Հիմնական նյութ

Դասընթաց․ (Ֆիզիկա) > Բաժին 2

Դաս 1: Հորիզոնի նկատմամբ անկյան տակ նետված մարմնի երկչափ շարժումը

Ի՞նչ են արագության վեկտորի բաղադրիչները

Սովորիր, թե ինչպես պարզեցնել վեկտորները՝ դրանք վերածելով բաղադրիչների

Ինչու ենք վեկտորները վերածում բաղադրիչների

Երկչափ շարժումն ավելի բարդ է, քան միաչափ շարժումը, քանի որ արագությունները կարող են ուղղված լինել նաև հորիզոնի նկատմամբ անկյան տակ։ Օրինակ՝ թենիսի գնդակը կարող է միաժամանակ տեղափոխվել և՛ հորիզոնական, և՛ ուղղաձիգ ուղղություններով՝ հորիզոնի նկատմամբ անկյան տակ ուղղված

v

արագությամբ։ Հաշվարկները պարզեցնելու համար

v

արագության վեկտորը վերածում ենք երկու առանձին՝

v_{x}

հորիզոնական և

v_{y}

ուղղաձիգ բաղադրիչների։

Թենիսի գնդակի՝ հորիզոնական և ուղղաձիգ ուղղություններով շարժումները մեկ միասնական հավասարումով նկարագրելը բարդ է։ Ավելի լավ է կիրառել «բաժանիր, որ տիրես» սկզբունքը։

Այո՛։ Վեկտորները բաղադրիչների կարող ենք վերածել ցանկացած երկու ոչ համագիծ ուղղություններով։ Օրինակ՝

v

վեկտորը կարելի է բաղադրիչների վերածել ստորև ներկայացված երկու ուղղություններով։ Կարող ենք անգամ ընտրել ոչ ուղղահայաց ուղղություններ։ Պարզվում է, որ դա օգտակար կարող է լինել հարաբերականության հատուկ տեսության մեջ։

Այնուամենայնիվ, վեկտորները ուղղահայաց բաղադրիչների բաժանելը գրեթե միշտ ամենապարզն է։ Եվ հաճախ ամենահարմարը լինում է հորիզոնական և ուղղաձիգ ուղղություններն ընտրելը, քանի որ ազատ անկման արագացումն ուղղված է ուղղաձիգ դեպի վար։

Բացի դրանից՝ արագության վերաբերյալ բազմաթիվ տիպային հարցեր բնույթով ակնհայտորեն հորիզոնական կամ ուղղաձիգ ուղղությունների մասին են, հետևաբար ամենահեշտը կարող են լուծվել հորիզոնական և ուղղաձիգ առանցքների միջոցով։ Այդպիսի հարցերից է՝ «ի՞նչ հեռահարություն ունի հորիզոնի նկատմամբ անկյան տակ նետված մարմինը», կամ՝ «որքա՞ն է հորիզոնի նկատմամբ անկյան տակ նետված մարմնի առավելագույն բարձրությունը»։

Հորիզոնի նկատմամբ անկյան տակ ուղղված

v

արագությունը

v_{x}

հորիզոնական և

v_{y}

ուղղաձիգ բաղադրիչների վերածելը հնարավորություն է տալիս այդ ուղղություններից յուրաքանչյուրի հետ աշխատելու առանձին-առանձին։ Ըստ էության, սրա միջոցով մեկ բարդ երկչափ խնդրից ստացվում են երկու պարզ միաչափ խնդիրներ։ Վեկտորները բաղադրիչների վերածելու այս հնարքը կիրառվում է ոչ միայն արագության, այլև այլ վեկտորների, օրինակ՝ ուժերի, իմպուլսի և էլեկտրական դաշտերի դեպքում։ Իրականում այն անընդհատ կկիրառես ֆիզիկայում, հետևաբար հարկ է, որ հնարավորինս շուտ սովորես աշխատել վեկտորների բաղադրիչների հետ։

Ինչպես ենք վեկտորները վերածում բաղադրիչների

Մինչ կխոսենք վեկտորները բաղադրիչների վերածելու մասին, պետք է նշենք, որ եռանկյունաչափությունն արդեն իսկ տալիս է ուղղանկյուն եռանկյան կողմերի՝ ներքնաձիգի, դիմացի և կից էջերի երկարությունները և գագաթի անկյուններից մեկը՝

θ

-ն, միմյանց հետ կապելու հնարավորություն, ինչպես ներկայացված է ստորև։

\sin θ = \frac{Դիմացի էջ}{Ներքնաձիգ}

\cos θ = \frac{Կից էջ}{Ներքնաձիգ}

\tan θ = \frac{Դիմացի էջ}{Կից էջ}

Երբ հորիզոնի նկատմամբ անկյան տակ ուղղված որևէ վեկտոր վերածում ենք ուղղահայաց բաղադրիչների, այդ

v

վեկտորը և նրա

v_{y}, v_{x}

բաղադրիչները ձևավորում են ուղղանկյուն եռանկյուն։ Այդ իսկ պատճառով եռանկյունաչափական բանաձևերը կարող ենք օգտագործել նաև արագության վեկտորի և դրա բաղադրիչների մեծությունները որոշելու համար, ինչպես ներկայացված է ստորև։ Նկատենք, որ

v_{x}

-ը վերցված է որպես կից էջ,

v_{y}

-ը՝ որպես դիմացի էջ, իսկ

v

-ն՝ որպես ներքնաձիգ։

\sin θ = \frac{v_{y}}{v}

\cos θ = \frac{v_{x}}{v}

\tan θ = \frac{v_{y}}{v_{x}}

Եթե այժմ դիտարկենք մյուս անկյունը, որը կազմվել է ուղղաձիգ առանցքի հետ, ապա եռանկյունաչափական հավասարումները կմնան նույնը, սակայն այն կողմը, որն անվանում էինք դիմացի էջ, այժմ կդառնա կից էջ, և հակառակը։

\sin ϕ = \frac{Դիմացի էջ}{Ներքնաձիգ} = \frac{v_{x}}{v}

\cos ϕ = \frac{Կից էջ}{Ներքնաձիգ} = \frac{v_{y}}{v}

\tan ϕ = \frac{Դիմացի էջ}{Կից էջ} = \frac{v_{x}}{v_{y}}

Նկատենք, որ վերը նշված բանաձևերում

v

-երը վերաբերում են արագության վեկտորի մեծությանը, այսինքն՝ ճանապարհային արագությանը, հետևաբար չեն կարող ընդունել բացասական արժեքներ։ Վեկտորի բաղադրիչները՝

v_{x}

-ը և

v_{y}

-ի պրոյեկցիաները, կարող են ընդունել բացասական արժեքներ, եթե ուղղված լինեն բացասական ուղղությամբ։

x

հորիզոնական ուղղության վրա ձախ կողմն է վերցվում որպես բացասական ուղղություն, իսկ

y

ուղղաձիգ ուղղության վրա՝ դեպի վար ուղղությունը։

Ինչպես ենք որոշում վեկտորի մեծությունը և հորիզոնական ուղղության հետ կազմած անկյունը

Նախորդ բաժիններում տեսանք, թե ինչպես են վեկտորի մեծության և հորիզոնի նկատմամբ կազմած անկյան միջոցով առանձնացվում ուղղաձիգ և հորիզոնական բաղադրիչները։ Իսկ ի՞նչ կլինի, եթե ի սկզբանե տրված լինեն վեկտորի

v_{y}

v_{x}

բաղադրիչները։ Ինչպե՞ս կարելի է բաղադրիչների միջոցով որոշել արագության վեկտորի

v

մեծությունը և հորիզոնի նկատմամբ կազմած

θ

անկյունը։

Արագության վեկտորի մեծությունը որոշելը դժվար չի լինի, քանի որ ուղղանկյուն եռանկյան էջերի և ներքնաձիգի երկարությունները միմյանց հետ կապված են Պյութագորասի թեորեմով։

v^{2} = {v_{x}}^{2} + {v_{y}}^{2}

Քառակուսի արմատ հանելով՝ ստանում ենք արագության վեկտորի մեծությունը՝ արտահայտված վեկտորի բաղադրիչներով։

v = \sqrt{{v_{x}}^{2} + {v_{y}}^{2}}

Բացի դրանից, եթե գիտենք վեկտորի բաղադրիչները, ապա վեկտորի կազմած անկյունը կարող ենք գտնել

tan θ

-ի միջոցով։

\tan θ = \frac{v_{y}}{v_{x}}

Վերցնելով տանգենսի հակադարձ ֆունկցիան՝ ստանում ենք արագության վեկտորի՝ հորիզոնի նկատմամբ կազմած անկյունը՝ արտահայտված վեկտորի բաղադրիչներով։

θ = \tan^{- 1} (\frac{v_{y}}{v_{x}})

Քանի որ

\tan

-ը՝ դիմացի և կից էջերի, իսկ տվյալ դեպքում՝

v_{y}

-ի և

v_{x}

-ի հարաբերությունը, ներառում է միայն վեկտորի բաղադրիչները, ապա այն առանց վեկտորի

v

մեծությունն իմանալու հնարավորություն է տալիս որոշելու

θ

անկյունը։

Այդուհանդերձ, եթե արդեն իսկ հայտնի են վեկտորի

v

մեծությունը,

v_{y}

ու

v_{x}

բաղադրիչները, ապա վեկտորի կազմած անկյունը գտնելու համար կարող ենք օգտագործել սինուս, կոսինուս կամ տանգենս ֆունկցիաները։

Ինչն է շփոթեցնում վեկտորի բաղադրիչների մեջ

Այն փաստը, որ

θ = \tan^{- 1} (\frac{v_{y}}{v_{x}})

առնչությունն օգտագործելիս

v_{y}

-ը գրում ենք համարիչում, իսկ

v_{x}

-ը՝ հայտարարում, նշանակում է, որ հաշվում ենք հորիզոնական առանցքի հետ կազմած անկյունը։ Թվում է, թե անկյունը պատկերելիս կարող ենք շփոթվել։ Սակայն դրա համար երկու ցուցում կա։

Համարենք, որ որպես դրական ուղղություն ընտրել ենք դեպի աջ-վեր ուղղությունը։ Եթե

v_{x}

հորիզոնական բաղադրիչը դրական է, ապա վեկտորն ուղղված է դեպի աջ, հակառակ դեպքում՝ դեպի ձախ։

Նորից համարենք, որ որպես դրական ուղղություն ընտրել ենք դեպի աջ-վեր ուղղությունը։ Եթե

v_{y}

ուղղաձիգ բաղադրիչը դրական է, ապա վեկտորն ուղղված է դեպի վեր, հակառակ դեպքում՝ դեպի վար։

Այսպես, եթե, օրինակ, վեկտորի բաղադրիչները՝

v_{x} = - 12 մ/վ

v_{y} = 10 մ/վ

, ապա վեկտորը պետք է ուղղված լինի դեպի ձախ, քանի որ

v_{x}

-ը բացասական է, և վեր, քանի որ

v_{y}

-ը դրական է։

Ընդհանուր պատկերացման ստուգում: Եթե թղթե ինքնաթիռի արագության բաղադրիչները՝

v_{x} = - 7 մ/վ

v_{y} = - 5 մ/վ

, ապա ո՞ր ուղղությամբ է շարժվում ինքնաթիռը։ Աջ կողմը և դեպի վեր ուղղությունը համարենք դրական։

Ոչ միշտ։ Խնդիրն այն է, որ երբ բացասական բաղադրիչները տեղադրում ենք

θ = \tan^{- 1} (\frac{v_{y}}{v_{x}})

առնչության մեջ, հաշվիչներից շատերը ցույց չեն տալիս՝ բացասական նշանը վերևի, թե ներքևի բաղադրիչի համար է։ Բացի դրանից, եթե տեղադրում ենք երկու բացասական բաղադրիչների արժեքները, ապա հաշվիչը կրճատում է բացասական նշանները և, որպես պատասխան, տալիս է անկյուն, որը կստացվեր, եթե երկու բաղադրիչներն էլ դրական լինեին։

Սա, իհարկե, հիասթափություն է առաջացնում։ Սակայն հիասթափությունը կարող ենք հաղթահարել։ Լավ ռազմավարություն է

θ = \tan^{- 1} (\frac{v_{y}}{v_{x}})

առնչության մեջ բոլոր բաղադրիչները որպես դրական արժեքներ տեղադրելը, այնուհետև բաղադրիչների նշանների վերաբերյալ կանոններն օգտագործելով՝ որոշելը, թե որ քառորդում պետք է պատկերել վեկտորը։ Այս մեթոդը կօգտագործենք ստորև ներկայացված լուծված օրինակներում։

Ի՞նչ տեսք ունեն վեկտորի բաղադրիչների վերաբերյալ խնդիրների լուծված օրինակները

Օրինակ 1․ Գնդակը պտտիր, ինչպես Բեքհեմը

Ֆուտբոլի գնդակը հարվածի հետևանքով թռչում է դեպի վեր և աջ՝ հորիզոնի նկատմամբ 30

^{\circ}

անկյան տակ 24,3 մ/վ արագությամբ, ինչպես պատկերված է ստորև։

Որքա՞ն է արագության ուղղաձիգ բաղադրիչը ներկայացված պահին։

Որքա՞ն է արագության հորիզոնական բաղադրիչը ներկայացված պահին։

Արագության ուղղաձիգ բաղադրիչը գտնելու համար կօգտագործենք

s i n θ = \frac{Դիմացի էջ}{Ներքնաձիգ} = \frac{v_{y}}{v}

առնչությունը։ Ներքնաձիգի երկարությունը հավասար է արագության 24,3 մ/վ մեծությանը՝

v

-ին, իսկ 30

^{\circ}

անկյան դիմացի էջը

v_{y}

-ն է։

\sin θ = \frac{v_{y}}{v} (օգտագործիր սինուսի սահմանումը)

v_{y} = v \sin θ (գտիր ուղղաձիգ բաղադրիչը)

v_{y} = (24, 3 մ/վ) \sin (30^{\circ}) (տեղադրիր արժեքները)

v_{y} = 12, 2 մ/վ (հաշվիր և տոնիր)

Հորիզոնական բաղադրիչը գտնելու համար կօգտագործենք

\cos θ = \frac{Կից էջ}{Ներքնաձիգ} = \frac{v_{x}}{v}

առնչությունը։

\cos θ = \frac{v_{x}}{v} (օգտագործիր կոսինուսի սահմանումը)

v_{x} = v \cos θ (գտիր հորիզոնական բաղադրիչը)

v_{x} = (24, 3 մ/վ) \cos (30^{\circ}) (տեղադրիր արժեքները)

v_{x} = 21, 0 մ/վ (հաշվիր և տոնիր)

Օրինակ 2․ Զայրացած ճայը

Զայրացած ճայը Սևանա լճի վրայով թռչում է

v_{x} = 14, 6 մ/վ

հորիզոնական և

v_{y} = - 8, 62 մ/վ

ուղղաձիգ բաղադրիչներ ունեցող արագությամբ։

Որքա՞ն է ճայի արագության մեծությունը։

Հորիզոնի նկատմամբ ի՞նչ անկյան տակ է ուղղված արագությունը։

Համարենք, որ դեպի աջ/վեր ուղղությունը դրական ուղղությունն է, և բոլոր անկյունները հաշվվում են x առանցքից ժամսլաքի հակառակ ուղղությամբ։

Արագության վեկտորի մեծությունը որոշելու համար կօգտագործենք Պյութագորասի թեորեմը։

v^{2} = v_{x}^{2} + v_{y}^{2} (Պյութագորասի թեորեմը)

v = \sqrt{v_{x}^{2} + v_{y}^{2}} (երկու կողմերից արմատ հանիր)

v = \sqrt{(14, 6 մ/վ)^{2} + (- 8, 62 մ/վ)^{2}} (տեղադրիր արժեքները)

v = 17, 0 մ/վ (հաշվիր և տոնիր)

Անկյունը որոշելու համար կօգտագործենք

տանգենսի

սահմանումը։ Սակայն քանի որ

v

-ն հայտնի է, ապա կարելի է օգտագործել նաև

սինուս

կամ

կոսինուս

ֆունկցիաները։

\tan θ = \frac{v_{y}}{v_{x}} (օգտագործիր տանգենսի սահմանումը)

θ = \tan^{- 1} (\frac{v_{y}}{v_{x}}) (երկու կողմերում վերցրու տանգենսի հակադարձը)

θ = \tan^{- 1} (\frac{8, 62 մ/վ}{14, 6 մ/վ}) (տեղադրիր արժեքները)

θ = 30, 6^{\circ} (հաշվիր և տոնիր)

Քանի որ ուղղաձիգ բաղադրիչը՝

v_{y} = - 8, 62 մ/վ

, ապա պարզ է, որ վեկտորն ուղղված է դեպի վար։ Քանի որ

v_{x} = 14, 6 մ/վ

, ապա պարզ է, որ վեկտորն ուղղված է դեպի աջ։ Հետևաբար վեկտորը կպատկերենք չորրորդ քառորդում։

Ճայը թռչում է հորիզոնի նկատմամբ

30, 6^{\circ}

անկյան տակ

17, 0 մ/վ

արագությամբ։

Ուզո՞ւմ ես միանալ խոսակցությանը։

Մուտք գործել

Դասակարգել ըստ

Առայժմ հրապարակումներ չկան։

Անգլերեն հասկանո՞ւմ ես: Սեղմիր այստեղ և ավելի շատ քննարկումներ կգտնես «Քան» ակադեմիայի անգլերեն կայքում: