}|\text{A})$‍-ի ուղղաձիգ գիծը նշանակում է «տրված», ուստի սա կարող ենք նաև կարդալ որպես «B-ի տեղի ունենալու հավանականություն հաշվի առնելով որ A-ն տեղի է ունեցել»:

Այս բանաձևն ասում է, որ մենք կարող ենք բազմապատկել երկու պատահույթների հավանականությունները, բայց երկրորդ պատահույթի հավանականությունը հաշվելիս պետք է հաշվի առնենք առաջին պատահույթը տեղի է ունեցել։

Եթե պատահույթներն անկախ են, ապա նրանցից մեկի տեղի ունենալը չի ազդում մյուսի հավանականության վրա, և այդ դեպքում $P(\text{B}|\text{A})=P(\text{B})$‍։