Հիմնական նյութ

Դասընթաց․ (Ֆիզիկա) > Բաժին 1

Դաս 4: Շարժման հավասարումները և հորիզոնի նկատմամբ անկյան տակ նետված մարմնի շարժումը

Ի՞նչ են շարժման հավասարումները

Այստեղ ներկայացված են հիմնական հավասարումները, որոնք կարող ես օգտագործել՝ հաստատուն արագացման պարագայում շարժումը վերլուծելու համար։

Ինչ են շարժման հավասարումները

Շարժման հավասարումներ ասելով՝ հասկանում ենք այն հավասարումները, որոնք ցույց են տալիս շարժման՝ ստորև ներկայացված 5 փոփոխականների միջև կապը։

Δ x տեղափոխություն

t ժամանակամիջոց

v_{0} սկզբնական արագություն

v վերջնական արագություն

a հաստատուն արագացում

Այս հավասարումներում

t

-ով իրականում նշանակված է այն ժամանակամիջոցը, որում մարմինը կատարում է

Δ x

տեղափոխություն։ Հավանաբար ավելի հասկանալի կլիներ, եթե ժամանակամիջոցը նշանակեինք

Δ t

-ով։ Սակայն շարժման հավասարումներն արդեն իսկ բավականին խճճված են, ուստի սովորաբար պարզության համար

t

-ի դիմացի

Δ

նշանը բաց են թողնում։

Միայն թե պետք է հստակ իմանանք, որ

t

գրելով՝ իրականում նկատի ենք ունենում հենց

Δ t

ժամանակամիջոցը։

Հաստատուն արագացմամբ շարժման դեպքում այս հինգ՝

Δ x, t, v_{0}, v, a

փոփոխականներից որևէ երեքն իմանալով՝ կարող ենք գտնել մյուս՝ անհայտ փոփոխականները՝ օգտվելով շարժման հավասարումներից (տես ստորև)։

Շարժման հավասարումները հիմնականում գրվում են հետևյալ կերպ.

Այս բաժնում պարզապես կշարադրենք շարժման հավասարումները։ Ներքևի բաժիններում կարտածենք շարժման բոլոր հավասարումները, կտեսնենք, թե որտեղից են դրանք ստացվում և ինչու են ճիշտ միայն հաստատուն արագացման դեպքում։

Բացի դրանից՝ լուծված օրինակների բաժնում (տես ստորև) կլուծենք խնդիրներ, որոնցում հերթով կօգտագործենք շարժման բոլոր հավասարումները։

1. v = v_{0} + a t

2. Δ x = (\frac{v + v_{0}}{2}) t

3. Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}

4. v^{2} = v_{0}^{2} + 2 a Δ x

Շարժման հավասարումները ճիշտ են միայն այն դեպքում, երբ դիտարկվող ժամանակամիջոցում արագացումը հաստատուն է։ Ուստի պետք է ուշադիր լինել և այդ հավասարումները չօգտագործել փոփոխական արագացման դեպքում։ Բացի դրանից՝ շարժման հավասարումներում ենթադրվում է, որ բոլոր մեծություններն ունեն միևնույն ուղղությունը, օրինակ՝ ուղղված են հորիզոնական

x

, ուղղաձիգ

y

կամ որևէ այլ ուղղությամբ։

Եթե շարժման հավասարման մեջ տեղադրում ես

v_{0 x}

հորիզոնական սկզբնական արագությունը, ապա այդ հավասարման մեջ տեղադրվող մյուս՝

Δ x, v_{x}, a_{x}

մեծությունները նույնպես պետք է գրված լինեն հորիզոնական ուղղության համար։

Իսկ եթե

v_{0 y}

ուղղաձիգ սկզբնական արագությունն ես տեղադրում շարժման հավասարման մեջ, ապա այդ հավասարման մեջ տեղադրվող մյուս՝

Δ y, v_{y}, a_{y}

մեծությունները պետք է գրված լինեն ուղղաձիգ ուղղության համար։

Ավելի պարզ ասած՝ տվյալ ուղղությանը (օրինակ՝ x-ին) համապատասխանող շարժման հավասարումներում մեծություններն իրականում պետք է գրվեն այդ ուղղությունը ցույց տվող ինդեքսով՝

v_{x} = v_{0 x} + a_{x} t

Δ x = v_{0 x} t + \frac{1}{2} a_{x} t^{2}

v_{x}^{2} = v_{0 x}^{2} + 2 a_{x} Δ x

\frac{v_{x} + v_{0 x}}{2} = \frac{Δ x}{t}

Սակայն եթե այս բոլոր դասսիչնեը հավասարումների մեջ ներառենք, միգուցե խճճվենք։ Այդ իսկ պատճառով դասագրքերում, դասընթացներում և դասախոսություններում դասիչները շատ հաճախ բաց են թողնվում։ Փոխարենը պարզապես հիշում են, որ շարժման հավասարումները ճիշտ են ցանկացած (նույնիսկ հորիզոնի նկատմամբ որոշակի անկյան տակ) ուղղության համար, որի վրա արագացման պրոյեկցիան հաստատուն է։ Պարզապես հավասարման մեջ պետք է ներառված լինեն միայն շարժման փոփոխականների պրոյեկցիաները այդ ուղղության վրա։

Ինչ է ազատ շարժվող մարմինը (օրինակ՝ հորիզոնի նկատմամբ անկյան տակ նետված մարմինը)

Այն փաստը, որ շարժման հավասարումները տեղի ունեն միայն հաստատուն արագացումների դեպքում, միգուցե ստիպում է մտածել, որ շարժման հավասարումների կիրառելիության դեպքերը խիստ սահմանափակ են։ Այնինչ շարժման ամենատարածված ձևերից մեկը՝ ազատ անկումը, տեղի է ունենում հաստատուն արագացմամբ։

Ազատ անկում կատարող մարմինները (անվանում ենք նաև հորիզոնի նկատմամբ անկյան տակ նետված մարմիններ), անկախ իրենց զանգվածից, Երկրի վրա ունեն ուղղաձիգ դեպի վար ուղղված հաստատուն՝

g = 9, 81 \frac{մ}{վ^{2}}

ազատ անկման արագացում։

g = 9, 81 \frac{մ}{վ^{2}} (ազատ անկման արագացումը)

Ազատ անկում կատարող մարմին կոչում ենք այն մարմիններին, որոնք արագացում ձեռք են բերում միայն ծանրության ուժի ազդեցությամբ։ Սովորաբար համարում ենք, որ օդի դիմադրությունն այնքան փոքր է, որ կարելի է անտեսել։ Դա նշանակում է, որ ցանկացած մարմին, որը պարզապես բաց են թողել, նետել են կամ օդում շարժվում է միայն ծանրության ուժի ազդեցությամբ, համարվում է ազատ շարժվող մարմին (ազատ անկում կատարող) և ունի դեպի վար ուղղված հաստատուն՝

g = 9, 81 \frac{մ}{վ^{2}}

արագացում։

Սա միաժամանակ և՛ տարօրինակ է, և՛ լավ։ Տարօրինակ է, քանի որ ստացվում է, որ հսկայական գլաքարը և փոքր մանրաքարը կունենան ուղղաձիգ դեպի վար ուղղված միևնույն արագացումը, և եթե բաց թողնվեն միևնույն բարձրությունից, ապա գետնին կհասնեն միևնույն պահին։

Մեծ գլաքարի վրա ազդող ծանրության ուժն ավելի մեծ է։ Այդ ուժը ձգտում է մեծացնելու գլաքարի արագացումը։ Սակայն մեծ է նաև գլաքարի իներցիան՝ արագացման առաջացմանը դիմադրելու հատկությունը։ Իներցիան ձգտում է փոքրացնելու գլաքարի արագացումը։

Այս ազդեցությունները միմյանց չեզոքացնում են, ինչի արդյունքում ստացվում է, որ ազատ անկման արագացումը կախված չէ մարմնի զանգվածից։

Լավ է, քանի շարժման հավասարումները լուծելիս անհրաժեշտ չէ իմանալ մարմնի զանգվածը․ քանի դեռ օդի դիմադրությունը կարելի է անտեսել, ազատ անկում կատարող բոլոր մարմինները, անկախ զանգվածից, կունենան միևնույն՝

g = 9, 81 \frac{մ}{վ^{2}}

արագացումը։

Նկատենք, որ

g = 9, 81 \frac{մ}{վ^{2}}

-ն ընդամենը ազատ անկման արագացման մեծությունն է։ Եթե դեպի վեր ուղղությունը վերցնենք որպես դրական ուղղություն, ապա շարժման հավասարումների մեջ ազատ անկման արագացումը պետք է տեղադրենք բացասական նշանով՝

a_{y} = - 9, 81 \frac{մ}{վ^{2}}

Նախազգուշացում։ Շարժման հավասարումները օգտագործելիս ամենատարածված սխալներից մեկը բացասական նշանը մոռանալն է։

Ինչպես ընտրել և օգտագործել շարժման հավասարումները

Ընտրում ենք շարժման այն հավասարումը, որում ներառված են արդեն իսկ հայտնի բոլոր մեծությունները և որոնվող անհայտը։ Այսպես կարող ենք գտնել որոնվող անհայտը, որը լինելու է ընտրված հավասարման միակ անհայտը։

Օրինակ՝ պատկերացնենք, որ գետնին դրված գրքին ոտքով հարվածել են՝ այն նետելով դեպի առաջ

v_{0} = 5 մ/վ

սկզբնական արագությամբ։

t = 3 վ-ում

գիրքը սահել է

Δ x = 8 մ

։ Գրքի անհայտ

a

արագացումը գտնելու համար կարող ենք օգտվել

Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}

հավասարումից, քանի որ գիտենք հավասարման մեջ եղած բոլոր՝

Δ x, v_{0}, t

մեծությունների արժեքները։ Այստեղ համարում ենք, որ

a

-ն հաստատուն է։

Խորհուրդ խնդիրների լուծման համար։ Նկատենք, որ շարժման բոլոր հավասարումներից պակասում է շարժման հինգ՝

Δ x, t, v_{0}, v, a

փոփոխականներից որևէ մեկը։

1. v = v_{0} + a t (այս հավասարումից բացակայում է Δ x -ը)

2. Δ x = (\frac{v + v_{0}}{2}) t (այս հավասարումից բացակայում է a -ն)

3. Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2} (այս հավասարումից բացակայում է v -ն)

4. v^{2} = v_{0}^{2} + 2 a Δ x (այս հավասարումից բացակայում է t -ն)

Որպեսզի ընտրենք խնդրի լուծման համար անհրաժեշտ շարժման հավասարումը, պետք է նախ հասկանանք, թե որ մեծությունն է, որ ո՛չ հայտնի է, ո՛չ էլ պահանջվում է որոշել։ Օրինակ՝ վերևում տրված խնդրում գրքի

v

վերջնական արագությունը ո՛չ տրված է, ո՛չ էլ պահանջվում է որոշել։ Հետևաբար պետք է ընտրենք

v

-ն ընդհանրապես չներառող հավասարումը։

Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}

հավասարումից

v

-ն բացակայում է, հետևաբար

a

արագացումը գտնելու համար ամենահարմար հավասարումը սա է։

Անհրաժեշտ է։ Կա այդպիսի հավասարում։

5. Δ x = v t - \frac{1}{2} a t^{2} (այս հավասարումից բացակայում է v_{0} -ն)

Հինգերորդ հավասարումը շատ նման է երրորդ՝

Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}

հավասարմանը, միայն թե այստեղ

v_{0}

սկզբնական արագությունը փոխարինված է

v

վերջնական արագությամբ, իսկ դրական նշանը՝ բացասականով։ Այս հավասարումը կարելի է արտածել՝ շարժման առաջին հավասարումը երրորդի մեջ տեղադրելով։

Շարժման հինգերորդ հավասարումը այնքան էլ շատ չէ օգտագործվում, քանի որ սկզբնական արագությունը հիմնականում հայտնի/տրված է լինում։

Ինչպես արտածել շարժման առաջին՝ $v = v_{0} + a t$ ‍ հավասարումը

Շարժման այս հավասարման արտածումը ամենապարզն է, քանի որ այս հավասարումը պարզապես արագացման սահմանման ձևափոխված տարբերակն է։ Նախ գրենք արագացման սահմանումը.

a = \frac{Δ v}{Δ t}

Այո՛։ Եթե

Δ t

ժամանակամիջոցը մեծ է, ապա

a = \frac{Δ v}{Δ t}

-ով որոշվում է միջին արագացումն այդ ժամանակամիջոցում։

Այսպես՝ ստորև ներկայացվող արտածման մեջ իսկապես ենթադրվում է, որ հավասարման մեջ ներառված

a

-ն նույն միջին արագացումն է՝

a_{մ ի ջ}

։ Սակայն եթե արագացումը հաստատուն է, ապա ակնթարթային արագացումը՝

a_{ա կ ն}

, հավասար է միջին արագացմանը՝

a_{մ ի ջ}

։ Այդ դեպքում հատուկ նշելու կարիք չկա, թե ինչ արագացման մասին է խոսքը, և կարող ենք ուղղակի օգտագործել

a

նշանակումը։

Հետևաբար, որպեսզի արտածված հավասարումը ճիշտ լինի, արագացումը պետք է լինի հաստատուն։ Հակառակ դեպքում հավասարման մեջ ներառված

a

-ն կվերաբերի ոչ թե ակնթարթային, այլ միջին արագացմանը։

Այժմ

Δ v

-ի փոխարեն տեղադրենք արագության

v - v_{0}

փոփոխությունը՝

a = \frac{v - v_{0}}{Δ t}

Ի վերջո ստանում ենք

v

-ն.

v = v_{0} + a Δ t

Եթե

Δ t

-ի փոխարեն ժամանակամիջոցը նշանակենք

t

-ով, ապա կստանանք շարժման առաջին հավասարումը։

v = v_{0} + a t

Ինչպես արտածել շարժման երկրորդ՝ $Δ x = (\frac{v + v_{0}}{2}) t$ ‍ հավասարումը

Այս հավասարումը գրաֆիկորեն արտածելու համար կարող ենք դիտարկել հաստատուն արագացմամբ և

v_{0}

սկզբնական արագությամբ շարժվող մարմնի արագության գրաֆիկը (հաստատուն թեքությամբ գրաֆիկ)։ Տես ստորև տրված գրաֆիկը։

Արագության գրաֆիկով սահմանափակված պատկերի մակերեսը հավասար է $Δ x$ ‍ տեղափոխությանը։ Հետևաբար արագության այս գրաֆիկով սահմանափակված պատկերի մակերեսը կլինի մարմնի

Δ x

տեղափոխությունը։

Δ x = ընդհանուր մակերես

Այս պատկերը պայմանականորեն կարող ենք տրոհել կապույտ ուղղանկյան և կարմիր եռանկյան, ինչպես երևում է վերևում ներկայացված գրաֆիկում։

Կապույտ ուղղանկյան երկարությունը

v_{0}

է, իսկ լայնությունը՝

t

, հետևաբար, ուղղանկյան մակերեսը

v_{0} t

է։
Կարմիր եռանկյան հիմքը

t

է, իսկ բարձրությունը՝

v - v_{0}

, հետևաբար, եռանկյան մակերեսը

\frac{1}{2} t (v - v_{0})

է։

Ընդհանուր մակերեսը հավասար է կապույտ ուղղանկյան և կարմիր եռանկյան մակերեսների գումարին։

Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} t (v - v_{0})

\frac{1}{2} t

-ով անդամի փակագծերը բացելով՝ կստանանք.

Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} v t - \frac{1}{2} v_{0} t

Հավասարումը պարզեցնում ենք՝

v_{0}

-ով անդամները գումարելով.

Δ x = \frac{1}{2} v t + \frac{1}{2} v_{0} t

Վերջապես հավասարման աջ մասից ընդհանուր արտադրյալ ենք հանում և ստանում շարժման երկրորդ հավասարումը.

Δ x = (\frac{v + v_{0}}{2}) t

Այս հավասարումը հետաքրքիր է նրանով, որ հավասարման երկու կողմը

t

-ի բաժանելով՝ ստացվում է՝

\frac{Δ x}{t} = (\frac{v + v_{0}}{2})

։ Այստեղից երևում է, որ

\frac{Δ x}{t}

միջին արագությունը հավասար է սկզբնական և վերջնական արագությունների միջինին՝

\frac{v + v_{0}}{2}

-ին։ Սակայն սա տեղի ունի միայն հաստատուն արագացման դեպքում, քանի որ հավասարումն արտածել ենք հաստատուն թեքությամբ (արագացումը հաստատուն է) արագության գրաֆիկից։

Ինչպես արտածել շարժման երրորդ՝ $Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}$ ‍ հավասարումը

Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}

հավասարման արտածման մի քանի եղանակ կա։ Կա մի հետաքրքիր երկրաչափական եղանակ, նաև մեկ այլ՝ ավելի քիչ հետաքրքիր եղանակ, որը կատարվում է մի հավասարումը մյուսի մեջ տեղադրելով։ Արի նախ արտածումն անենք երկրաչափական հետաքրքիր եղանակով։

Դիցուք՝ ունենք մարմին, որն ունի

v_{0}

սկզբնական արագություն և հաստատուն արագացմամբ ձեռք է բերում

v

վերջնական արագություն, ինչպես երևում է ստորև ներկայացված գրաֆիկից։

Քանի որ արագության գրաֆիկով սահմանափակված պատկերի մակերեսը հավասար է

Δ x

տեղափոխությանը, ապա

Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}

հավասարման աջ կողմում գրված յուրաքանչյուր անդամով ներկայացվում է վերևում պատկերված գրաֆիկով սահմանափակված պատկերի որոշակի մասի մակերեսը։

v_{0} t

-ն կապույտ ուղղանկյան մակերեսն է, քանի որ

A_{ո ւ ղ ղ ա ն կ յ ո ւ ն} = h w

\frac{1}{2} a t^{2}

-ն կարմիր եռանկյան մակերեսն է, քանի որ

A_{ե ռ ա ն կ յ ո ւ ն} = \frac{1}{2} b h

Այսքանը։

Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}

հավասարումը պետք է ճիշտ լինի, քանի որ տեղափոխությունը հավասար է բեկյալով սահմանափակված պատկերի ընդհանուր մակերեսին։ Այստեղ համարեցինք, որ արագության գրաֆիկն ուղիղ թեք գիծ է, և հետևաբար կարող ենք օգտագործել եռանկյան մակերեսի բանաձևը։ Հետևաբար, ինչպես շարժման մյուս բոլոր հավասարումները, այս հավասարումը նույնպես ճիշտ է միայն հաստատուն արագացման դեպքում։

Ահա արտածման մեկ այլ եղանակ, որը կատարվում է՝ մի հավասարումը մյուսի մեջ տեղադրելով։ Շարժման երրորդ հավասարումը կարելի է արտածել՝ առաջին՝

v = v_{0} + a t

հավասարումը երկրորդ՝

\frac{Δ x}{t} = \frac{v + v_{0}}{2}

հավասարման մեջ տեղադրելով։

Եթե գրենք շարժման երկրորդ հավասարումը՝

\frac{Δ x}{t} = \frac{v + v_{0}}{2}

v

-ի փոխարեն տեղադրենք

v = v_{0} + a t

՝ կստանանք.

\frac{Δ x}{t} = \frac{(v_{0} + a t) + v_{0}}{2}

Աջ կողմի կոտորակը առանձին գումարելիների վերածելով՝ ստանում ենք.

\frac{Δ x}{t} = \frac{v_{0}}{2} + \frac{a t}{2} + \frac{v_{0}}{2}

Աջ կողմի՝

\frac{v_{0}}{2}

-ով անդամները գումարելով՝ ստանում ենք.

\frac{Δ x}{t} = v_{0} + \frac{a t}{2}

Եվ վերջապես երկու կողմերը բազմապատկելով

t

-ով՝ կստանանք շարժման երրորդ հավասարումը.

Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}

Նորից, օգտագործեցինք շարժման այլ հավասարումներ, որոնք տեղի ունեն միայն հաստատուն արագացման դեպքում, հետևաբար շարժման երրորդ հավասարումը նույնպես ճիշտ է միայն հաստատուն արագացման դեպքում։

Ինչպես արտածել շարժման չորրորդ՝ $v^{2} = v_{0}^{2} + 2 a Δ x$ ‍ հավասարումը

Շարժման չորրորդ հավասարումն ստանալու համար նախ գրենք երկրորդը.

Δ x = (\frac{v + v_{0}}{2}) t

Ուզում ենք այս հավասարման միջից «ազատվել»

t

-ից։ Դրա համար շարժման առաջին՝

v = v_{0} + a t

հավասարումից կարտահայտենք ժամանակը՝

t = \frac{v - v_{0}}{a}

t

-ի այս արտահայտությունը շարժման երկրորդ հավասարման մեջ տեղադրելով՝ կստանանք.

Δ x = (\frac{v + v_{0}}{2}) (\frac{v - v_{0}}{a})

Հավասարման աջ կողմի կոտորակները բազմապատկելով՝ ստանում ենք.

Δ x = (\frac{v^{2} - v_{0}^{2}}{2 a})

Այստեղից

v^{2}

-ն որոշելով՝ ստանում ենք շարժման չորրորդ հավասարումը.

v^{2} = v_{0}^{2} + 2 a Δ x

Ինչն է շփոթեցնում շարժման հավասարումներում

Մարդիկ հաճախ մոռանում են, որ շարժման հավասարումները ճիշտ են միայն այն դեպքում, երբ արագացումը հաստատուն է դիտարկվող ժամանակամիջոցում։

Երբեմն փոփոխականը ոչ թե ուղղակիորեն, այլ անուղղակիորեն է տրված լինում։ Օրինակ՝ «սկսում է շարժվել հանգստի վիճակից» նշանակում է, որ

v_{0} = 0

։ «Բաց է թողնվել» նշանակում է, որ

v_{0} = 0

, իսկ «կանգ է առնում» նշանակում է, որ

v = 0

։ Բացի այդ՝ ազատ անկում կատարող բոլոր մարմինների արագացումը՝

g = 9, 81 \frac{մ}{վ^{2}}

է։ Հետևաբար, եթե գործ ունենանք ազատ անկում կատարող մարմնի հետ, ապա նրա արագացումը բացահայտ կերպով նշված չի լինի, և կենթադրվի, որ այն հավասար է ազատ անկման արագացմանը։

Մարդիկ մոռանում են, որ բացի

t

-ից՝ շարժման մյուս բոլոր՝

Δ x, v_{o}, v, a

փոփոխականները կարող են ընդունել բացասական արժեքներ։ Բացասական նշանը բաց թողնելը տարածված սխալներից է։ Եթե դեպի վեր ուղությունը վերցվում է որպես դրական ուղղություն, ապա ազատ անկում կատարող մարմնի արագացումը բացասական է՝

a_{g} = - 9, 81 \frac{մ}{վ^{2}}

Շարժման երրորդ՝

Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}

հավասարումը լուծելու համար միգուցե պետք լինի լուծել քառակուսային հավասարում։ Տես ստորև ներկայացված օրինակ 3-ը։

Մարդիկ մոռանում են, որ չնայած կարելի է ընտրել ցանկացած ժամանակամիջոց, որի ընթացքում արագացումը հաստատուն է, այնուամենայնիվ, շարժման հավասարման մեջ տեղադրվող բոլոր մեծությունները պետք է համաձայնեցված լինեն ընտրված ժամանակամիջոցի հետ։ Այլ կերպ ասած՝ մարմնի

v_{0}

սկզբնական արագությունը պետք է լինի արագությունը

t

ժամանակամիջոցի սկզբնական պահին։ Հանգունորեն

v

-ն պետք է լինի արագությունը վերջնական դիրքում և դիտարկվող

t

ժամանակամիջոցի ավարտին։

Ինչ տեսք ունեն շարժման հավասարումները ներառող լուծված օրինակները

Օրինակ 1․ Շարժման առաջին հավասարումը՝ $v = v_{0} + a t$ ‍

Ջրով լցված փուչիկը բաց են թողնում շատ բարձր շենքի տանիքից։

Որքա՞ն է փուչիկի արագությունը $t = 2, 35 վ$ ‍ անց։

Համարենք, որ դեպի վեր ուղղությունը դրական ուղղությունն է։ Հայտնի են հետևյալ մեծությունները.

v_{0} = 0

(քանի որ փուչիկը բաց են թողել, ապա այն շարժումն սկսել է հանգստի վիճակից)

t = 2, 35 վ

(փորձում ենք գտնել արագությունն այս ժամանակամիջոցի ավարտին)

a_{g} = - 9, 81 \frac{մ}{վ^{2}}

(Ենթադրվում է նրանից, որ փուչիկը կատարում է ազատ անկում)

Եթե բավականաչափ երկար սպասես, ապա այո, սակայն հավասարման մեջ այդ արժեքը չենք օգտագործի երկու պատճառով։

Նախ մենք դիտարկում ենք ընդամենը

2, 35 վ

ժամանակամիջոց, որը ենթադրաբար ավելի քիչ է, քան այն ժամանակամիջոցը, որում մարմինը կհասներ գետնին։

Երկրորդը՝ շարժման հավասարումները կարող ենք օգտագործել միայն այն ժամանակամիջոցի համար, որում արագացումը հաստատուն է։ Երբ ջրով լցված փուչիկը հարվածում է գետնին, բախման հետևանքով նրա արագացումը կտրուկ փոփոխվում է։ Հետևաբար, եթե պնդում ենք, որ շարժման հավասարման մեջ ներառված արագացումը՝

a_{g} = - 9, 81 \frac{մ}{վ^{2}}

, քանի որ փուչիկն ազատ անկում է կատարում, ապա կարող ենք պնդել, որ վերջնական արագությունը 0 չէ։ Այն զրո է շարժման միայն մի հատվածում՝ գետնի հետ բախման ընթացքում (այսինքն՝ ոչ ազատ անկման ժամանակ)։ Եթե պնդեինք, որ վերջնական արագությունը զրո է, ինքներս մեզ կհակասեինք։

Եթե բախման ժամանակ արագացումը հայտնի և հաստատուն լիներ, ապա այդ ընթացքում կկարողանայինք կիրառել շարժման հավասարումները։ Սակայն դիտարկվող խնդիրը դա չէ, և ազատ անկման վերաբերյալ խնդիրներում հիմնականում կդիտարկենք միայն բացթողնման և բախման միջև ընկած ժամանակամիջոցը։

Քանի որ այս դեպքում շարժումն ուղղված է ուղղաձիգ, ապա դիրքը կնշանակենք ոչ թե

x

-ով, այլ

y

-ով։ Իրականում էական չէ, թե ինչ նշանակում ենք օգտագործում։ Կարևորը, որ այդ նշանակումը պահպանենք։ Սակայն ուղղաձիգ ուղղված շարժումը նկարագրելու համար ընդունված է օգտագործել

y

նշանակումը։

Քանի որ

Δ y

-ն անհայտ է, և չի պահանջվում որոշել

Δ y

-ը, ապա կօգտագործենք շարժման առաջին հավասարումը՝

v = v_{0} + a t

-ը, որում

Δ y

տեղափոխությունը ներառված չէ։

v = v_{0} + a t (oգտագործիր շարժման առաջին հավասարումը, քանի որ Δ y -ը դրանում ներառված չէ)

v = 0 մ/վ + (- 9, 81 \frac{մ}{վ^{2}}) (2, 35 վ) (tեղադրիր հայտնի արժեքները)

v = - 23, 1 մ/վ (hաշվիր և տոնիր)

Նշում: Վերջնական արագությունը բացասական էր, քանի որ փուչիկը շարժվում էր դեպի վար։

Ցանկության դեպքում ցանկացած խնդրում դեպի վար ուղղությունը կարող ենք համարել դրական ուղղություն։ Այդ դեպքում ամենուր պետք է պահպանենք այդ պայմանավորվածությունը։ Եթե դրական համարում ենք դեպի վար ուղղությունը, ապա դեպի վար ուղղված ցանկացած վեկտոր նույնպես պետք է համարենք դրական։

Այս դեպքում արագացումը կլինի

+ 9, 8 \frac{մ}{վ^{2}}

, և վերջնական արագությունը կլինի դրական, ոչ թե բացասական։

Օրինակ 2․ Շարժման երկրորդ հավասարումը՝ $Δ x = (\frac{v + v_{0}}{2}) t$ ‍

Հովազը վազում է 6,20 մ/վ արագությամբ, ապա տեսնելով պաղպաղակի մեքենայի տեսք ունեցող պատկեր՝ 3,3 վայրկյանում ձեռք է բերում 23,1մ/վ արագություն։

Որքա՞ն ճանապարհ է անցնում հովազը արագությունը 6,20 մ/վ-ից մինչև 23,1 մ/վ մեծացնելիս։

Համարենք, որ շարժման սկզբնական ուղղությունը դրական ուղղությունն է։ Հայտնի են հետևյալ մեծություններրը.

v_{0} = 6, 20 մ/վ

(հովազի սկզբնական արագությունը)

v = 23, 1 մ/վ

(հովազի վերջնական արագությունը)

t = 3, 30 վ

(այն ժամանակամիջոցը, որի ընթացքում հովազը շարժվել է արագացմամբ)

Քանի որ

a

արագացումը հայտնի չէ, և չի պահանջվում այն որոշել, ապա կօգտվենք հորիզոնական ուղղության համար գրված շարժման երկրորդ՝

Δ x = (\frac{v + v_{0}}{2}) t

հավասարումից, որում

a

-ն ներառված չէ։

Δ x = (\frac{v + v_{0}}{2}) t (oգտագործիր շարժման երկրորդ հավասարումը, քանի որ a -ն դրանում ներառված չէ)

Δ x = (\frac{23, 1 մ/վ + 6, 20 մ/վ}{2}) (3, 30 վ) (տեղադրիր հայտնի արժեքները)

Δ x = 48, 3 մ (հաշվիր և տոնիր)

Օրինակ 3․ Շարժման երրորդ հավասարումը՝ $Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}$ ‍

Ուսանողը հոգնում է շարժման հավասարումների վերաբերյալ տնային աշխատանքը կատարելուց և մատիտը 18,3 մ/վ արագությամբ նետում է դեպի վեր։

Որքա՞ն ժամանակ անց մատիտն առաջին անգամ կանցնի նետման կետից 12,2 մ բարձրության վրա գտնվող կետով։

Համարենք, որ դեպի վեր ուղղությունը դրական ուղղությունն է։ Հայտնի են հետևյալ մեծությունները.

v_{0} = 18, 3 մ/վ

(մատիտի՝ դեպի վեր ուղղված սկզբնական արագությունը)

Δ y = 12, 2 մ

(ուզում ենք գտնել այն ժամանակամիջոցը, որում մատիտը կատարում է այսքան տեղափոխություն)

a = - 9, 81 \frac{մ}{վ^{2}}

(ազատ անկման արագացումը)

Քանի որ

v

-ի վերջնական արագությունն անհայտ է, և չի պահանջվում այն որոշել, ապա կօգտվենք ուղղաձիգ ուղղության համար գրված շարժման երրորդ՝

Δ y = v_{0 y} t + \frac{1}{2} a_{y} t^{2}

հավասարումից, որում

v

-ն ներառված չէ։

Δ y = v_{0 y} t + \frac{1}{2} a_{y} t^{2} (նախ գրիր շարժման երրորդ հավասարումը)

Պարզ դեպքում որոնվող անհայտը գտնելու համար այս հավասարումը կլուծեինք որպես գծային հավասարում, սակայն եթե հավասարման անդամներից ոչ մեկը զրո չէ, ապա այստեղից գծայնորեն չենք կարողանա գտնել ժամանակամիջոցը․ երբ անդամներից ոչ մեկը զրո չէ, իսկ որոնվող անհայտը

t

-ն է, հավասարումը դառնում է քառակուսային։ Սա կարող ենք տեսնել՝ հայտնի արժեքները հավասարման մեջ տեղադրելով։

12, 2 մ = (18, 3 մ/վ) t + \frac{1}{2} (- 9, 81 \frac{մ}{վ^{2}}) t^{2} (տեղադրիր հայտնի արժեքները)

Քառակուսային հավասարումն ավելի պարզ տեսքի բերելու համար հավասարման բոլոր անդամները տեղափոխում ենք մի կողմ։ Երկու կողմերից 12,2 մ հանելով՝ ստանում ենք.

0 = \frac{1}{2} (- 9, 81 \frac{մ}{վ^{2}}) t^{2} + (18, 3 մ/վ) t - 12, 2 մ (ներկայացրու քառակուսային հավասարման տեսքով)

Այժմ կարող ենք քառակուսային հավասարումից գտնել

t

-ն։

a t^{2} + b t + c = 0

տեսքի քառակուսային հավասարման արմատները գտնելու համար օգտագործում ենք

t = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

բանաձևը։ Մեր հավասարման դեպքում՝

a = \frac{1}{2} (- 9, 81 \frac{մ}{վ^{2}})

b = 18, 3 մ/վ

, իսկ

c = - 12, 2 մ

Այս արժեքները քառակուսային հավասարման մեջ տեղադրելով՝ ստանում ենք.

t = \frac{- 18, 3 մ/վ \pm \sqrt{(18, 3 մ/վ)^{2} - 4 [\frac{1}{2} (- 9, 81 \frac{մ}{վ^{2}}) (- 12, 2 մ)]}}{2 [\frac{1}{2} (- 9, 81 \frac{մ}{վ^{2}})]}

Քանի որ քառակուսային բանաձևում կան դրական և բացասական նշաններ, ապա ստանում ենք

t

-ի երկու արժեք՝ մեկը

+

-ի, իսկ մյուսը՝

-

-ի դեպքում։ Վերևում գրված քառակուսային բանաձևից ստանում ենք հետևյալ երկու արժեքները.

t = 0, 869 վ

t = 2, 86 վ

Հավասարումն ունի երկու դրական լուծում, քանի որ մատիտը 12,2 մ բարձրության վրա հայտնվում է երկու անգամ։ Փոքր արժեքը համապատասխանում է այն պահին, երբ մատիտը վեր թռչելով՝ առաջին անգամ հասնում է 12,2 մ բարձրության։ Մեծ արժեքը համապատասխանում է այն պահին, երբ մատիտը վեր թռչելուց, 12,2 մ բարձրությամբ անցնելուց, հետագծի ամենաբարձր կետին հասնելուց հետո շարժվում է դեպի վար և կրկին հասնում 12,2 մ բարձրությամբ կետին։

Այսպիսով՝ «նետումից որքա՞ն ժամանակ անց մատիտն առաջին անգամ կանցնի նետման կետից 12,2 մ բարձրության վրա գտնվող կետով» հարցի պատասխանը ստացված փոքր արժեքն է՝

t = 0, 869 վ

Եթե ժամանակի՝ քառակուսային հավասարումից ստացվող արժեքներից մեկը բացասական է, իսկ մյուսը՝ դրական, ապա խնդրում դիտարկվող մարմինը նետվելուց հետո միայն մեկ անգամ կհասնի նշված կետին։ Այդ դեպքում կարող ենք պարզապես անտեսել ժամանակի բացասական արժեքը և որպես պատասխան վերցնել դրականը։

Բացասական ժամանակը վերաբերում է մինչև նետումն ընկած ժամանակահատվածի այն պահին, երբ մարմինը կարող էր լինել նշված կետում։ Այլ կերպ ասած՝ կարող ենք համարել, որ մարմինը մինչև նետումը եղել է շարժման նույն հետագծի վրա և հենց նոր է տվյալ սկզբնական արագությամբ հասել նետման կետին։

Օրինակ 4․ Շարժման չորրորդ հավասարումը՝ $v^{2} = v_{0}^{2} + 2 a Δ x$ ‍

Եվրոպացի մոտոցիկլավարը սկսում է շարժվել 23,4 մ/վ արագությամբ և, խցանումը տեսնելով, որոշում է դանդաղեցնել ընթացքը։ Մոտոցիկլավարը

3, 20 \frac{մ}{վ^{2}}

հաստատուն արագացմամբ անցնում է 50,2 մ։ Համարենք, որ մոտոցիկլետն ամբողջ ընթացքում առաջ է շարժվում։

Որքա՞ն է մոտոցիկլետի արագությունը արագացմամբ 50,2 մ անցնելուց հետո։

Համարենք, որ շարժման սկզբնական ուղղությունը դրական ուղղությունն է։ Հայտնի են հետևյալ մեծություններրը.

v_{0} = 23, 4 մ/վ

(մոտոցիկլետի սկզբնական արագությունը)

a = - 3, 20 \frac{մ}{վ^{2}}

(արագացումը բացասական է, քանի որ մոտոցիկլետը դանդաղեցնում է ընթացքը, իսկ մոտոցիկլետի շարժման ուղղությունը վերցվել է որպես դրական ուղղություն)

Δ x = 50, 2 մ

(ուզում ենք գտնել այն արագությունը, որը կունենա մոտոցիկլետը այսքան տեղափոխություն կատարելուց հետո)

Քանի որ

t

ժամանակամիջոցն անհայտ է, և չի պահանջվում այն որոշել, ապա կօգտվենք հորիզոնական ուղղության համար գրված շարժման չորրորդ՝

v_{x}^{2} = v_{0 x}^{2} + 2 a_{x} Δ x

հավասարումից, որում

t

-ն ներառված չէ։

v_{x}^{2} = v_{0 x}^{2} + 2 a_{x} Δ x (նախ գրիր շարժման չորրորդ հավասարումը)

v_{x} = \pm \sqrt{v_{0 x}^{2} + 2 a_{x} Δ x} (հանրահաշվորեն որոշիր վերջնական արագությունը)

Նկատենք, որ քառակուսի արմատ հանելիս ստանում ես երկու պատասխան՝ դրական և բացասական։ Քանի որ մոտոցիկլետը շարժվելու է նույն ուղղությամբ, ինչ ուղղությամբ որ սկսել էր շարժումը (իսկ այդ ուղղությունը համարել ենք դրական), ապա կվերցնենք դրական արմատը՝

v_{x} = + \sqrt{v_{0 x}^{2} + 2 a_{x} Δ x}

Այժմ կարող ենք տեղադրել արժեքները։ Կստանանք՝

v_{x} = \sqrt{(23, 4 մ/վ)^{2} + 2 (- 3, 20 \frac{մ}{վ^{2}}) (50, 2 մ)} (տեղադրիր հայտնի արժեքները)

v_{x} = 15, 0 մ/վ (hաշվիր և տոնիր)

Ուզո՞ւմ ես միանալ խոսակցությանը։

Մուտք գործել

Դասակարգել ըստ

Առայժմ հրապարակումներ չկան։

Անգլերեն հասկանո՞ւմ ես: Սեղմիր այստեղ և ավելի շատ քննարկումներ կգտնես «Քան» ակադեմիայի անգլերեն կայքում:

Ֆիզիկա

Դասընթաց․ (Ֆիզիկա) > Բաժին 1

Ինչ են շարժման հավասարումները

Ինչ է ազատ շարժվող մարմինը (օրինակ՝ հորիզոնի նկատմամբ անկյան տակ նետված մարմինը)

Ինչպես ընտրել և օգտագործել շարժման հավասարումները

Ինչպես արտածել շարժման առաջին՝ v=v0+at‍ հավասարումը

Ինչպես արտածել շարժման երկրորդ՝ Δx=(v+v02)t‍ հավասարումը

Ինչպես արտածել շարժման երրորդ՝ Δx=v0t+12at2‍ հավասարումը

Ինչպես արտածել շարժման չորրորդ՝ v2=v02+2aΔx‍ հավասարումը

Ինչն է շփոթեցնում շարժման հավասարումներում

Ինչ տեսք ունեն շարժման հավասարումները ներառող լուծված օրինակները

Օրինակ 1․ Շարժման առաջին հավասարումը՝ v=v0+at‍

Օրինակ 2․ Շարժման երկրորդ հավասարումը՝ Δx=(v+v02)t‍

Օրինակ 3․ Շարժման երրորդ հավասարումը՝ Δx=v0t+12at2‍

Օրինակ 4․ Շարժման չորրորդ հավասարումը՝ v2=v02+2aΔx‍

Ուզո՞ւմ ես միանալ խոսակցությանը։

Ինչպես արտածել շարժման առաջին՝ $v = v_{0} + a t$ ‍ հավասարումը

Ինչպես արտածել շարժման երկրորդ՝ $Δ x = (\frac{v + v_{0}}{2}) t$ ‍ հավասարումը

Ինչպես արտածել շարժման երրորդ՝ $Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}$ ‍ հավասարումը

Ինչպես արտածել շարժման չորրորդ՝ $v^{2} = v_{0}^{2} + 2 a Δ x$ ‍ հավասարումը

Օրինակ 1․ Շարժման առաջին հավասարումը՝ $v = v_{0} + a t$ ‍

Օրինակ 2․ Շարժման երկրորդ հավասարումը՝ $Δ x = (\frac{v + v_{0}}{2}) t$ ‍

Օրինակ 3․ Շարժման երրորդ հավասարումը՝ $Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}$ ‍

Օրինակ 4․ Շարժման չորրորդ հավասարումը՝ $v^{2} = v_{0}^{2} + 2 a Δ x$ ‍