Հիմնական նյութ

Ֆիզիկա

Դասընթաց․ (Ֆիզիկա) > Բաժին 1

Դաս 4: Շարժման հավասարումները և հորիզոնի նկատմամբ անկյան տակ նետված մարմնի շարժումը

Ի՞նչ են շարժման հավասարումները

Այստեղ ներկայացված են հիմնական հավասարումները, որոնք կարող ես օգտագործել՝ հաստատուն արագացման պարագայում շարժումը վերլուծելու համար։

Ինչ են շարժման հավասարումները

Շարժման հավասարումներ ասելով՝ հասկանում ենք այն հավասարումները, որոնք ցույց են տալիս շարժման՝ ստորև ներկայացված 5 փոփոխականների միջև կապը։

delta, x, start text, տ, ե, ղ, ա, փ, ո, խ, ո, ւ, թ, յ, ո, ւ, ն, end text
t, start text, ժ, ա, մ, ա, ն, ա, կ, ա, մ, ի, ջ, ո, ց, end text, space
v, start subscript, 0, end subscript, space, space, start text, ս, կ, զ, բ, ն, ա, կ, ա, ն, space, ա, ր, ա, գ, ո, ւ, թ, յ, ո, ւ, ն, end text, space
v, space, space, space, start text, վ, ե, ր, ջ, ն, ա, կ, ա, ն, space, ա, ր, ա, գ, ո, ւ, թ, յ, ո, ւ, ն, end text, space
a, space, space, start text, space, հ, ա, ս, տ, ա, տ, ո, ւ, ն, space, ա, ր, ա, գ, ա, ց, ո, ւ, մ, end text, space

[Ինչու՞ ենք այժմ ժամանակամիջոցը նշանակում t-ով։]

Հաստատուն արագացմամբ շարժման դեպքում այս հինգ՝ delta, x, comma, t, comma, v, start subscript, 0, end subscript, comma, v, comma, a փոփոխականներից որևէ երեքն իմանալով՝ կարող ենք գտնել մյուս՝ անհայտ փոփոխականները՝ օգտվելով շարժման հավասարումներից (տես ստորև)։

Շարժման հավասարումները հիմնականում գրվում են հետևյալ կերպ.

[Որտեղի՞ց են ստացվում այս հավասարումները։]

1, point, v, equals, v, start subscript, 0, end subscript, plus, a, t

2, point, delta, x, equals, left parenthesis, start fraction, v, plus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, t

3, point, delta, x, equals, v, start subscript, 0, end subscript, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, a, t, squared

4, point, v, squared, equals, v, start subscript, 0, end subscript, squared, plus, 2, a, delta, x

Շարժման հավասարումները ճիշտ են միայն այն դեպքում, երբ դիտարկվող ժամանակամիջոցում արագացումը հաստատուն է։ Ուստի պետք է ուշադիր լինել և այդ հավասարումները չօգտագործել փոփոխական արագացման դեպքում։ Բացի դրանից՝ շարժման հավասարումներում ենթադրվում է, որ բոլոր մեծություններն ունեն միևնույն ուղղությունը, օրինակ՝ ուղղված են հորիզոնական x, ուղղաձիգ y կամ որևէ այլ ուղղությամբ։

[Սպասիր։ Ի՞նչ ասացինք։]

Ինչ է ազատ շարժվող մարմինը (օրինակ՝ հորիզոնի նկատմամբ անկյան տակ նետված մարմինը)

Այն փաստը, որ շարժման հավասարումները տեղի ունեն միայն հաստատուն արագացումների դեպքում, միգուցե ստիպում է մտածել, որ շարժման հավասարումների կիրառելիության դեպքերը խիստ սահմանափակ են։ Այնինչ շարժման ամենատարածված ձևերից մեկը՝ ազատ անկումը, տեղի է ունենում հաստատուն արագացմամբ։

Ազատ անկում կատարող մարմինները (անվանում ենք նաև հորիզոնի նկատմամբ անկյան տակ նետված մարմիններ), անկախ իրենց զանգվածից, Երկրի վրա ունեն ուղղաձիգ դեպի վար ուղղված հաստատուն՝ g, equals, 9, comma, 81, start fraction, start text, մ, end text, divided by, start text, վ, end text, squared, end fraction ազատ անկման արագացում։

g, equals, 9, comma, 81, start fraction, start text, մ, end text, divided by, start text, վ, end text, squared, end fraction, start text, left parenthesis, ա, զ, ա, տ, space, ա, ն, կ, մ, ա, ն, space, ա, ր, ա, գ, ա, ց, ո, ւ, մ, ը, right parenthesis, end text

Ազատ անկում կատարող մարմին կոչում ենք այն մարմիններին, որոնք արագացում ձեռք են բերում միայն ծանրության ուժի ազդեցությամբ։ Սովորաբար համարում ենք, որ օդի դիմադրությունն այնքան փոքր է, որ կարելի է անտեսել։ Դա նշանակում է, որ ցանկացած մարմին, որը պարզապես բաց են թողել, նետել են կամ օդում շարժվում է միայն ծանրության ուժի ազդեցությամբ, համարվում է ազատ շարժվող մարմին (ազատ անկում կատարող) և ունի դեպի վար ուղղված հաստատուն՝ g, equals, 9, comma, 81, start fraction, start text, մ, end text, divided by, start text, վ, end text, squared, end fraction արագացում։

Սա միաժամանակ և՛ տարօրինակ է, և՛ լավ։ Տարօրինակ է, քանի որ ստացվում է, որ հսկայական գլաքարը և փոքր մանրաքարը կունենան ուղղաձիգ դեպի վար ուղղված միևնույն արագացումը, և եթե բաց թողնվեն միևնույն բարձրությունից, ապա գետնին կհասնեն միևնույն պահին։

[Այդ ինչպե՞ս:]

Լավ է, քանի շարժման հավասարումները լուծելիս անհրաժեշտ չէ իմանալ մարմնի զանգվածը․ քանի դեռ օդի դիմադրությունը կարելի է անտեսել, ազատ անկում կատարող բոլոր մարմինները, անկախ զանգվածից, կունենան միևնույն՝ g, equals, 9, comma, 81, start fraction, start text, մ, end text, divided by, start text, վ, end text, squared, end fraction արագացումը։

Նկատենք, որ g, equals, 9, comma, 81, start fraction, start text, մ, end text, divided by, start text, վ, end text, squared, end fraction-ն ընդամենը ազատ անկման արագացման մեծությունն է։ Եթե դեպի վեր ուղղությունը վերցնենք որպես դրական ուղղություն, ապա շարժման հավասարումների մեջ ազատ անկման արագացումը պետք է տեղադրենք բացասական նշանով՝ a, start subscript, y, end subscript, equals, minus, 9, comma, 81, start fraction, start text, մ, end text, divided by, start text, վ, end text, squared, end fraction։

Նախազգուշացում։ Շարժման հավասարումները օգտագործելիս ամենատարածված սխալներից մեկը բացասական նշանը մոռանալն է։

Ինչպես ընտրել և օգտագործել շարժման հավասարումները

Ընտրում ենք շարժման այն հավասարումը, որում ներառված են արդեն իսկ հայտնի բոլոր մեծությունները և որոնվող անհայտը։ Այսպես կարող ենք գտնել որոնվող անհայտը, որը լինելու է ընտրված հավասարման միակ անհայտը։

Օրինակ՝ պատկերացնենք, որ գետնին դրված գրքին ոտքով հարվածել են՝ այն նետելով դեպի առաջ v, start subscript, 0, end subscript, equals, 5, start text, space, մ, slash, վ, end text սկզբնական արագությամբ։ t, equals, 3, start text, space, վ, negative, ո, ւ, մ, end text գիրքը սահել է delta, x, equals, 8, start text, space, մ, end text։ Գրքի անհայտ a արագացումը գտնելու համար կարող ենք օգտվել delta, x, equals, v, start subscript, 0, end subscript, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, a, t, squared հավասարումից, քանի որ գիտենք հավասարման մեջ եղած բոլոր՝ delta, x, comma, v, start subscript, 0, end subscript, comma, t մեծությունների արժեքները։ Այստեղ համարում ենք, որ a-ն հաստատուն է։

Խորհուրդ խնդիրների լուծման համար։ Նկատենք, որ շարժման բոլոր հավասարումներից պակասում է շարժման հինգ՝ delta, x, comma, t, comma, v, start subscript, 0, end subscript, comma, v, comma, a փոփոխականներից որևէ մեկը։

1, point, v, equals, v, start subscript, 0, end subscript, plus, a, t, start text, left parenthesis, ա, յ, ս, space, հ, ա, վ, ա, ս, ա, ր, ո, ւ, մ, ի, ց, space, բ, ա, ց, ա, կ, ա, յ, ո, ւ, մ, space, է, space, delta, x, negative, ը, right parenthesis, end text

2, point, delta, x, equals, left parenthesis, start fraction, v, plus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, t, start text, left parenthesis, ա, յ, ս, space, հ, ա, վ, ա, ս, ա, ր, ո, ւ, մ, ի, ց, space, բ, ա, ց, ա, կ, ա, յ, ո, ւ, մ, space, է, space, a, negative, ն, right parenthesis, end text

3, point, delta, x, equals, v, start subscript, 0, end subscript, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, a, t, squared, start text, left parenthesis, ա, յ, ս, space, հ, ա, վ, ա, ս, ա, ր, ո, ւ, մ, ի, ց, space, բ, ա, ց, ա, կ, ա, յ, ո, ւ, մ, space, է, space, v, negative, ն, right parenthesis, end text

4, point, v, squared, equals, v, start subscript, 0, end subscript, squared, plus, 2, a, delta, x, start text, left parenthesis, ա, յ, ս, space, հ, ա, վ, ա, ս, ա, ր, ո, ւ, մ, ի, ց, space, բ, ա, ց, ա, կ, ա, յ, ո, ւ, մ, space, է, space, t, negative, ն, right parenthesis, end text

Որպեսզի ընտրենք խնդրի լուծման համար անհրաժեշտ շարժման հավասարումը, պետք է նախ հասկանանք, թե որ մեծությունն է, որ ո՛չ հայտնի է, ո՛չ էլ պահանջվում է որոշել։ Օրինակ՝ վերևում տրված խնդրում գրքի v վերջնական արագությունը ո՛չ տրված է, ո՛չ էլ պահանջվում է որոշել։ Հետևաբար պետք է ընտրենք v-ն ընդհանրապես չներառող հավասարումը։ delta, x, equals, v, start subscript, 0, end subscript, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, a, t, squared հավասարումից v-ն բացակայում է, հետևաբար a արագացումը գտնելու համար ամենահարմար հավասարումը սա է։

[Անհրաժեշտ չէ՞ արդյոք մեկ այլ՝ հինգերորդ հավասարում, որից բացակայի սկզբնական արագությունը։]

Ինչպես արտածել շարժման առաջին՝ v, equals, v, start subscript, 0, end subscript, plus, a, t հավասարումը

Շարժման այս հավասարման արտածումը ամենապարզն է, քանի որ այս հավասարումը պարզապես արագացման սահմանման ձևափոխված տարբերակն է։ Նախ գրենք արագացման սահմանումը.

a, equals, start fraction, delta, v, divided by, delta, t, end fraction

\quad

[Սա միջին արագացումը չէ՞։]

Այժմ delta, v-ի փոխարեն տեղադրենք արագության v, minus, v, start subscript, 0, end subscript փոփոխությունը՝

a, equals, start fraction, v, minus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, delta, t, end fraction

Ի վերջո ստանում ենք v-ն.

v, equals, v, start subscript, 0, end subscript, plus, a, delta, t

Եթե delta, t-ի փոխարեն ժամանակամիջոցը նշանակենք t-ով, ապա կստանանք շարժման առաջին հավասարումը։

v, equals, v, start subscript, 0, end subscript, plus, a, t

Ինչպես արտածել շարժման երկրորդ՝ delta, x, equals, left parenthesis, start fraction, v, plus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, t հավասարումը

Այս հավասարումը գրաֆիկորեն արտածելու համար կարող ենք դիտարկել հաստատուն արագացմամբ և v, start subscript, 0, end subscript սկզբնական արագությամբ շարժվող մարմնի արագության գրաֆիկը (հաստատուն թեքությամբ գրաֆիկ)։ Տես ստորև տրված գրաֆիկը։

Արագության գրաֆիկով սահմանափակված պատկերի մակերեսը հավասար է delta, x տեղափոխությանը։ Հետևաբար արագության այս գրաֆիկով սահմանափակված պատկերի մակերեսը կլինի մարմնի delta, x տեղափոխությունը։

delta, x, equals, start text, ը, ն, դ, հ, ա, ն, ո, ւ, ր, space, մ, ա, կ, ե, ր, ե, ս, end text

Այս պատկերը պայմանականորեն կարող ենք տրոհել կապույտ ուղղանկյան և կարմիր եռանկյան, ինչպես երևում է վերևում ներկայացված գրաֆիկում։

Կապույտ ուղղանկյան երկարությունը v, start subscript, 0, end subscript է, իսկ լայնությունը՝ t, հետևաբար, ուղղանկյան մակերեսը v, start subscript, 0, end subscript, t է։
Կարմիր եռանկյան հիմքը t է, իսկ բարձրությունը՝ v, minus, v, start subscript, 0, end subscript, հետևաբար, եռանկյան մակերեսը start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, t, left parenthesis, v, minus, v, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis է։

Ընդհանուր մակերեսը հավասար է կապույտ ուղղանկյան և կարմիր եռանկյան մակերեսների գումարին։

delta, x, equals, v, start subscript, 0, end subscript, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, t, left parenthesis, v, minus, v, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis

start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, t-ով անդամի փակագծերը բացելով՝ կստանանք.

delta, x, equals, v, start subscript, 0, end subscript, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, v, t, minus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, v, start subscript, 0, end subscript, t

Հավասարումը պարզեցնում ենք՝ v, start subscript, 0, end subscript-ով անդամները գումարելով.

delta, x, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, v, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, v, start subscript, 0, end subscript, t

Վերջապես հավասարման աջ մասից ընդհանուր արտադրյալ ենք հանում և ստանում շարժման երկրորդ հավասարումը.

delta, x, equals, left parenthesis, start fraction, v, plus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, t

Այս հավասարումը հետաքրքիր է նրանով, որ հավասարման երկու կողմը t-ի բաժանելով՝ ստացվում է՝ start fraction, delta, x, divided by, t, end fraction, equals, left parenthesis, start fraction, v, plus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction, right parenthesis։ Այստեղից երևում է, որ start fraction, delta, x, divided by, t, end fraction միջին արագությունը հավասար է սկզբնական և վերջնական արագությունների միջինին՝ start fraction, v, plus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction-ին։ Սակայն սա տեղի ունի միայն հաստատուն արագացման դեպքում, քանի որ հավասարումն արտածել ենք հաստատուն թեքությամբ (արագացումը հաստատուն է) արագության գրաֆիկից։

Ինչպես արտածել շարժման երրորդ՝ delta, x, equals, v, start subscript, 0, end subscript, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, a, t, squared հավասարումը

delta, x, equals, v, start subscript, 0, end subscript, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, a, t, squared հավասարման արտածման մի քանի եղանակ կա։ Կա մի հետաքրքիր երկրաչափական եղանակ, նաև մեկ այլ՝ ավելի քիչ հետաքրքիր եղանակ, որը կատարվում է մի հավասարումը մյուսի մեջ տեղադրելով։ Արի նախ արտածումն անենք երկրաչափական հետաքրքիր եղանակով։

Դիցուք՝ ունենք մարմին, որն ունի v, start subscript, 0, end subscript սկզբնական արագություն և հաստատուն արագացմամբ ձեռք է բերում v վերջնական արագություն, ինչպես երևում է ստորև ներկայացված գրաֆիկից։

Քանի որ արագության գրաֆիկով սահմանափակված պատկերի մակերեսը հավասար է delta, x տեղափոխությանը, ապա delta, x, equals, v, start subscript, 0, end subscript, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, a, t, squared հավասարման աջ կողմում գրված յուրաքանչյուր անդամով ներկայացվում է վերևում պատկերված գրաֆիկով սահմանափակված պատկերի որոշակի մասի մակերեսը։

v, start subscript, 0, end subscript, t-ն կապույտ ուղղանկյան մակերեսն է, քանի որ A, start subscript, ո, ւ, ղ, ղ, ա, ն, կ, յ, ո, ւ, ն, end subscript, equals, h, w։

start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, a, t, squared-ն կարմիր եռանկյան մակերեսն է, քանի որ A, start subscript, ե, ռ, ա, ն, կ, յ, ո, ւ, ն, end subscript, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, b, h։

[Սպասիր, ինչպե՞ս։]

Այսքանը։ delta, x, equals, v, start subscript, 0, end subscript, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, a, t, squared հավասարումը պետք է ճիշտ լինի, քանի որ տեղափոխությունը հավասար է բեկյալով սահմանափակված պատկերի ընդհանուր մակերեսին։ Այստեղ համարեցինք, որ արագության գրաֆիկն ուղիղ թեք գիծ է, և հետևաբար կարող ենք օգտագործել եռանկյան մակերեսի բանաձևը։ Հետևաբար, ինչպես շարժման մյուս բոլոր հավասարումները, այս հավասարումը նույնպես ճիշտ է միայն հաստատուն արագացման դեպքում։

Ահա արտածման մեկ այլ եղանակ, որը կատարվում է՝ մի հավասարումը մյուսի մեջ տեղադրելով։ Շարժման երրորդ հավասարումը կարելի է արտածել՝ առաջին՝ v, equals, v, start subscript, 0, end subscript, plus, a, t հավասարումը երկրորդ՝ start fraction, delta, x, divided by, t, end fraction, equals, start fraction, v, plus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction հավասարման մեջ տեղադրելով։

Եթե գրենք շարժման երկրորդ հավասարումը՝

start fraction, delta, x, divided by, t, end fraction, equals, start fraction, v, plus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction

և v-ի փոխարեն տեղադրենք v, equals, v, start subscript, 0, end subscript, plus, a, t՝ կստանանք.

start fraction, delta, x, divided by, t, end fraction, equals, start fraction, left parenthesis, v, start subscript, 0, end subscript, plus, a, t, right parenthesis, plus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction

Աջ կողմի կոտորակը առանձին գումարելիների վերածելով՝ ստանում ենք.

start fraction, delta, x, divided by, t, end fraction, equals, start fraction, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction, plus, start fraction, a, t, divided by, 2, end fraction, plus, start fraction, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction

Աջ կողմի՝ start fraction, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction-ով անդամները գումարելով՝ ստանում ենք.

start fraction, delta, x, divided by, t, end fraction, equals, v, start subscript, 0, end subscript, plus, start fraction, a, t, divided by, 2, end fraction

Եվ վերջապես երկու կողմերը բազմապատկելով t-ով՝ կստանանք շարժման երրորդ հավասարումը.

delta, x, equals, v, start subscript, 0, end subscript, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, a, t, squared

Նորից, օգտագործեցինք շարժման այլ հավասարումներ, որոնք տեղի ունեն միայն հաստատուն արագացման դեպքում, հետևաբար շարժման երրորդ հավասարումը նույնպես ճիշտ է միայն հաստատուն արագացման դեպքում։

Ինչպես արտածել շարժման չորրորդ՝ v, squared, equals, v, start subscript, 0, end subscript, squared, plus, 2, a, delta, x հավասարումը

Շարժման չորրորդ հավասարումն ստանալու համար նախ գրենք երկրորդը.

delta, x, equals, left parenthesis, start fraction, v, plus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, t

Ուզում ենք այս հավասարման միջից «ազատվել» t-ից։ Դրա համար շարժման առաջին՝ v, equals, v, start subscript, 0, end subscript, plus, a, t հավասարումից կարտահայտենք ժամանակը՝ t, equals, start fraction, v, minus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, a, end fraction։ t-ի այս արտահայտությունը շարժման երկրորդ հավասարման մեջ տեղադրելով՝ կստանանք.

delta, x, equals, left parenthesis, start fraction, v, plus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, left parenthesis, start fraction, v, minus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, a, end fraction, right parenthesis

Հավասարման աջ կողմի կոտորակները բազմապատկելով՝ ստանում ենք.

delta, x, equals, left parenthesis, start fraction, v, squared, minus, v, start subscript, 0, end subscript, squared, divided by, 2, a, end fraction, right parenthesis

Այստեղից v, squared-ն որոշելով՝ ստանում ենք շարժման չորրորդ հավասարումը.

v, squared, equals, v, start subscript, 0, end subscript, squared, plus, 2, a, delta, x

Ինչն է շփոթեցնում շարժման հավասարումներում

Մարդիկ հաճախ մոռանում են, որ շարժման հավասարումները ճիշտ են միայն այն դեպքում, երբ արագացումը հաստատուն է դիտարկվող ժամանակամիջոցում։

Երբեմն փոփոխականը ոչ թե ուղղակիորեն, այլ անուղղակիորեն է տրված լինում։ Օրինակ՝ «սկսում է շարժվել հանգստի վիճակից» նշանակում է, որ v, start subscript, 0, end subscript, equals, 0։ «Բաց է թողնվել» նշանակում է, որ v, start subscript, 0, end subscript, equals, 0, իսկ «կանգ է առնում» նշանակում է, որ v, equals, 0։ Բացի այդ՝ ազատ անկում կատարող բոլոր մարմինների արագացումը՝ g, equals, 9, comma, 81, start fraction, start text, մ, end text, divided by, start text, վ, end text, squared, end fraction է։ Հետևաբար, եթե գործ ունենանք ազատ անկում կատարող մարմնի հետ, ապա նրա արագացումը բացահայտ կերպով նշված չի լինի, և կենթադրվի, որ այն հավասար է ազատ անկման արագացմանը։

Մարդիկ մոռանում են, որ բացի t-ից՝ շարժման մյուս բոլոր՝ delta, x, comma, v, start subscript, o, end subscript, comma, v, comma, a փոփոխականները կարող են ընդունել բացասական արժեքներ։ Բացասական նշանը բաց թողնելը տարածված սխալներից է։ Եթե դեպի վեր ուղությունը վերցվում է որպես դրական ուղղություն, ապա ազատ անկում կատարող մարմնի արագացումը բացասական է՝ a, start subscript, g, end subscript, equals, minus, 9, comma, 81, start fraction, start text, մ, end text, divided by, start text, վ, end text, squared, end fraction։

Շարժման երրորդ՝ delta, x, equals, v, start subscript, 0, end subscript, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, a, t, squared հավասարումը լուծելու համար միգուցե պետք լինի լուծել քառակուսային հավասարում։ Տես ստորև ներկայացված օրինակ 3-ը։

Մարդիկ մոռանում են, որ չնայած կարելի է ընտրել ցանկացած ժամանակամիջոց, որի ընթացքում արագացումը հաստատուն է, այնուամենայնիվ, շարժման հավասարման մեջ տեղադրվող բոլոր մեծությունները պետք է համաձայնեցված լինեն ընտրված ժամանակամիջոցի հետ։ Այլ կերպ ասած՝ մարմնի v, start subscript, 0, end subscript սկզբնական արագությունը պետք է լինի արագությունը t ժամանակամիջոցի սկզբնական պահին։ Հանգունորեն v-ն պետք է լինի արագությունը վերջնական դիրքում և դիտարկվող t ժամանակամիջոցի ավարտին։

Ինչ տեսք ունեն շարժման հավասարումները ներառող լուծված օրինակները

Օրինակ 1․ Շարժման առաջին հավասարումը՝ v, equals, v, start subscript, 0, end subscript, plus, a, t

Ջրով լցված փուչիկը բաց են թողնում շատ բարձր շենքի տանիքից։

Որքա՞ն է փուչիկի արագությունը t, equals, 2, comma, 35, start text, space, վ, end text անց։

Համարենք, որ դեպի վեր ուղղությունը դրական ուղղությունն է։ Հայտնի են հետևյալ մեծությունները.

v, start subscript, 0, end subscript, equals, 0 (քանի որ փուչիկը բաց են թողել, ապա այն շարժումն սկսել է հանգստի վիճակից)
t, equals, 2, comma, 35, start text, space, վ, end text (փորձում ենք գտնել արագությունն այս ժամանակամիջոցի ավարտին)
a, start subscript, g, end subscript, equals, minus, 9, comma, 81, start fraction, start text, մ, end text, divided by, start text, վ, end text, squared, end fraction(Ենթադրվում է նրանից, որ փուչիկը կատարում է ազատ անկում)

[Գետնին հարվածելիս արագությունը 0 չէ՞։]

Քանի որ այս դեպքում շարժումն ուղղված է ուղղաձիգ, ապա դիրքը կնշանակենք ոչ թե x-ով, այլ y-ով։ Իրականում էական չէ, թե ինչ նշանակում ենք օգտագործում։ Կարևորը, որ այդ նշանակումը պահպանենք։ Սակայն ուղղաձիգ ուղղված շարժումը նկարագրելու համար ընդունված է օգտագործել y նշանակումը։

Քանի որdelta, y-ն անհայտ է, և չի պահանջվում որոշել delta, y-ը, ապա կօգտագործենք շարժման առաջին հավասարումը՝ v, equals, v, start subscript, 0, end subscript, plus, a, t-ը, որում delta, y տեղափոխությունը ներառված չէ։

v=v_{0}+at \quad \text{(oգտագործիր շարժման առաջին հավասարումը, քանի որ $\Delta y$-ը դրանում ներառված չէ)}

v, equals, v, start subscript, 0, end subscript, plus, a, t, start text, left parenthesis, o, գ, տ, ա, գ, ո, ր, ծ, ի, ր, space, շ, ա, ր, ժ, մ, ա, ն, space, ա, ռ, ա, ջ, ի, ն, space, հ, ա, վ, ա, ս, ա, ր, ո, ւ, մ, ը, comma, space, ք, ա, ն, ի, space, ո, ր, space, delta, y, negative, ը, space, դ, ր, ա, ն, ո, ւ, մ, space, ն, ե, ր, ա, ռ, վ, ա, ծ, space, չ, է, right parenthesis, end text

v, equals, 0, start text, space, մ, slash, վ, end text, plus, left parenthesis, minus, 9, comma, 81, start fraction, start text, մ, end text, divided by, start text, վ, end text, squared, end fraction, right parenthesis, left parenthesis, 2, comma, 35, start text, space, վ, end text, right parenthesis, start text, left parenthesis, t, ե, ղ, ա, դ, ր, ի, ր, space, հ, ա, յ, տ, ն, ի, space, ա, ր, ժ, ե, ք, ն, ե, ր, ը, right parenthesis, end text

v, equals, minus, 23, comma, 1, start text, space, մ, slash, վ, end text, start text, left parenthesis, h, ա, շ, վ, ի, ր, space, և, space, տ, ո, ն, ի, ր, right parenthesis, end text

Նշում: Վերջնական արագությունը բացասական էր, քանի որ փուչիկը շարժվում էր դեպի վար։

[Չե՞նք կարող դեպի վար ուղղությունը համարել դրական ուղղություն։]

Օրինակ 2․ Շարժման երկրորդ հավասարումը՝ delta, x, equals, left parenthesis, start fraction, v, plus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, t

Հովազը վազում է 6,20 մ/վ արագությամբ, ապա տեսնելով պաղպաղակի մեքենայի տեսք ունեցող պատկեր՝ 3,3 վայրկյանում ձեռք է բերում 23,1մ/վ արագություն։

Որքա՞ն ճանապարհ է անցնում հովազը արագությունը 6,20 մ/վ-ից մինչև 23,1 մ/վ մեծացնելիս։

Համարենք, որ շարժման սկզբնական ուղղությունը դրական ուղղությունն է։ Հայտնի են հետևյալ մեծություններրը.

v, start subscript, 0, end subscript, equals, 6, comma, 20, start text, space, մ, slash, վ, end text (հովազի սկզբնական արագությունը)
v, equals, 23, comma, 1, start text, space, մ, slash, վ, end text (հովազի վերջնական արագությունը)
t, equals, 3, comma, 30, start text, space, վ, end text (այն ժամանակամիջոցը, որի ընթացքում հովազը շարժվել է արագացմամբ)

Քանի որ a արագացումը հայտնի չէ, և չի պահանջվում այն որոշել, ապա կօգտվենք հորիզոնական ուղղության համար գրված շարժման երկրորդ՝ delta, x, equals, left parenthesis, start fraction, v, plus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, t հավասարումից, որում a-ն ներառված չէ։

{\Delta x}=(\dfrac{v+v_{0}}{2})t \quad \text{(oգտագործիր շարժման երկրորդ հավասարումը, քանի որ $a$-ն դրանում ներառված չէ)}

delta, x, equals, left parenthesis, start fraction, v, plus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, t, start text, left parenthesis, o, գ, տ, ա, գ, ո, ր, ծ, ի, ր, space, շ, ա, ր, ժ, մ, ա, ն, space, ե, ր, կ, ր, ո, ր, դ, space, հ, ա, վ, ա, ս, ա, ր, ո, ւ, մ, ը, comma, space, ք, ա, ն, ի, space, ո, ր, space, a, negative, ն, space, դ, ր, ա, ն, ո, ւ, մ, space, ն, ե, ր, ա, ռ, վ, ա, ծ, space, չ, է, right parenthesis, end text

delta, x, equals, left parenthesis, start fraction, 23, comma, 1, start text, space, մ, slash, վ, end text, plus, 6, comma, 20, start text, space, մ, slash, վ, end text, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, left parenthesis, 3, comma, 30, start text, space, վ, end text, right parenthesis, start text, left parenthesis, տ, ե, ղ, ա, դ, ր, ի, ր, space, հ, ա, յ, տ, ն, ի, space, ա, ր, ժ, ե, ք, ն, ե, ր, ը, right parenthesis, end text

delta, x, equals, 48, comma, 3, start text, space, մ, end text, start text, left parenthesis, հ, ա, շ, վ, ի, ր, space, և, space, տ, ո, ն, ի, ր, right parenthesis, end text

Օրինակ 3․ Շարժման երրորդ հավասարումը՝ delta, x, equals, v, start subscript, 0, end subscript, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, a, t, squared

Ուսանողը հոգնում է շարժման հավասարումների վերաբերյալ տնային աշխատանքը կատարելուց և մատիտը 18,3 մ/վ արագությամբ նետում է դեպի վեր։

Որքա՞ն ժամանակ անց մատիտն առաջին անգամ կանցնի նետման կետից 12,2 մ բարձրության վրա գտնվող կետով։

Համարենք, որ դեպի վեր ուղղությունը դրական ուղղությունն է։ Հայտնի են հետևյալ մեծությունները.

v, start subscript, 0, end subscript, equals, 18, comma, 3, start text, space, մ, slash, վ, end text (մատիտի՝ դեպի վեր ուղղված սկզբնական արագությունը)
delta, y, equals, 12, comma, 2, start text, space, մ, end text (ուզում ենք գտնել այն ժամանակամիջոցը, որում մատիտը կատարում է այսքան տեղափոխություն)
a, equals, minus, 9, comma, 81, start fraction, start text, space, մ, end text, divided by, start text, space, վ, end text, squared, end fraction (ազատ անկման արագացումը)

Քանի որ v-ի վերջնական արագությունն անհայտ է, և չի պահանջվում այն որոշել, ապա կօգտվենք ուղղաձիգ ուղղության համար գրված շարժման երրորդ՝ delta, y, equals, v, start subscript, 0, y, end subscript, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, a, start subscript, y, end subscript, t, squared հավասարումից, որում v-ն ներառված չէ։

delta, y, equals, v, start subscript, 0, y, end subscript, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, a, start subscript, y, end subscript, t, squared, start text, left parenthesis, ն, ա, խ, space, գ, ր, ի, ր, space, շ, ա, ր, ժ, մ, ա, ն, space, ե, ր, ր, ո, ր, դ, space, հ, ա, վ, ա, ս, ա, ր, ո, ւ, մ, ը, right parenthesis, end text

Պարզ դեպքում որոնվող անհայտը գտնելու համար այս հավասարումը կլուծեինք որպես գծային հավասարում, սակայն եթե հավասարման անդամներից ոչ մեկը զրո չէ, ապա այստեղից գծայնորեն չենք կարողանա գտնել ժամանակամիջոցը․ երբ անդամներից ոչ մեկը զրո չէ, իսկ որոնվող անհայտը t-ն է, հավասարումը դառնում է քառակուսային։ Սա կարող ենք տեսնել՝ հայտնի արժեքները հավասարման մեջ տեղադրելով։

12, comma, 2, start text, space, մ, end text, equals, left parenthesis, 18, comma, 3, start text, space, մ, slash, վ, end text, right parenthesis, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, left parenthesis, minus, 9, comma, 81, start fraction, start text, space, մ, end text, divided by, start text, space, վ, end text, squared, end fraction, right parenthesis, t, squared, start text, left parenthesis, տ, ե, ղ, ա, դ, ր, ի, ր, space, հ, ա, յ, տ, ն, ի, space, ա, ր, ժ, ե, ք, ն, ե, ր, ը, right parenthesis, end text

Քառակուսային հավասարումն ավելի պարզ տեսքի բերելու համար հավասարման բոլոր անդամները տեղափոխում ենք մի կողմ։ Երկու կողմերից 12,2 մ հանելով՝ ստանում ենք.

0=\dfrac{1}{2}(-9,81\dfrac{\text{ մ}}{\text{ վ}^2})t^2+(18,3\text{ մ/վ})t -12,2\text{ մ} \quad \text{(ներկայացրու քառակուսային հավասարման տեսքով)}

0, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, left parenthesis, minus, 9, comma, 81, start fraction, start text, space, մ, end text, divided by, start text, space, վ, end text, squared, end fraction, right parenthesis, t, squared, plus, left parenthesis, 18, comma, 3, start text, space, մ, slash, վ, end text, right parenthesis, t, minus, 12, comma, 2, start text, space, մ, end text, start text, left parenthesis, ն, ե, ր, կ, ա, յ, ա, ց, ր, ո, ւ, space, ք, ա, ռ, ա, կ, ո, ւ, ս, ա, յ, ի, ն, space, հ, ա, վ, ա, ս, ա, ր, մ, ա, ն, space, տ, ե, ս, ք, ո, վ, right parenthesis, end text

Այժմ կարող ենք քառակուսային հավասարումից գտնել t-ն։ a, t, squared, plus, b, t, plus, c, equals, 0 տեսքի քառակուսային հավասարման արմատները գտնելու համար օգտագործում ենք t, equals, start fraction, minus, b, plus minus, square root of, b, squared, minus, 4, a, c, end square root, divided by, 2, a, end fraction բանաձևը։ Մեր հավասարման դեպքում՝ a, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, left parenthesis, minus, 9, comma, 81, start fraction, start text, space, մ, end text, divided by, start text, space, վ, end text, squared, end fraction, right parenthesis, b, equals, 18, comma, 3, start text, space, մ, slash, վ, end text, իսկ c, equals, minus, 12, comma, 2, start text, space, մ, end text։

Այս արժեքները քառակուսային հավասարման մեջ տեղադրելով՝ ստանում ենք.

t, equals, start fraction, minus, 18, comma, 3, start text, space, մ, slash, վ, end text, plus minus, square root of, left parenthesis, 18, comma, 3, start text, space, մ, slash, վ, end text, right parenthesis, squared, minus, 4, open bracket, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, left parenthesis, minus, 9, comma, 81, start fraction, start text, space, մ, end text, divided by, start text, space, վ, end text, squared, end fraction, right parenthesis, left parenthesis, minus, 12, comma, 2, start text, space, մ, end text, right parenthesis, close bracket, end square root, divided by, 2, open bracket, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, left parenthesis, minus, 9, comma, 81, start fraction, start text, space, մ, end text, divided by, start text, space, վ, end text, squared, end fraction, right parenthesis, close bracket, end fraction

Քանի որ քառակուսային բանաձևում կան դրական և բացասական նշաններ, ապա ստանում ենք t-ի երկու արժեք՝ մեկը plus-ի, իսկ մյուսը՝ minus-ի դեպքում։ Վերևում գրված քառակուսային բանաձևից ստանում ենք հետևյալ երկու արժեքները.

t, equals, 0, comma, 869, start text, space, վ, end text և t, equals, 2, comma, 86, start text, space, վ, end text

Հավասարումն ունի երկու դրական լուծում, քանի որ մատիտը 12,2 մ բարձրության վրա հայտնվում է երկու անգամ։ Փոքր արժեքը համապատասխանում է այն պահին, երբ մատիտը վեր թռչելով՝ առաջին անգամ հասնում է 12,2 մ բարձրության։ Մեծ արժեքը համապատասխանում է այն պահին, երբ մատիտը վեր թռչելուց, 12,2 մ բարձրությամբ անցնելուց, հետագծի ամենաբարձր կետին հասնելուց հետո շարժվում է դեպի վար և կրկին հասնում 12,2 մ բարձրությամբ կետին։

Այսպիսով՝ «նետումից որքա՞ն ժամանակ անց մատիտն առաջին անգամ կանցնի նետման կետից 12,2 մ բարձրության վրա գտնվող կետով» հարցի պատասխանը ստացված փոքր արժեքն է՝ t, equals, 0, comma, 869, start text, space, վ, end text։

[Իսկ եթե քառակուսային հավասարման արմատներից մեկը բացասակա՞ն լինի։]

Օրինակ 4․ Շարժման չորրորդ հավասարումը՝ v, squared, equals, v, start subscript, 0, end subscript, squared, plus, 2, a, delta, x

Եվրոպացի մոտոցիկլավարը սկսում է շարժվել 23,4 մ/վ արագությամբ և, խցանումը տեսնելով, որոշում է դանդաղեցնել ընթացքը։ Մոտոցիկլավարը 3, comma, 20, start fraction, start text, space, մ, end text, divided by, start text, space, վ, end text, squared, end fraction հաստատուն արագացմամբ անցնում է 50,2 մ։ Համարենք, որ մոտոցիկլետն ամբողջ ընթացքում առաջ է շարժվում։

Որքա՞ն է մոտոցիկլետի արագությունը արագացմամբ 50,2 մ անցնելուց հետո։

Համարենք, որ շարժման սկզբնական ուղղությունը դրական ուղղությունն է։ Հայտնի են հետևյալ մեծություններրը.

v, start subscript, 0, end subscript, equals, 23, comma, 4, start text, space, մ, slash, վ, end text (մոտոցիկլետի սկզբնական արագությունը)
a, equals, minus, 3, comma, 20, start fraction, start text, space, մ, end text, divided by, start text, space, վ, end text, squared, end fraction (արագացումը բացասական է, քանի որ մոտոցիկլետը դանդաղեցնում է ընթացքը, իսկ մոտոցիկլետի շարժման ուղղությունը վերցվել է որպես դրական ուղղություն)
delta, x, equals, 50, comma, 2, start text, space, մ, end text (ուզում ենք գտնել այն արագությունը, որը կունենա մոտոցիկլետը այսքան տեղափոխություն կատարելուց հետո)

Քանի որ t ժամանակամիջոցն անհայտ է, և չի պահանջվում այն որոշել, ապա կօգտվենք հորիզոնական ուղղության համար գրված շարժման չորրորդ՝ v, start subscript, x, end subscript, squared, equals, v, start subscript, 0, x, end subscript, squared, plus, 2, a, start subscript, x, end subscript, delta, x հավասարումից, որում t-ն ներառված չէ։

v, start subscript, x, end subscript, squared, equals, v, start subscript, 0, x, end subscript, squared, plus, 2, a, start subscript, x, end subscript, delta, x, start text, left parenthesis, ն, ա, խ, space, գ, ր, ի, ր, space, շ, ա, ր, ժ, մ, ա, ն, space, չ, ո, ր, ր, ո, ր, դ, space, հ, ա, վ, ա, ս, ա, ր, ո, ւ, մ, ը, right parenthesis, end text

v, start subscript, x, end subscript, equals, plus minus, square root of, v, start subscript, 0, x, end subscript, squared, plus, 2, a, start subscript, x, end subscript, delta, x, end square root, start text, left parenthesis, հ, ա, ն, ր, ա, հ, ա, շ, վ, ո, ր, ե, ն, space, ո, ր, ո, շ, ի, ր, space, վ, ե, ր, ջ, ն, ա, կ, ա, ն, space, ա, ր, ա, գ, ո, ւ, թ, յ, ո, ւ, ն, ը, right parenthesis, end text

Նկատենք, որ քառակուսի արմատ հանելիս ստանում ես երկու պատասխան՝ դրական և բացասական։ Քանի որ մոտոցիկլետը շարժվելու է նույն ուղղությամբ, ինչ ուղղությամբ որ սկսել էր շարժումը (իսկ այդ ուղղությունը համարել ենք դրական), ապա կվերցնենք դրական արմատը՝ v, start subscript, x, end subscript, equals, plus, square root of, v, start subscript, 0, x, end subscript, squared, plus, 2, a, start subscript, x, end subscript, delta, x, end square root։

Այժմ կարող ենք տեղադրել արժեքները։ Կստանանք՝

v, start subscript, x, end subscript, equals, square root of, left parenthesis, 23, comma, 4, start text, space, մ, slash, վ, end text, right parenthesis, squared, plus, 2, left parenthesis, minus, 3, comma, 20, start fraction, start text, space, մ, end text, divided by, start text, space, վ, end text, squared, end fraction, right parenthesis, left parenthesis, 50, comma, 2, start text, space, մ, end text, right parenthesis, end square root, start text, left parenthesis, տ, ե, ղ, ա, դ, ր, ի, ր, space, հ, ա, յ, տ, ն, ի, space, ա, ր, ժ, ե, ք, ն, ե, ր, ը, right parenthesis, end text

v, start subscript, x, end subscript, equals, 15, comma, 0, start text, space, մ, slash, վ, end text, start text, left parenthesis, h, ա, շ, վ, ի, ր, space, և, space, տ, ո, ն, ի, ր, right parenthesis, end text

Ուզո՞ւմ ես միանալ խոսակցությանը։

Մուտք գործել

Դասակարգել ըստ

Առայժմ հրապարակումներ չկան։

Անգլերեն հասկանո՞ւմ ես: Սեղմիր այստեղ և ավելի շատ քննարկումներ կգտնես «Քան» ակադեմիայի անգլերեն կայքում:

Ֆիզիկա

Դասընթաց․ (Ֆիզիկա) > Բաժին 1

Ինչ են շարժման հավասարումները

Ինչ է ազատ շարժվող մարմինը (օրինակ՝ հորիզոնի նկատմամբ անկյան տակ նետված մարմինը)

Ինչպես ընտրել և օգտագործել շարժման հավասարումները

Ինչպես արտածել շարժման առաջին՝ v=v0+atv=v_0+atv=v0​+atv, equals, v, start subscript, 0, end subscript, plus, a, t հավասարումը

Ինչպես արտածել շարժման երկրորդ՝ Δx=(v+v02)t{\Delta x}=(\dfrac{v+v_0}{2})tΔx=(2v+v0​​)tdelta, x, equals, left parenthesis, start fraction, v, plus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, t հավասարումը

Ինչպես արտածել շարժման երրորդ՝ Δx=v0t+12at2\Delta x=v_0 t+\dfrac{1}{2}at^2Δx=v0​t+21​at2delta, x, equals, v, start subscript, 0, end subscript, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, a, t, squared հավասարումը

Ինչպես արտածել շարժման չորրորդ՝ v2=v02+2aΔxv^2=v_0^2+2a\Delta xv2=v02​+2aΔxv, squared, equals, v, start subscript, 0, end subscript, squared, plus, 2, a, delta, x հավասարումը