Ինչ է վեկտորական արագությունը

Արագության մասին քո պատկերացումները հավանաբար համընկնում են այդ բառի գիտական սահմանման հետ։ Օրինակ՝ գիտես, որ եթե կարճ ժամանակում մեծ տարածություն ես անցել, ապա արագությունդ մեծ է եղել։ Գիտես նաև, որ արագության չափման միավորը ստացվում է ճանապարհի և ժամանակի չափման միավորների հարաբերությունից, օրինակ՝ մղոն/ժամ և կիլոմետր/ժամ։

Միջին արագությունը տվյալ ժամանակամիջոցում դիրքի փոփոխության և այդ ժամանակամիջոցի հարաբերությունն է:

Այս բանաձևում $v_{միջ}$‍-ը միջին արագությունն է, $\mathrm{\Delta }x$‍-ը՝ դիրքի փոփոխությունը կամ տեղափոխությունը, իսկ $x_f$‍-ը և $x_0$‍-ն՝ վերջնական և սկզբնական դիրքերը համապատասխանաբար $t_f$‍ և $t_0$‍ պահերին։ Եթե որպես $t_0$‍ սկզբնական պահ վերցվում է 0 պահը, ապա միջին արագությունը ներկայացվում է հետևյալ կերպ.

Քանի որ տեղափոխությունը վեկտորական մեծություն է, ապա այս սահմանումից երևում է, որ արագությունը նույնպես վեկտորական է։ Այն ունի և՛ մեծություն, և՛ ուղղություն։ Միավորների միջազգային համակարգում (ՄՀ) արագության չափման միավորը մետր/վայրկյանն է (${\displaystyle \frac{\text{մ}}{\text{վ}}}$‍), բայց կիրառվում են նաև այլ միավորներ, ինչպիսիք են ${\displaystyle \frac{\text{կմ}}{\text{ժ}}}$‍-ը, ${\displaystyle \frac{\text{մմ}}{\text{ժ}}}$‍-ը և ${\displaystyle \frac{\text{սմ}}{\text{վ}}}$‍-ը և այլն։ Օրինակ՝ ինքնաթիռի ուղևորը 5 վայրկյանում տեղափոխվել է -4 մետր։ Այստեղ բացասական նշանը ցույց է տալիս, որ շարժումն ուղղված է դեպի ինքնաթիռի հետնամասը։ Ուղևորի միջին արագությունը կարելի է որոշել այսպես.

Բացասական նշանը ցույց է տալիս, որ միջին արագությունը նույնպես ուղղված է դեպի ինքնաթիռի հետնամասը։

Այդուհանդերձ, մարմնի միջին արագությունից որևէ տեղեկություն չենք ստանում այն մասին, թե ինչպիսին է եղել շարժումը սկզբնական և վերջնական դիրքերի միջև։ Օրինակ՝ միջին արագությունից ելնելով՝ չենք կարող ասել՝ ինքնաթիռի ուղևորը որևէ պահի կանգ է առել, թե ոչ, կամ ինքնաթիռի հետնամաս շարժվելուց առաջ հակառակ ուղղությամբ շարժվել է, թե ոչ։ Ավելի մանրամասն տեղեկություն ստանալու համար պետք է դիտարկենք շարժման ավելի փոքր տեղամասեր ավելի փոքր ժամանակամիջոցներում։ Օրինակ՝ ստորև ներկայացված նկարում տեսնում ենք, որ ընդհանուր տեղափոխությունը շարժման ընթացքում՝ $\mathrm{\Delta }{x}_{\text{լրիվ}}$‍-ը, բաղկացած է 4 մասից՝ $\mathrm{\Delta }{x}_{\text{a}}$‍, $\mathrm{\Delta }{x}_{\text{b}}$‍, $\mathrm{\Delta }{x}_{\text{c}}$‍, և $\mathrm{\Delta }{x}_{\text{d}}$‍։

Որքան փոքր են դիտարկված ժամանակամիջոցները, այնքան մանրամասն է ստացվում տեղեկությունը։ Ժամանակամիջոցներն անընդհատ փոքրացնելով՝ հանգում ենք անվերջ փոքր ժամանակամիջոցների։ Այսպիսի ժամանակամիջոցում միջին արագությունը վերածվում է ակնթարթային արագության։ Օրինակ՝ մեքենայի արագաչափը ցույց է տալիս արագության մեծությունը, բայց ոչ ուղղությունը։ Ոստիկանությունը նույնպես վարորդներին տուգանում է ակնթարթային արագության գերազանցման համար։ Սակայն եթե ցանկանում ես հաշվել, թե մի տեղից մեկ այլ տեղ որքան ժամանակում կհասնես, ապա պետք է օգտագործես միջին արագությունը։ Ակնթարթային արագությունը՝ $v$‍֊ն, միջին արագությունն է ժամանակի որոշակի պահին կամ անվերջ փոքր ժամանակամիջոցում։

Մաթեմատիկայի առումով տրված $t$‍ պահին $v$‍ ակնթարթային արագությունը հաշվելու համար կարելի է օգտագործել սահմանի գաղափարը, որն այս թեմայի շրջանակներից դուրս է։ Սակայն որոշակի պայմանների բավարարման դեպքում ակնթարթային արագության ճշգրիտ արժեքները կարող ենք որոշել նաև առանց մաթեմատիկական հաշվարկի:

Արագություն ասելով՝ նկատի ենք ունենում ինչպես վեկտորական արագությունը (վեկտորական արագության փոխարեն հաճախ գրում ենք ուղղակի արագություն), այնպես էլ դրա արժեքը (այն կոչում ենք նաև ճանապարհային արագություն)։ Ֆիզիկայում վեկտորական և ճանապարհային արագությունները տարբեր նշանակություն ունեն։ Գլխավոր տարբերությունն այն է, որ ճանապարհային արագությունն ուղղություն չունի, այսինքն, սկալյար մեծություն է։ Ինչպես ակնթարթային և վկետորական միջին արագություններն ենք տարբերակում, այնպես էլ պետք է տարբերակենք ակնթարթային և միջին ճանապարհային արագությունները։

Ակնթարթային ճանապարհային արագությունն ակնթարթային վեկտորական արագության մեծությունն է։ Օրինակ՝ ենթադրենք՝ ինքնաթիռի ուղևորը շարժման ինչ-որ պահի ուներ $-3,0{\displaystyle \frac{\text{մ}}{\text{վ}}}$‍ արագություն, որտեղ բացասական նշանը ցույց է տալիս, որ շարժումն ուղղված էր դեպի ինքնաթիռի հետնամասը։ Նույն պահին ուղևորի ակնթարթային ճանապարհային արագությունը կլիներ $3,0{\displaystyle \frac{\text{մ}}{\text{վ}}}$‍։ Կամ ենթադրենք՝ մեքենայով ճամփորդելիս ինչ-որ պահի քո ակնթարթային արագությունը $40{\displaystyle \frac{\text{կմ}}{\text{ժ}}}$‍ է և ուղղված է դեպի հյուսիս։ Այդ դեպքում քո ճանապարհային արագությունը նույն պահին կլինի $40{\displaystyle \frac{\text{կմ}}{\text{ժ}}}$‍, այսինքն՝ մեծությամբ հավասար կլինի ակնթարթային արագությանդ, բայց չի ունենա ուղղություն։ Միևնույն ժամանակ, միմյանցից լիովին տարբերվում են նաև միջին ճանապարհային և վեկտորական արագությունները։ Միջին ճանապարհային արագությունը անցած ճանապարհի և ժամանակի հարաբերությունն է։ Վեկտորական միջին և միջին ճանապարհային արագությունների մեծությունները կարող են լիովին տարբերվել այն պարագայում, երբ ակնթարթային վեկտորական (հաճախ ուղղակի ասում ենք արագություն) և ակնթարթային ճանապարհային արագությունների մեծությունները միշտ հավասար են։

Քանի որ անցած ճանապարհը կարող է մեծ լինել տեղափոխության մեծությունից, ապա միջին ճանապարհային արագությունն էլ իր հերթին կարող է մեծ լինել վեկտորական միջին արագության արժեքից։ Օրինակ՝ եթե մեքենայով գնում ես մոտակա խանութ, կես ժամում վերադառնում ես տուն, և մեքենայիդ ճանապարհաչափի ցուցմունքը 6 կմ է, ապա քո միջին ճանապարհային արագությունը եղել է $12{\displaystyle \frac{\text{կմ}}{\text{ժ}}}$‍։ Միևնույն ժամանակ միջին վեկտորական արագությունդ եղել է 0, քանի որ գնալուդ և գալուդ արդյունքում տեղափոխությունդ զրո է։ Իսկ տեղափոխությունդ զրո է, քանի որ այն վերջանական և սկզբնական դիրքերիդ տարբերությունն է։ Հետևաբար, միջին ճանապարհային արագությունը պարզապես վեկտորական միջին արագության արժեքը չէ։

Մարմնի շարժումը պատկերավոր դարձնելու եղանակներից մեկը գրաֆիկների կիրառումն է։ Կոորդինատի կամ արագության՝ ժամանակից կախումը արտահայտող գրաֆիկները կարող են շատ օգտակար լինել։ Օրինակ՝ դեպի խանութ ուղևորության ընթացքում կոորդինատի, վեկտորական և ճանապարհային արագությունների՝ ժամանակից կախվածության գրաֆիկները ներկայացված են նկար 3-ում։ Նշենք, որ այս գրաֆիկներով նկարագրվող շարժումը շատ է պարզեցված։ Այստեղ ենթադրում ենք, որ շարժման ընթացքում արագությունը մնում է հաստատուն, ինչն իրականությունից հեռու է, քանի որ խանութ հասնելուն պես ամենայն հավանականությամբ կանգնում ենք։ Բայց պարզության համար ենթադրում ենք, որ արագության փոփոխություն տեղի չի ունենում, և կանգ չենք առնում։ Նաև համարում ենք, որ տնից խանութ ճանապարհն ուղղագիծ է։

Վատ տարածական ընկալում ունեցող իգուանան անապատում հետ ու առաջ է շարժվում։ Սկզբում 20 վայրկյանի ընթացքում 12 մետր դեպի աջ է քայլում, ապա 8 վայրկյանի ընթացքում 16 մետր դեպի ձախ է վազում։

Միջին ճանապարհային արագությունը գտնելու համար անցած ընդհանուր ճանապարհը բաժանում ենք այն անցնելու ժամանակամիջոցին։

Վեկտորական միջին արագությունը գտնելու համար $\mathrm{\Delta }x$‍ տեղափոխությունը բաժանում ենք ժամանակամիջոցին։

Քաղցած դելֆինը, սնունդ որոնելով, հորիզոնական ուղղությամբ հետ ու առաջ է լողում։ Դելֆինի շարժումը ներկայացված է ստորև պատկերված շարժման գրաֆիկում։

Հաշվիր հետևյալ մեծությունները դելֆինի շարժման համար.
ա. Վեկտորական միջին արագությունը $t=0\text{ վ}$‍-ից $t=6\text{ վ}$‍ ժամանակամիջոցում,
բ. միջին ճանապարհային արագությունը $t=0\text{ վ}$‍-ից $t=6\text{ վ}$‍ ժամանակամիջոցում,
գ. ակնթարթային արագությունը $t=1\text{ վ}$‍ պահին,
դ. ակնթարթային ճանապարհային արագությունը $t=4\text{ վ}$‍ պահին:

Մաս 1. Վեկտորական միջին արագությունը միավոր ժամանակում կատարված տեղափոխությունն է։

Մաս 2. Միջին ճանապարհային արագությունը միավոր ժամանակում անցած ճանապարհն է։ Անցած ճանապարհն այն հետագծի երկարությունն է, որով անցել է դելֆինը, հետևաբար գումարում ենք դելֆինի շարժման բոլոր տեղամասերի երկարությունները։

Մաս 3. Ակնթարթային վեկտորական արագությունը մարմնի արագությունն է ժամանակի տվյալ պահին և հավասար է գրաֆիկի թեքությանն այդ պահին։ $t=1\text{ վ}$‍ պահին թեքությունը գտնելու համար հաշվում ենք $t=0\text{ վ}$‍-ից $t=3\text{ վ}$‍ ժամանակամիջոցում գրաֆիկի որևէ երկու կետերի միջև տարբերությունը ուղղաձիգ և հորիզոնական ուղղություններով (քանի որ այդ ընթացքում թեքությունը հաստատուն է)։ $t=2\text{ վ}$‍ և $t=0\text{ վ}$‍ կետերի պարագայում թեքությունը որոշում ենք այսպես.

Մաս 4. Ակնթարթային ճանապարհային արագությունը ճանապարհային արագությունն է ժամանակի տվյալ պահին և հավասար է թեքության մեծությանը։ Քանի որ $t=4\text{ վ}$‍ կետում թեքությունը զրո է, ապա ակնթարթային արագությունը $t=4\text{ վ}$‍ պահին նույնպես կլինի զրո։