Զանգվածների կենտրոնն այն ուղիղների հատման կետն է, որոնց երկայնքով ազդող ուժերը մարմնին հաղորդում են միայն համընթաց շարժում: Հիմնականում մեր քննարկած դեպքերում մարմնի ծանրության կենտրոնը և զանգվածի կենտրոնը համընկնում են:

Պարզ համասեռ խտությամբ պինդ մարմինների համար զանգվածի կենտրոնը գտնվում է մարմնի երկրաչափական կենտրոնում: Օրինակ՝ համասեռ սկավառակի զանգվածի կենտրոնը կլինի նրա կենտրոնում: Երբեմն մարմնի զանգվածի կենտրոնը չի գտնվում մարմնի վրա որևէ կետում: Օղակի զնգվածի կենտրոնը գտնվում է նրա մեջտեղում, որտեղ որևէ մարմին չկա:

Մարմինների բարդ կառուցվածքի դեպքում կարիք ունենք զանգվածի կենտրոնի ավելի ընդհանուր մաթեմատիկական սահմանման․ այն համակարգի բոլոր մասերի վրա ազդող ծանրության ուժերի վեկտորների համազորի կիրառման կետն է։

Հետաքրքիր է իմանալ, որ մարմնի կամ համակարգի զանգվածի կենտրոնն այն կետն է, որտեղ ազդում է ցանկացած համազոր ուժ։ Այս փաստը հեշտացնում է այն մեխանիկական խնդիրների լուծումը, որոնք նկարագրում են տձև մարմինների և բարդ համակարգերի շարժումը։

Հաշվարկներ կատարելու համար տձև մարմինը կարող ենք համարել այնքան փոքր մի մարմին, որի դիրքը համընկնում է զանգվածի կենտրոնի հետ։ Այդ մարմնին հաճախ անվանում ենք նյութական կետ։

Եթե պինդ մարմինը հրող ուժն ուղղված է իր զանգվածի կենտրոնից դեպի աջ, ապա այն կշարունակի շարժվել ինչպես նյութական կետ։ Այն չի պտտվի որևէ առանցքի շուրջը՝ անկախ իր իրական ձևից։ Եթե մարմնի վրա ազդող չհամակշռված ուժն ազդում է մեկ այլ կետում, ապա մարմինը կպտտվի մարմնի զանգվածի կենտրոնի շուրջը:

Հիմնականում զանգվածի կենտրոնը կարելի է գտնել համակարգում գտնվող մարմինների զանգվածների կենտրոնների շառավիղ վեկտորների գումարմամբ: Մարմնի զանգվածի կենտրոնի առանձին բաղադրիչների գտնելը ամեն մի առանցքով շատ արագ հնարք է, որը մեզ թույլ կտա խուսափել վեկտորական թվաբանությունից:

x առանցքի երկայնքով մարմինների դիրքերի համար՝

Նույն ձևով y առանցքի համար՝

Այս առնչությունները միասին թույլ կտան որոշել համակարգի զանգվածի կենտրոնի $({\mathrm{Զ}\mathrm{Կ}}_x,{\mathrm{Զ}\mathrm{Կ}}_y)$‍ կոորդինատները։ Օրինակ՝ դիտարկենք երեք հարթ համասեռ մարմիններից կազմված համակարգ, որը պատկերված է նկար 2-ում։

Զանգվածի կենտրոնի դիրքն $x$‍ առանցքի ուղղությամբ կլինի՝

իսկ $y$‍–ների առանցքի ուղղությամբ՝

Բարդ մարմինները հաճախ կարելի է ներկայացնել պարզ միանման զանգվածներով մարմիններից բաղկացած ամբողջության տեսքով։ Ապա ամեն մի մաս կարելի է մտովի պատկերացնել որպես զանգվածի կենտրոն՝ տեղադրված միջնագծերի հատման կետում։ Կարելի է նույնիսկ հաշվի առնել մարմիններում առկա դատարկությունները՝ նրանց բացասական զանգվածներով ներկայացնելու համար։

Դիտարկենք նկար 3ա–ում պատկերված հարթ, անկանոն ձև ունեցող համասեռ մարմինը։

Մենք կարող ենք այս մարմինը բաժանել 4 ուղղանկյան և մեկ շրջանի, ինչպես պատկերված է նկար 3բ–ում։ Մեզ հետաքրքրում է միայն զանգվածի կենտրոնի դիրքը նկարում պատկերված հարաբերական միավորներով։ Մարմինը համասեռ է, ուստի զանգվածն ուղիղ համեմատական է մակերեսին։ Պարզության համար մենք կարող ենք ցանկացած տիրույթի զանգված ներկայացնել մակերեսի միավորներով, ինչպես ցույց է տրված տրամագրում։

$x$‍ առանցքի ուղղությամբ զանգվածի կենտրոնի դիրքը.

Նկատի ունեցեք, որ շրջանաձև դատարկության տիրույթը $\pi \cdot 1,5^2\simeq 7,1$‍ է։ Այն հաշվի ենք առնում որպես բացասական զանգված։

$y$‍ առանցքի ուղղությամբ.

Ծանրության կենտրոնը մարմնի բոլոր մասերի վրա ազդող ծանրության ուժերի համազորի կիրառման կետն է։ Գրեթե բոլոր մեխանիկական խնդիրներում Երկրի գրավիտացիոն դաշտն ընդունված է համարել համասեռ։ Այդ դեպքում մարմնի ծանրության և զանգվածների կենտրոնները համընկնում են։ «Մարմնի ծանրության կենտրոն» կամ «զանգվածների կենտրոն» եզրույթները հաճախ օգտագործում են միմյանց փոխարեն, քանի որ դրանց դիրքերը հաճախ համընկնում են։

Պինդ ֆիզիկական մարմնի զանգվածի կենտրոնը որոշելու համար կան մի քանի փորձարարական կիրառական եղանակներ։

Մի կողմը հարթ պինդ փոքր մարմինների զանգվածի կենտրոնը որոշելու համար կարելի է կիրառել սեղանի եզրի մեթոդը (նկար 4)։ Մարմինը զգուշորեն հրում են սեղանի մակերևույթով դեպի եզրը՝ առանց պտտելու։ Այն դիրքում, որտեղից ուր որ է մարմինը կընկնի ներքև, մի գիծ է գծված սեղանի եզրին զուգահեռ։ Այս գործողությունը կրկնված է մի մարմնի համար, որը պտտվում է 90° անկյան տակ։ Երկու գծերի հատման կետը ցույց է տալիս ծանրության կենտրոնը սեղանի հարթության մեջ։

Մարմինների ծանրության կենտրոնների որոշման համար կարելի է նաև մարմինները կախել թելից։ Ստվարաթղթե տձև կտորը, որը կախված է տախտակից, դրա շատ լավ օրինակն է։ Ստվարաթուղթն ազատորեն պտտվում է պտտման կետի շուրջը, մինչև հավասարակշռության վիճակին հասնելը։ Թելի ամրացման կետով, որ ծառայում է որպես պտտման կետ, գիծ ենք տանում, ապա պտտման կետը տեղափոխում այլ կետ և այս գործընթացը նորից կրկնում։ Ծանրության կենտրոնը կլինի երկու ուղիղների հատման կետը։

Զանգվածի կենտրոնի որոշման օգտակար մեթոդ է մարմնի թեքման առավելագույն անկյան որոշումը, որից մեծ անկյունների դեպքում մարմինը կարող է շրջվել մինչև ընկնելը:

Նկար 6ա–ում պատկերված է խաչմերուկում կանգնած բեռնատարը։ Բեռնատարը թեքված է դեպի ձախ, քանզի ձախ կողմում շատ ծանր իրեր են բեռնված։ Բեռնատարի զանգվածի կենտրոնը ցույց է տրված կարմիր կետով։ Ծանրության կենտրոնից ուղղաձիգով դեպի ներքև իջնող կարմիր գիծը ցույց է տալիս բեռնատարի վրա ազդող ծանրության ուժը։ Ծանրության ուժն ազդում է ոչ միայն բեռնատարի, այլև բեռնատարում առկա բոլոր բեռների վրա։

Եթե բեռնատարը թեքված է ${\theta }_{\mathrm{t}}$‍ անկյան տակ (ինչպես ցույց է տրված նկար 6բ–ում), ապա բեռնատարի ծանրության կենտրոնն ընկած է ձախ անիվի ձախ ծայրի կողմը։ Եթե բեռնատարի թեքման անկյունը մեծանա, ապա ամբողջ ծանրության կենտրոնը պահող կետը կընկնի այդ գծից դուրս՝ ճանապարհի հետ շփման ցանկացած կետում, և բեռնատարը կշրջվի։ ${\theta }_{\mathrm{t}}$‍ անկյունը տապալման սահմանն է։

Վարժություն 1․ Նկար 7-ում պատկերված համասեռ խտությամբ մարմնի տապալման սահմանի որոշումը, երբ այն թեքված է աջ կողմի վրա։

Ֆիզիկայում հաշվարկի համակարգ եզրույթն օգտագործվում է հաշվարկներ կատարելիս, երբ գործ ունենք կոորդինատական համակարգերի հետ։ Հաշվարկի համակարգը բաղկացած է կոորդինատական առանցքներից և սկզբնակետից (0 կետից)։ Շատ խնդիրներում հաշվարկի համակարգը ամրագրված է լաբորատոր համակարգի նկատմամբ, և որպես սկզբնակետ ընտրված է հաշվարկներին հարմար սկզբնակետը։ Այս համակարգը հայտնի է լաբորատոր հաշվարկի համակարգ անվամբ։ Սակայն դասական ֆիզիկայում հնարավոր է կիրառել ցանկացած այլ համակարգ, որում ֆիզիկայի բոլոր օրենքները նույնպես տեղի ունեն։ Այդ համակարգերը ներառում են նաև լաբորատոր համակարգի նկատմամբ շարժվող այլ համակարգեր։

Զանգվածի կենտրոնի օգտակար հատկություններից է վերջինիս միջոցով շարժվող հաշվարկի համակարգի սկզբնաղբյուրը որոշելը։ Այդ հաշվարկի համակարգը հաճախ անվանում են զանգվածի կենտրոնի համակարգ։ ԶԿ համակարգն օգտակար է մասնավորապես բախման խնդիրներն ուսումնասիրելիս։ Պարզվում է, որ համակարգի իմպուլսը ՝ որոշված ԶԿ համակարգում որոշված համակարգում միշտ հավասար է զրոյի։ Սա նշանակում է, որ ԶԿ համակարգում կատարված հաշվարկները հաճախ կարող են ավելի պարզ տեսք ունենալ, քան լաբորատոր հաշվարկի համակարգում կատարվածները։ Դիտարկենք մի պարզ օրինակ․

Ենթադրենք, թե երկու տրոլեյբուսներ շարժվում են ռելսուղով նույն ուղղությամբ, ինչպես որ ցույց է տրված նկար 9-ում։ Ձախ տրոլեյբուսը շարժվում է ավելի արագ, ուստի տրոլեյբուսների միջև բախումն անխուսափելի է։ Ենթադրենք, թե բախումն առաձգական է։ Բախումից հետո որքա՞ն կլինեն տրոլեյբուսների ձեռք բերած արագությունները։